专題五与平行四边形的判定有关的证明 教材母题(教材P97作业题第3题) D 已知:如图,在口ABCD中, ∠BAD和∠BCD的平分线AF,CE分别 与对角线BD交于点F,E 求证:四边形AFCE是平行四边 形 证明:四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AB∥CD,∠BAD=∠BCD AF平分∠BAD,CE平分∠BCD ∠BAF=∠DCE. AB∥CD,∴.∠ABF=∠CDE △ABF≌△CDE(AAS) AF=CE,∠AFB=∠CED, ∠AFE=180°-∠AFB ∠CEF=180° CED ∠AFE=∠CEF,∴,AF∥CE 四边形AFCE是平行四边形
专题五 与平行四边形的判定有关的证明 教材母题►(教材P97作业题第3题) 已 知 ： 如 图 ， 在 ▱ ABCD 中 ， ∠BAD和∠BCD的平分线AF，CE分别 与对角线BD交于点F，E. 求证：四边形AFCE是平行四边 形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形． ∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD. ∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD. ∴∠BAF＝∠DCE. ∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE. ∴△ABF≌△CDE(AAS) ∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED， ∵∠AFE＝180°－∠AFB， ∠CEF＝180°－∠CED， ∴∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE. ∴四边形AFCE是平行四边形．
思想方法】平行四边形的判定主要从三个方面看 (1)从边看:两组对边分别平行的四边形是平行四边形; 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且 相等的四边形是平行四边形 (2)从角看:两组对角分别相等的四边形是平行四边 3)从对角线看:对角线互相平分的四边形是平行四边 形 变形1已知:如图,在四边形 ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD 相交于点O,BO=DO 求证:四边形ABCD是平行四边 形 ∠ABO=∠CDO, 证 明 AB∥CD, BO=DO △ABO≌△ CDO(ASA4) ∴AB=CD, ∴∠ABO ∠CDO, ∠AOB=∠DOC, ∴四边形ABCD是平行四边形 在△ABO与 △CDO中
思想方法】 平行四边形的判定主要从三个方面看： (1)从边看：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且 相等的四边形是平行四边形． (2)从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边 形． (3)从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边 形． 变形1 已知：如图，在四边形 ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD 相交于点O，BO＝DO. 求证：四边形ABCD是平行四边 形． 证明： ∵AB∥CD， ∴ ∠ ABO ＝ ∠CDO， 在 △ABO 与 △CDO中， ∵ ∠ABO＝∠CDO， BO＝DO， ∠AOB＝∠DOC， ∴△ABO≌△CDO(ASA) ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．
变形2在平面直角坐标系内,四边形ABCD的四个 顶点的坐标分别为A(-3,-2),B(0,3),C(3,2),D(0, 3),四边形ABCD是不是平行四边形?请给出证明 解:四边形ABCD是平行四边形 理由::4(-3,-2)B(03)C(3,2),D(O AB=3+3=34,CD=+32=34 BC=P2+32=10,AD=P+32=0 ∴AB=CD,BC=AD,∴四边形ABCD是平行四边形 变形3如图,四边形ABCD中,AD∥BC, AE⊥AD交BD于点E,CF⊥BC交BD于点F,且AE=CF求 证:四边形ABCD是平行四边形. 证明::AE⊥AD,CF⊥BC∠ADE=∠CBF ∴∠EAD=∠FCB=90205∠FCB=90, ∵AD∥BC, ∴∠ADE=∠CBF, AE=CE 在R△AED和R△CFB中,R△AED≌R△CFB(A4S), ∴AD=BC,∵AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形
变形2 在平面直角坐标系内，四边形ABCD的四个 顶点的坐标分别为A(－3，－2)，B(0，3)，C(3，2)，D(0， －3)，四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明． 解：四边形ABCD是平行四边形． 理由：∵A(－3，－2)，B(0，3)，C(3，2)，D(0，－ 3)， ∴AB＝ 5 2＋3 2＝ 34，CD＝ 5 2＋3 2＝ 34， BC＝ 1 2＋3 2＝ 10，AD＝ 1 2＋3 2＝ 10， 变 形 3 如 图 ， 四 边 形 ABCD 中 ， AD ∥ BC ， AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.求 证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC， ∴∠EAD＝∠FCB＝90° ， ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CBF， 在Rt△AED和Rt△CFB中， ∵ ∠ADE＝∠CBF， ∠EAD＝∠FCB＝90°， AE＝CF. ∴Rt△AED≌Rt△CFB(AAS)， ∴AD＝BC，∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴AB＝CD，BC＝AD， ∴四边形ABCD是平行四边形
变形4如图,已知口ABCD,过A作AM⊥BC于 点M,交BD于点E,过C作CN⊥AD于点N,交BD于 点F,连接AF,CE求证:四边形AECF为平行四边 ND活明::这形4BCD是平行 ∴BC∥AD,又:AM⊥BC, AM⊥AD,∵CN⊥AD, AM∥CN,∴AE∥CF, B M 又由平行得∠ADE=∠CBD 在△ADE和△CBF中 ∠DAE=∠BCF=900, AD=CB, ∠ADE=∠FBC △ADE≌△CBF(ASA) AE=CF,∴四边形AECF 为平行四边形
变形4 如图，已知▱ABCD，过A作AM⊥BC于 点M，交BD于点E，过C作CN⊥AD于点N，交BD于 点F，连接AF，CE.求证：四边形AECF为平行四边 形． 证明：∵四边形ABCD是平行 四边形， ∴BC∥AD，又∵AM⊥BC， ∴AM⊥AD，∵CN⊥AD， ∴AM∥CN，∴AE∥CF， 又由平行得∠ADE＝∠CBD， 在△ADE和△CBF中， ∠DAE＝∠BCF＝90°， AD＝CB， ∠ADE＝∠FBC. ∴△ADE≌△CBF(ASA)， ∴AE＝CF，∴四边形AECF 为平行四边形．
变形5如图,四边形ABCD中,对角线AC与BD 相交于点O,在①AB∥CD;②AO=CO;③AD=BC 中任意选取两个作为条件,“四边形ABCD是平行四边 形”为结论构成命题 (1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗?若是 请证明;若不是,请举出反例 (2)写出按题意构成的所有命题中的假命题,并举 出反例加以说明.(命题请写成“如果……那么……” 的形式) D B 解:(1)以②②作为条件构成的命题 是真命题 证明::AB∥CD ∠OAB=∠OCD
变形5 如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC 中任意选取两个作为条件， “四边形ABCD是平行四边 形”为结论构成命题． (1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是， 请证明；若不是，请举出反例； (2)写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举 出反例加以说明．(命题请写成“如果……那么……” 的形式) 解：(1)以①②作为条件构成的命题 是真命题． 证明：∵AB∥CD ∴∠OAB＝∠OCD
又:4O=C0,∠AOB=∠COD △AOB≌△COD(ASA),∴OB=0D ∴四边形ABCD是平行四边形 (2)根据⑦⑨作为条件构成的命题是假命题,即如 果有一组对边平行,另一组对边相等’那么四边形是 平行四边形’如等腰梯形符合’但不是平行四边形; 根据回③作为条件构成的命题是假命题’即如果一个 四边形ABCD的对角线交于点O,且OA=OC,AD= BC’那么这个四边形是平行四边形’根据已知不能推 出OB=OD,或AD=BC或AB=DC,而四边形不是平 行四边形
又∵AO＝CO，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB≌△COD(ASA)，∴OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． (2)根据①③作为条件构成的命题是假命题，即如 果有一组对边平行，另一组对边相等，那么四边形是 平行四边形，如等腰梯形符合，但不是平行四边形； 根据②③作为条件构成的命题是假命题，即如果一个 四边形ABCD的对角线交于点O，且OA＝OC，AD＝ BC，那么这个四边形是平行四边形，根据已知不能推 出OB＝OD，或AD＝BC或AB＝DC，而四边形不是平 行四边形．
变形6如图,BD是口ABCD的一条对角线 CM⊥BD,AN⊥BD,垂足分别为M,N.四边形 AMCN是平行四A D方法? B 解:四边形AMCN是平行四边形 方法一:证明AN絞CM; 方法二:证明AN∥CM,AM∥CN 方法三:证明AN=CM,AM=CN; 方法四:连接AC交BD于点O,证明O4=OC OME=ON
变形6 如图，BD是▱ABCD的一条对角线， CM⊥BD，AN⊥BD，垂足分别为M，N.四边形 AMCN是平行四边形吗？你有几种判别方法？ 解：四边形AMCN是平行四边形． 方法一：证明AN綊CM； 方法二：证明AN∥CM，AM∥CN； 方法三：证明AN＝CM，AM＝CN； 方法四：连接AC交BD于点O，证明OA＝OC， OM＝ON
can 变形7在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC 为一边向外作等边三角形ACD,点E为AB的中点 连接DE 1)证明:DE∥CB; (2)探索AC与AB满足怎样的数量关系时,四边 行四边形 (1)证明:连接CE ∴点E是R△ACB的斜边AB的中点 ∴CE=AB=AE. △ACD是等边三角形,∴AD=CD 在△ADE与△CDE中,AD=CD, DE DE AE= CE, ∴△ADE≌△CDE(SSS) ∴∠ADE=∠CDE=30°,∵∠DCB 50 ∴∠EDC+∠DCB=180°DE∥CB
变形7 在Rt△ABC中，∠ACB＝90° ，以AC 为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点， 连接DE. (1)证明：DE∥CB； (2)探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边 形DCBE是平行四边形． (1)证明：连接CE， ∵点E是Rt△ACB的斜边AB的中点． ∴CE＝AB＝AE. ∵△ACD是等边三角形，∴AD＝CD. 在△ADE与△CDE中，AD＝CD， DE ＝ DE ， AE ＝ CE ， ∴△ADE≌△CDE(SSS)． ∴∠ADE＝∠CDE＝30° ，∵∠DCB ＝150° ， ∴∠EDC＋∠DCB＝180°.∴DE∥CB
(2)解::∠DCB=150,若四边形DCBE是 平行四边形,则DC∥BE,∠DCB+∠B= 180°.∴∠B=30°,即当AC=AB或AB=2AC时 四边形DCBE是平行四边形
(2)解：∵∠DCB＝150° ，若四边形DCBE是 平行四边形 ， 则 DC∥BE ， ∠ DCB ＋ ∠B ＝ 180°.∴∠B＝30° ，即当AC＝AB或AB＝2AC时， 四边形DCBE是平行四边形．