23.1.230°,60°,45°角的三角函数值 专题四求锐角三角函数方法归类
23.1.2 30° ，60° ，45°角的三角函数值 专题四 求锐角三角函数方法归类
类型之一:运用定义求锐角三角函数值 1·如图,在R△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若CD=5 AC=6,则tamB的值是(C) A 4-534 3-54-3 B C 2·在平面直角坐标系xOy中,已知点A2,1)和点B(3,0),sin AOB的值等于(A A
类型之一：运用定义求锐角三角函数值 1．如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，若 CD＝5， AC＝6，则 tanB 的值是( ) A. 4 5 B. 3 5 C. 3 4 D. 4 3 C 2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(2，1)和点 B(3，0)，sin∠ AOB 的值等于( ) A. 5 5 B. 5 2 C. 3 2 D. 1 2 A
3·在△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,求cosB的值. 解:∵∠C=90°C=3AB=5,BC=AB2-AC2=52-32 4,…C0sB、BC4 AB 5
3．在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，求 cosB 的值． 解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝ AB2－AC2＝ 5 2－3 2 ＝4，∴cosB＝ BC AB＝ 4 5
类型之二:巧设参数求锐角三角函数值 4·在R△ABC中,∠C=90,若sinA=,则tanB的值为(B) 43 A. B. C 30.5 5·△ABC中,∠C=90°,如果AC:BC=3:4,那么sinA=5 6·已知:如图,在R△ABC中,∠C=90,tan4=7,求∠B的正 弦、余弦值. 解 inB COSB B
类型之二：巧设参数求锐角三角函数值 4．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 sinA＝ 4 5，则 tanB 的值为( ) A. 4 3 B. 3 4 C. 3 5 D. 4 5 5．△ABC 中，∠C＝90°，如果 AC∶BC＝3∶4，那么 sinA＝_______． 6．已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tanA＝ 1 2，求∠B 的正 弦、余弦值． 解：sinB＝ 2 5 5 ，cosB＝ 5 5 B 4 5
7·已知ab,c是△ABC的三边长,且abc满足b2=(+a)(c-a).若 5b-4c=0,求sinA+sinB的值 解:∵∴b2=(c+a)(c-a),∴b2=c2-a2,即c2=a2+b2,∴△ABC是直 角三角形,∵5b-4c=0 sinA sinB=+ c 5 c 5
7．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且 a，b，c 满足 b 2＝(c＋a)(c－a)．若 5b－4c＝0，求 sinA＋sinB 的值． 解：∵b 2＝(c＋a)(c－a)，∴b 2＝c 2－a 2，即 c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 是直 角三角形，∵5b－4c＝0，∴ b c ＝ 4 5 ， a c ＝ 3 5 ，∴sinA＋sinB＝ a c ＋ b c ＝ 4 5 ＋ 3 5 ＝ 7 5
类型之三:利用互余两角的三角函数之间的关系求锐角三角函数值 8·已知在Rt△ABC中,∠C=90°,若。n13 2,则cos4的值为(C) A. B \2 D 9·计算:sin21°+sin2°+sin23°+…+sin287°+sin288°+sin289° 解:原式=445
类型之三：利用互余两角的三角函数之间的关系求锐角三角函数值 8．已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 sinB＝ 3 2 ，则 cosA 的值为( ) A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 3 3 9．计算：sin2 1°＋sin2 2°＋sin2 3°＋…＋sin2 87°＋sin2 88°＋sin2 89°. C 解：原式＝44.5
类型之四:利用等角求锐角三角函数值 10·如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,BC=3, AC=4求∠BCD的正切值 解:∵∠ACB=90°,BC=3,AC=4,∴∠A+∠B 90°,∵CD⊥AB,∴∠B+∠BCD=90°,.∠BCD=∠A: BC 3 ∴tan∠BCD=tanA AC 4 B
类型之四：利用等角求锐角三角函数值 10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90° ，CD⊥AB于点D，BC＝3， AC＝4.求∠BCD的正切值． 解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴∠A＋∠B＝ 90°，∵CD⊥AB，∴∠B＋∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠A， ∴tan∠BCD＝tanA＝ BC AC＝ 3 4
11·如图,已知△ABC,AB=AC=1,∠A=36°,∠ABC的平分线BD 交AC于点D (1)求AD的长; (2)求cos∠DBC的值 B C 解:(1)设AD=x,则CD=1-X,∵∠A=36°,AB=AC=1,∴∠ ABC=∠C=72°,又∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°,∴ BC=BD=AD=x,△ABC∽△BDC,∴BC2=AC·CD即x2=1-x,解 5 得 2 (负值舍去)口2)过D作DE⊥AB于点E,∵BD=AD,∴AE =BE=),在Rt△ADE中,cos∠DBC=cO4AE√5+1 AD
11．如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36° ，∠ABC的平分线BD 交AC于点D. (1)求AD的长； (2)求cos∠DBC的值． 解：(1)设 AD＝x，则 CD＝1－x，∵∠A＝36°，AB＝AC＝1，∴∠ ABC＝∠C＝72°，又∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∴ BC＝BD＝AD＝x，△ABC∽△BDC，∴BC2＝AC·CD 即 x 2＝1－x，解 得 x＝ 5－1 2 (负值舍去) (2)过 D 作 DE⊥AB 于点 E，∵BD＝AD，∴AE ＝BE＝ 1 2 ，在 Rt △ADE 中，cos ∠DBC＝cosA＝ AE AD＝ 5＋1 4
12·如图,已知1l2l3’相邻两条平行直线间的距离相等,若等腰直角三 角形ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上,求sina的值
12．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角三 角形ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，求sinα的值．
解 如图,过点A作AD⊥1于点D,交l2于点F,过点B作BE⊥1于点 E.设山1和之间的距离为1’则l2和l之间的距离也为1.∴∠CAD+∠ ACD=90°,∠BCE+∠ACD=90,∴∠CAD=∠BCE.∵△ABC是 等腰直角三角形,∴AC=BC.在△ACD和△CBE中, ∠CAD=∠BCE ∠ADC=∠BEC=90∴△ACD≌△CBE(AAS).∴CD=BE=1.在 AC=BC R△ACD中,AC=AD2+CD2=√5,在等腰直角三角形ABC中,AB AF 1 10 =AC+BC2=10,∴sina=sin∠AB=AB-/10-10
解： 如图，过点 A 作 AD⊥l1于点 D，交 l2 于点 F，过点 B 作 B E⊥l1于点 E.设 l1 和 l2 之间的距离为 1，则 l2 和 l3 之间的距离也为 1.∵∠CAD＋∠ ACD＝90°，∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE.∵△ABC 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， ∴ A C ＝ BC. 在 △ ACD 和 △ CBE 中 ， ∠CAD＝∠BCE， ∠ADC＝∠BEC＝90°， AC＝B C， ∴ △ACD≌ △CBE(AAS)．∴CD＝BE＝1.在 Rt△ACD 中，AC＝ AD2＋CD2＝ 5，在等腰直角三角形 ABC 中，AB ＝ AC2＋B C2＝ 10，∴sinα＝sin∠ABF＝ AF AB＝ 1 10＝ 10 10