13.53角平分线
13.5.3角平分线
回顾0国考 角平分线的这条性 质是怎样得到的呢? 角平分线的性质是什么? 用纸剪一个角。把纸片对折,使角的两 边鱼合在一起。再把纸片展开。你看到 了升么? 角平分绲上的点到这个角的两边 的距高相等
•角平分线的性质是什么 • 用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两 边叠合在一起，再把纸片展开，你看到 了什么？ • 角平分线上的点到这个角的两边 的距离相等 回顾 思考 ？ 角平分线的这条性 质是怎样得到的呢？
开启智慧 ◆定理角平分线上的点到这个角的两边 距高相等 ◆如图,已知:0c是∠AOB的 平分线,P是0G上任意一点 A ,PD⊥0A,PE⊥0B,垂足分别 是D,E P O ◆求证:PD=PE(平分线上的 点到这个角的两角边距离 B 相等)
开启智慧 w定理 角平分线上的点到这个角的两边 w 距离相等. w如图,已知:OC是∠AOB的 平分线,P是OC上任意一点 ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 是D,E. w求证:PD=PE(平分线上的 点到这个角的两角边距离 相等). O C B 1 A 2 P D E
证明:因为PD⊥D,PE⊥0B(已知), 所以∠PD=∠PEO=90°(垂直的定义) 在△PDO和△PEO中,因为 ∠DOP=∠EOP(已知), A ∠PDO=∠PEO(已证), PO=PO(公共边), △PDo△PE0(AAS) 2 . PDEPE E 于是就有定理: B 角平分线上的点到这个角的 两边的距离相等
• 证明: 因为PD⊥OA，PE⊥OB（已知）， • 所以 ∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）． O C B 1 A 2 P D E 在△PDO和△PEO中，因为 ∠DOP＝∠EOP（已知）， ∠PDO＝∠PEO（已证）， PO＝PO（公共边）， ｛ ∴△PDO≌ △PEO (A.A.S) ∴PD=PE 于是就有定理： 角平分线上的点到这个角的 两边的距离相等．
四问答:1、如图,在Rt△ABC中,BD是∠B的平分线 DE⊥AB,垂足为E A DE与DC相等吗?为什么? 答 DE=DCO BD是∠ABC的平分线 (D在∠ABC的平分线上)B C 又∵∴DE⊥BA,垂足为E, DC⊥BC,垂足为C, DE=DC。 l?思考做完本题后,你对角平分线又增加了什 么认识? 角平分线的性质, 为我们证明两线段相等又提供了新的方法与途径
A B C
反过来,到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢? 已知:如图,PD⊥0A,P⊥OB 点DB为垂足,PD=PE 求证:点P在∠AOB的平分线上 证明:PD⊥OA,PE⊥OB,点D、E A 为垂足, ∠PDO=∠PEO=Rt∠ 在Rt△PDO与Rt△PEO中 2 C jPD=PE(已知) OP=OP(公共边) E Rt△PDo△PDo B ∠1=∠2即点P在∠AOB的平分线上
• 反过来，到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上． O C B 1 A 2 P D E 证明： PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E 为垂足， 在Rt △PDO 与Rt △PEO中 ∴∠PDO= ∠PEO=Rt ∠ ｛PD=PE（已知） OP=OP（公共边） ∴Rt△PDO≌ △PDO ∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上
于是就有定理: 到一个角的两边距离相等的 点,在这个角的平分线上
于是就有定理： 到一个角的两边距离相等的 点，在这个角的平分线上
命题:三角形三个角的平分线相交于一点.考 ◆基本想法是这样的∶我们知道,两条直线 相交只有一个交点,要想证明三条直线相交 思考分析 于一点,只要能证明两条直线的交点在第三 条直线上即可.这时可以考慮前面刚刚学习 的内容 如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P, M 过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是 E. F, D B BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, C ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等) 同理,PE=PF °。PD=PF 点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到 角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上) △ABC的三条角平分线相交于一点P
思 考 分 析 命题:三角形三个角的平分线相交于一点. 如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是 E,F,D. ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴△ABC的三条角平分线相交于一点P. w基本想法是这样的:我们知道,两条直线 相交只有一个交点.要想证明三条直线相交 于一点,只要能证明两条直线的交点在第三 条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学习 的内容. A B C P N M D E F ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD=PF. ∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到 角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上)
练习 课时训 A 1、""∠1=∠2DC⊥AC.DE⊥AB DC=DE 唐严分线上的点到角的两边的距离相等 E 2、判断题(×) 如图,AD平分∠BAC(已知) C BD DC (角的平分线上的点到角的) 两边的距离相等
1、 ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB ∴___________ (________________________________) A C D E B 1 2 DC=DE 角平分线上的点到角的两边的距离相等 2、判断题（ ） ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ BD = DC ， ( ) A D C B 角的平分线上的点到角的 两边的距离相等。 × Ø 课时训练
练习 1.如图,在直线找出一点P,使得点P到 ∠AOB的两边OA、OB的距离相等 提示:作∠AOB的平分线 B 交直线于P就是所求的点 A (第1题)
练习 1． 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到 ∠AOB的两边OA、OB的距离相等． 提示：作∠AOB的平分线， 交直线l于P就是所求的点