23.2解直角三角形及其运用 专题五解直角三角形的运用
23．2 解直角三角形及其运用 专题五 解直角三角形的运用
类型之一:构造直角三角形解决实际问题 1·如图,在一次测量活动中,小华站在离旗杆底部(B处)6米的D处 望旗杆顶端A,测得仰角为60°,眼睛离地面的距离ED为1.5米,试 帮助小华求出旗杆AB的高度.(结果精确到0.1米,3≈1732) E
类型之一：构造直角三角形解决实际问题 1．如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B 处)6 米的 D 处， 仰望旗杆顶端 A，测得仰角为 60°，眼睛离地面的距离 ED 为 1.5 米，试 帮助小华求出旗杆 AB 的高度．(结果精确到 0.1 米， 3≈1.732)
解:过点E作EC⊥AB于点C,在Rt△ACE中,∠CEA=60° CE=BD=6米tan∠ AECSAC CE’∴AC=∠CE·tan∠AEC=6tan60° 63(米).∴AB=AC+BC=63+1.5≈10.39+1.5=189≈11.9(米)
解：过点 E 作 EC⊥AB 于点 C，在 Rt△ACE 中，∠CEA＝60°， CE＝BD＝6 米，tan∠AEC＝ AC CE，∴AC＝∠CE·tan∠AEC＝6tan60° ＝6 3(米)．∴AB＝AC＋BC＝6 3＋1.5≈10.39＋1.5＝11.89≈11.9(米)
2·(2014·烟台)小明坐于堤边垂钓,如图,河堤AC的坡角为30° AC长米,钓竿AO的倾斜角是60°,其长为3米,若AO与钓鱼线 OB的夹角为60°,求浮漂B与河堤下端C之间的距离 水平线 C B
2．(2014·烟台)小明坐于堤边垂钓，如图，河堤 AC 的坡角为 30°， AC 长 3 3 2 米，钓竿 AO 的倾斜角是 60°，其长为 3 米，若 AO 与钓鱼线 OB 的夹角为 60°，求浮漂 B 与河堤下端 C 之间的距离．
解:延长OA交BC于点D,∵AO的倾斜角是60°,∴∠ODB=60 ∵∠ACD=30°,∴∠CAD=180°-∠ODB-∠ACD=90°,在 3 Rt△ACD中,AD=AC·tan∠ACD=23=1.5(米),∴CD=2AD= 3米,又∴∠O=60°,∴△BOD是等边三角形,∴BD=OD=OA+AD 3+1.5=4.5(米),∴BC=BD-CD=4.5-3=1.5(米).答:浮漂B与河 堤下端C之间的距离为1.5米
解：延长 OA 交 BC 于点 D，∵AO 的倾斜角是 60°，∴∠ODB＝60 °，∵∠ACD＝30°，∴∠CAD＝180°－∠ODB－∠ACD＝90°，在 Rt△ACD 中，AD＝AC·tan∠ACD＝ 3 3 2 · 3 3 ＝1.5(米)，∴CD＝2AD＝ 3 米，又∵∠O＝60°，∴△BOD 是等边三角形，∴BD＝OD＝OA＋AD ＝3＋1.5＝4.5(米)，∴BC＝BD－CD＝4.5－3＝1.5(米)．答：浮漂 B 与河 堤下端 C 之间的距离为 1.5 米．
3·(2014·徐州)如图,轮船从点A处出发,先航行至位于点A的 南偏西15°且与点A相距100km的点B处,再航行至位于点B的北偏 东75°且与点B相距200km的点C处 (1)求点C与点A的距离(精确到1km); (2)确定点C相对于点A的方向 (参考数据:√2≈1414,√3≈1.732) 北 东 E C B
3．(2014·徐州)如图，轮船从点 A 处出发，先航行至位于点 A 的 南偏西 15°且与点 A 相距 100 km 的点 B 处，再航行至位于点 B 的北偏 东 75°且与点 B 相距 200 km 的点 C 处． (1)求点 C 与点 A 的距离(精确到 1 km)； (2)确定点 C 相对于点 A 的方向． (参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
解:(1)过点A作AD⊥BC于点D,由圈得,∠ABC=75°-15°= 60°,在Rt△ABD中…:∠ABC=60°AB=100…:,BD=50AD=503 ∴CD=BC-BD=200-50=150,在R△ACD中,由勾股定理得:AC AD2+CD2=1003≈173(km)(2)在△ABC中,AB2+AC2=100 +(10032=4000C2=2002=400012+AC2=BC2,∴∠BAC 90°,∴∠CAF=∠BAC-∠BAF=90°15°=75°,答:点C位于 点A的南偏东75°方向
解：(1)过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，由图得，∠ABC＝75°－15°＝ 60°.在 Rt△ABD 中，∵∠ABC＝60°，AB＝100，∴BD＝50，AD＝50 3， ∴CD＝BC－BD＝200－50＝150，在 Rt△ACD 中，由勾股定理得：AC ＝ AD2＋CD2＝100 3≈173(km) (2)在△ABC 中，∵AB2＋AC2＝1002 ＋(100 3) 2＝40000，BC2＝2002＝40000，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC ＝90°，∴∠CAF＝∠BAC－∠BAF＝90°－15°＝75°.答：点 C 位于 点 A 的南偏东 75°方向．
4·(2014仙桃)如图,在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB,其正前方矗 立着一大型广告牌,当阳光与水平线成45°角时,测得铁塔AB落在斜坡 上的影子BD的长为6米,落在广告牌上的影子CD的长为4米,求铁塔AB 的高.(AB,CD均与水平面垂直,结果保留根号) A45° C
4．(2014·仙桃)如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗 立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡 上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB 的高．(AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号)
解:过点C作CE⊥AB于点E,过点D作DF⊥AB交AB的延长线 于点F,在Rt△DBF中,∠BDF=30°,BF=DB·sin30° SDB=3, DF DB Cos30 2 DF=6X 2=33,∵CE=DF,∴CE=DF=33, AE 在Rt△ACE中,由题意可知∠ACE=45 CE=tan45°=1,∴AE CE=33,∴AB=AF-BF=AE+EF-BF=33+4-3=33+1)米, 所以铁塔AB的高为(33+1)米
解：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，过点 D 作 DF⊥AB 交 AB 的延长线 于点 F，在 Rt△DBF 中，∠BDF＝30°，BF＝DB·sin30°＝1 2 DB＝3， DF DB ＝cos30°＝ 3 2 ，∴DF＝6× 3 2 ＝3 3，∵CE＝DF，∴CE＝DF＝3 3， 在 Rt△ACE 中，由题意可知∠ACE＝45°， AE CE＝tan45°＝1，∴AE＝ CE＝3 3，∴AB＝AF－BF＝AE＋EF－BF＝3 3＋4－3＝(3 3＋1)米， 所以铁塔 AB 的高为(3 3＋1)米
类型之二:利用方程的思想解决实际问题 5·某煤矿发生瓦斯爆炸’该地救援队立即赶赴现场救援’救援队利 用生命探测仪在地面A,B两处探测到C处有生命迹象.已知A,B两点 相距4米,探测线与地面的夹角分别是30°和45°(如图),试确定生命所 在点C的深度.(精确到0.米,参考数据:V2≈1.414,√3≈1.732) BA45°30° C
类型之二：利用方程的思想解决实际问题 5．某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场救援，救援队利 用生命探测仪在地面 A，B 两处探测到 C 处有生命迹象．已知 A，B 两点 相距 4 米，探测线与地面的夹角分别是 30°和 45°(如图)，试确定生命所 在点 C 的深度．(精确到 0.1 米，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)