专题九反比例函数与一次 函教的综合 教材母题(教材P157目标与评定第13题) ycm) 如图是一个光学仪器上用的 60 曲面横截面示意图,图中的曲线 是一段反比例函数的图象,端点A 的纵坐标为80,另一端点B的坐标 B(80,10) 为B(80,10),求这段图象的函数20406080c 表达式和自变量的取值范围 800 解:y=x(10x≤80
专题九 反比例函数与一次 函数的综合 教材母题►(教材P157目标与评定第13题) 如图是一个光学仪器上用的 曲面横截面示意图，图中的曲线 是一段反比例函数的图象，端点A 的纵坐标为80，另一端点B的坐标 为B(80，10)，求这段图象的函数 表达式和自变量的取值范围． 解：y＝ 800 x (10≤x≤80)
【思想方法】(1)反比例函数 图象与一次函数图象的交点问题, 把交点的坐标分别代入两函数表达 式计算即可,注意两函数图象的交 点可以利用联立两函数表达式,利 用解方程组的方法求解 (2)反比例函数和一次函数的综 合题常涉及特殊线段、三角形面积 等条件,这些几何图形的边长常常 与某些点的坐标相关
【思想方法】 (1)反比例函数 图象与一次函数图象的交点问题， 把交点的坐标分别代入两函数表达 式计算即可，注意两函数图象的交 点可以利用联立两函数表达式，利 用解方程组的方法求解． (2)反比例函数和一次函数的综 合题常涉及特殊线段、三角形面积 等条件，这些几何图形的边长常常 与某些点的坐标相关．
变形1若反比例函数y=的图象过点(-2 1),则一次函数y=kx-k的图象过(A A·第 四象限B.第一、三、四 象限 C·第二、三、四象限D.第一 象陵形2 如图,直线y=x+a-2与双曲线y 交于A,B两点,则当线段AB的长 度取最小值时,a的值为(C) A·0 B.1 D.5
变形1 若反比例函数y＝的图象过点(－2， 1)，则一次函数y＝kx－k的图象过( ) A．第一、二、四象限 B．第一、三、四 象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、三 象限 A C 变形2 如图，直线 y＝x＋a－2 与双曲线 y ＝ 4 x交于 A，B 两点，则当线段 AB 的长 度取最小值时，a 的值为( ) A．0 B．1 C．2 D．5
变形3已知直线y=kx(k>0)与双曲线y 文交于A(xy)B(x2y)两点,则xy+xy的 值为(A) A·-6 B.-9 C.0 变形4如图,一次函数y=kx+b 与反比例函数y=(x>0)的图象交于 A(m,6),Bn,3)两点 (1)求一次函数的解析式; (2)根据图象直接写出kx+b-y>0 时,x的取值范围
变形 3 已知直线 y＝kx(k＞0)与双曲线 y＝ 3 x 交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 x1y2＋x2y1的 值为( ) A．－6 B．－9 C．0 D．9 A 变形 4 如图，一次函数 y＝kx＋b 与反比例函数 y＝ 6 x (x＞0)的 图象交于 A(m，6)，B(n，3)两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出 kx＋b－ 6 x＞0 时，x 的取值范围．
解:(1):A(m·6)B(n,3)在函数y 的图象 上,∴m=1,n=2,∴A点坐标是(1,6),B点坐 标是(2,3),把(1,6),(2,3)代入一次函数y-kx+ k+b=6 中,得 2k+b=3 解得k=-3,b=9. 次函数的解析式为y=-3x+9. (2)由图象知:1<x<2
解：(1)∵A(m，6)，B(n，3)在函数 y＝ 6 x 的图象 上，∴m＝1，n＝2，∴A 点坐标是(1，6)，B 点坐 标是(2，3)，把(1，6)，(2，3)代入一次函数 y－kx＋ b 中，得 k＋b＝6， 2k＋b＝3. 解得 k＝－3，b＝9. ∴一次函数的解析式为 y＝－3x＋9. (2)由图象知：1＜x＜2
变形5已知反比例函数y=的图象与一次 函数y2=ax+b的图象交于点A(1,4和点B(m, 2) (1)求这两个函数的表达式 (2)观察图象,写出使得y1>y2成立的自变量x 的取值范围 (3)如果点C与点A关于x轴对称,求△ABC 的面积
变形 5 已知反比例函数 y1＝ k x的图象与一次 函数 y2＝ax＋b 的图象交于点 A(1，4)和点 B(m， －2)． (1)求这两个函数的表达式； (2)观察图象，写出使得 y1＞y2成立的自变量 x 的取值范围； (3)如果点 C 与点 A 关于 x 轴对称，求△ABC 的面积．
k 解:(1)∵点A(1,4在y=的图象上, ∵.k=1X4=4,∴y= ∵点B在y=的图象上,∴m=-2 点B(-2,-2) 又:点A,B在一次函数y2=ax+b a+b=4, 的图象上 2a+b=-2 解得a=2,b=2,∴y2=2x+2 2)由图象可知,当0y2成立
解：(1)∵点 A(1，4)在 y1＝ k x 的图象上， ∴k＝1×4＝4，∴y1＝ 4 x . ∵点 B 在 y1＝ 4 x 的图象上，∴m＝－2， ∴点 B(－2，－2) 又∵点 A，B 在一次函数 y2＝ax＋b 的图象上，∴ a＋b＝4， －2a＋b＝－2， 解得 a＝2，b＝2，∴y2＝2x＋2 (2)由图象可知，当0＜x＜1 或x＜－2时，y1＞y2成立．
(3):点C与点A关于x轴对称 ∴C(1,-4,过点B作BD⊥AC,垂足为 D,则D(1,-2 于是△ABC高BD=1-(-2)=3,底为AC 4-(-4)=8,5S△ABC=24CBD=2×8×3=
(3)∵点 C 与点 A 关于 x 轴对称， ∴C(1，－4)，过点 B 作 BD⊥AC，垂足为 D，则 D(1，－2) 于是△ABC 高 BD＝1－(－2)＝3，底为 AC ＝4－(－4)＝8，∴S△ABC＝ 1 2 AC·BD＝ 1 2×8×3＝ 12
变形6如图,一次函数y=kx+b的图象与 坐标轴分别交于A,B两点,与反比例函数y=x 的图象在第二象限的交点为C,CD⊥x轴,垂足为 D,若OB=2,OD=4,△AOB的面积为1 (1)求一次函数与反比例函数的解析式; (2)直接写出当x0的解集
变形 6 如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象与 坐标轴分别交于 A，B 两点，与反比例函数 y＝ m x 的图象在第二象限的交点为 C，CD⊥x 轴，垂足为 D，若 OB＝2，OD＝4，△AOB 的面积为 1. (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)直接写出当 x＜0 时，kx＋b－ m x ＞0 的解集．
解:(1):0OB=2,△AOB的面积为1 B(-2,0),OA=1 A0-1)代入y=kx+b得, b=-1,k y=-2 又:0D=4,CD⊥x轴 C-4y),将x=-4代入y 1得 y=1,∴C(-4,1),∴1= m=-4,∴y=x (2)当x0的解集 是x<-4
解：(1)∵OB＝2，△AOB 的面积为 1， ∴B(－2，0)，OA＝1 ∴A(0，－1)代入 y＝kx＋b 得， b＝－1，k＝－ 1 2 . ∴y＝－ 1 2 x－1 又∵OD＝4，CD⊥x 轴， ∴C(－4，y)，将 x＝－4 代入 y＝－ 1 2 x－1 得 y＝1，∴C(－4，1)，∴1＝ m －4，∴m＝－4，∴y＝－ 4 x . (2)当 x＜0 时，kx＋b－ m x ＞0 的解集 是 x＜－4