DearEDU. com 第二教育网 13.5.3角平分线
13.5.3角平分线
DearEDU. com 第二教育网 不利用工具,请你将一张用纸 片做的角分成两个相等的角。你有什 么办法? (对折) A 再打开纸片,看看折 C痕与这个角有何关系? O B
不利用工具，请你将一张用纸 片做的角分成两个相等的角。你有什 么办法？ A O B C （对折）
DearEDU. com 第二教育网 究角平分线的唱圆 (1)实验:将∠AOB对折,再折出一个直角三角形 (使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠 形成的三条折痕,你能得出什么结论? C O B (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的 距离相等
探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形 （使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠 形成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的 距离相等
DearEDU. com 第二教育网 (3)验证猜想 已知:如图,OC平分∠AOB,点P在O 上,PD⊥OA于点D,PE上OB于点E A求证:PD=PE 证明:∵OC平分∠AOB(已知) ∠1=∠2(角平分线的定义) C "PD⊥OA,PE⊥oB P ∠PDO=∠PEo=900 在△PDO和△PEO中, E B ∠PDO=∠PEO(已证) ∠1=∠2(已证) OP=OP(公共边) .△PDO≡△PEO(A.A.S.) PDPE(全等三角形的对应边相等
证明：∵OC平分∠ AOB （已知） ∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴ ∠PDO= ∠PEO=900 在△PDO和△PEO中, ∵∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（A.A.S.） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） P A O B C E D 1 2 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC 上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE (3)验证猜想
DearEDU. com 第二教育网 (4)得到角平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离 相等 此性质的推理过程: ∠1=∠2,PD⊥OA, PE⊥OB(已知) C PD=PE(角平分线上的。6 点到角两边的距离相等) E B
此性质的推理过程: ∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知） ∴PD=PE（ ） P A O B C E D 1 2 (4)得到角平分线的性质：
随堂练习 判断题(×) 如图,AD平分∠BAC(已知) BD= DC 角的平分线上的点到角的两边 的距离相等
判断题（ ） ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴BD = DC ( ) A D C B 角的平分线上的点到角的两边 的距离相等。 ×
DearEDU 第二教育网 巡[练习 如图,在Rt△ABC中,BD是角平分线, DE⊥AB,垂足为E,DE与DC相等吗? 为什么? 答:DE=DC。 BD是∠ABC的平分线 且DE⊥BA,DC⊥BC, ∴DE=DC 思考做完本题后,你对角平分线又增加了什么 识? 角平分线的性质,为我们证明两条线段 相等又提供了新的方法与途径
B C
已3分线上的点逆命题到一个角的两边的 到角两边的距离 距离相等的点在这 相等。 个角的平分线上 已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB 点DB垂足,PD=PE 求证:点P在∠AO的平分线上 证明:PD⊥OA,PE⊥OB, A ∠PDo=∠PEO=900 在Rt△PDO与Rt△PEo中 P PD=PE(已知) OP=OP(公共边) E ∴Rt△ PDO- Rt△PDo(H.L) B要 ∴∠1=∠2即点P在∠AOB的平分线上
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上． O C B 1 A 2 P D E 证明： ∵PD⊥OA，PE⊥OB， 在Rt △PDO 与Rt △PEO中 ∴∠PDO= ∠PEO=900 ∵PD=PE（已知） OP=OP（公共边） ∴Rt△PDO≌ Rt △PDO(H.L.) ∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上 逆命题 到一个角的两边的 距离相等的点在这 个角的平分线上
5d0.com 例1 如图,在△ABC的顶点B的外角的平分线BD与 顶点C的外角的平分线CE相交于点P 求证:点P到三边AB、BC、AC的距离相等 证明:过点P作PM、代 DPH分别垂直于AB、BC、AC 垂足为M、K、H。 P公∵BD平分∠CBM . PK-PM K 同理PK=PH PK==PH B M 即点P到三边AB、BC、A的 离相等 若求证点P在∠BAC的平分线上 分 又该如何证明呢? 析
A C B E D P M H K 如图，在△ABC的 顶点 B的外角的平分线BD与 顶点 C的外角的平分线CE相交于点P． 求证：点Ｐ到三边AB、BC、AC的距离相等． 证明：过点P作PM、PK、 PH分别垂直于AB、BC、AC， 垂足为M、K、H。 ∵BD平分∠CBM ∴PK＝PM 同理PK＝PH ∴PK＝PM＝PH 即点P到三边AB、BC、AC的距 离相等 若求证点P在∠BAC的平分线上， 又该如何证明呢？
DearEDU. com 第二教育网 已知:如图,△ABC的角平分线BM、 CN相交于点P 求证:点P在∠BAC的平分线上
已知：如图，△ABC的角平分线BM、 CN相交于点P. 求证：点P在∠BAC的平分线上. F A B C P N