专项训练七直角三角形的边角关系 一、选择题 an45°的值为() 2.如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinB的值为( 第2题图 第3题图 3.(2016三明中考)如图,在Rt△ABC中,斜边AB的长为m,∠A=35°,则直角边BC 的长是() A.msin35°B 4.(2016安徽四模在△ABC中,若sn-11+(￥3-tmp)=0,则∠C的度数为() A.30°B.60°C.90°D.120° 5.(06邢台二模)如图,在R△ABC中,∠B=9,c0s4=12,则mn的值为() A.=B.÷C.=D 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D若AC=5,BC=2,则 sin∠ACD的值为 √525√5 7.(2016萍乡二模)如图,在△ABC中,点E在AC上,点G在BC上,连接EG,AE EG=5,过点E作ED⊥AB,垂足为D,过点G作GF⊥AC,垂足为F,此时恰有DE= F=4若BG=25,则sinB的值为() 8.★(济南中考)如图,直线 +2与x轴、y轴分别交于A,B两点,把△AOB 沿直线AB翻折后得到△AOB,则点O的坐标是()
专项训练七 直角三角形的边角关系 一、选择题 1．tan45°的值为( ) A.1 2 B．1 C. 2 2 D. 2 2．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinB 的值为( ) A.1 2 B. 2 2 C. 3 2 D．1 第 2 题图 第 3 题图 3．(2016·三明中考)如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m，∠A＝35°，则直角边 BC 的长是( ) A．msin35° B．mcos35° C. m sin35° D. m cos35° 4．(2016·安徽四模)在△ABC 中，若 sinA－ 1 2 ＋ 3 3 －tanB 2 ＝0，则∠C 的度数为( ) A．30° B．60° C．90° D．120° 5．(2016·邢台二模)如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，cosA＝ 12 13，则 tanA 的值为( ) A.12 5 B.13 12 C.12 13 D. 5 12 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图 6．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D.若 AC＝ 5，BC＝2，则 sin∠ACD 的值为( ) A. 5 3 B.2 5 5 C. 5 2 D.2 3 7．(2016·萍乡二模)如图，在△ABC 中，点 E 在 AC 上，点 G 在 BC 上，连接 EG，AE ＝EG＝5，过点 E 作 ED⊥AB，垂足为 D，过点 G 作 GF⊥AC，垂足为 F，此时恰有 DE＝ GF＝4.若 BG＝2 5，则 sinB 的值为( ) A.2 5 10 B. 5 10 C.2 5 5 D. 5 5 8．★(济南中考)如图，直线 y＝－ 3 3 x＋2 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，把△AOB 沿直线 AB 翻折后得到△AO′B，则点 O′的坐标是( )
3,3)B 填空题 9.计算:cos30°-sn60° 0.(2016陕西中考)运用科学计算器计算 317sin73°52≈ (结果精确到0.1) 11(2016天桥区一模)如图,△ABC中,∠ACB=90°,tan4=3AB=15,AC 第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 12.(2016·澄迈县二模)加如图,铁路的路基的横断面为等腰梯形,其腰的坡度为1:1.5, 上底宽为6m,路基高为4m,则路基的下底宽为 13.(2016大连中考)如图,一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向,距离灯塔18海里 的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处,此时 渔船与灯塔P的距离约为 海里结果取整数,参考数据:sin5°≈0.8,c0s55≈0.6 tan55°≈1.4) ★(2016南通一模)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM为AB边上的中线,AN⊥CM, 交BC于点N若CM=3,AN=4,则tan∠CAN的值为 三、解答题 15.(2016济宁中考)某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为 1:1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面AC的坡度为1:√3 (1)求新坡面的坡角a; (2)原天桥底部正前方8米处(PB的长舶文化墙PM是否需要拆除?请说明理由 16.(2016宜宾中考)如图,CD是一高为4米的平台,AB是与CD底部相平的一棵树
A．( 3，3) B．( 3， 3) C．(2，2 3) D．(2 3，4) 二、填空题 9．计算：cos30°－sin60°＝________. 10．(2016·陕西中考)运用科学计算器计算： 3 17sin73°52′≈________(结果精确到 0.1)． 11．(2016·天桥区一模)如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，tanA＝ 4 3 ，AB＝15，AC＝________． 第 11 题图 第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图 12．(2016·澄迈县二模)如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为 1∶1.5， 上底宽为 6m，路基高为 4m，则路基的下底宽为________m. 13．(2016·大连中考)如图，一艘渔船位于灯塔 P 的北偏东 30°方向，距离灯塔 18 海里 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 55°方向上的 B 处，此时 渔船与灯塔 P 的距离约为________海里(结果取整数，参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6， tan55°≈1.4)． 14．★(2016·南通一模)如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CM 为 AB 边上的中线，AN⊥CM， 交 BC 于点 N.若 CM＝3，AN＝4，则 tan∠CAN 的值为________． 三、解答题 15．(2016·济宁中考)某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为 6 米，坡面 BC 的坡度为 1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面 AC 的坡度为 1∶ 3. (1)求新坡面的坡角 α； (2)原天桥底部正前方 8 米处(PB 的长)的文化墙 PM 是否需要拆除？请说明理由． 16．(2016·宜宾中考)如图，CD 是一高为 4 米的平台，AB 是与 CD 底部相平的一棵树
在平台顶C点测得树顶A点的仰角a=30°,从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E 在点E处测得树顶A点的仰角B=60°,求树高AB(结果保留根号) 1(济宁中考在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即求b 利用上述结论可以求解如下题目,如:在△ABC中,若∠A=45°,∠B=30°,a=6, 的值 解:在△ABC中,∵ asin6sin30° sina sinb LA sin45 解决问题: 如图,甲船以每小时3海里的速度向正北方航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲 船的北偏西105°方向的B1处,乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行,当甲船航行20 分钟后到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西12方向的B2处,此时两船相距102海里 (1)判断△A1A2B2的形状,并给出证明 (2)乙船每小时航行多少海里?
在平台顶 C 点测得树顶 A 点的仰角 α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进 3 米到达点 E， 在点 E 处测得树顶 A 点的仰角 β＝60°，求树高 AB(结果保留根号)． 17．(济宁中考)在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a sinA ＝ b sinB ＝ c sinC ， 利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC 中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求 b 的值． 解：在△ABC 中，∵ a sinA ＝ b sinB ，∴b＝ asinB sinA ＝ 6sin30° sin45°＝ 6× 1 2 2 2 ＝3 2. 解决问题： 如图，甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方航行，当甲船位于 A1 处时，乙船位于甲 船的北偏西 105°方向的 B1 处，乙船从 B1 处按北偏东 15°方向匀速直线航行，当甲船航行 20 分钟后到达 A2 处时，乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处，此时两船相距 10 2海里． (1)判断△A1A2B2 的形状，并给出证明； (2)乙船每小时航行多少海里？
参考答案与解析 B 2.B 3A 4D 5D 6.A 7.C解析:在Rt△ADE与Rt△EFG中 IDE=GF, R△ADE≌Rt△EFG(HL),∴∠A=∠GEF∴∵∠A4+∠AED=90°,∴∠GEF+∠AED 90°,∴∠DEG=90°过点G作GH⊥AB于点H,则四边形DEGH为矩形,∴GH=DE= 4在Rt△BGH中,sinB GH BG 故选C 5 8.A解析:过点O作OC⊥x轴于点C:直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于A, B两点,点A,B的坐标分别为25,0),(0,2,:m∠BAO=OB=2=,:∠BO OA 2\3 =30°.:把△AOB沿直线AB翻折后得到△AOB,∴OA=OA=23,∠OAO=60°,∴CA =o=,0c=0Asm∠OAC=23×Y3=3,:OC=OA-CA=2-√=,;点 O的坐标为√3,3).故选A 9.010.11911.912.18 13.11解析:过点P作PC⊥AB于点C依题意可得∠A=30°,∠B=55°在Rt△PAC 中,∵PA=18海里,∠A=30°,∴PC=PA=×18=9(海里).在Rt△PBC中,∵PC=9 海里,∠B=55,B≈C9≈11海里) 142解析:∵∠ACB=9,CM为AB边上的中线,;AB=2CM=6,CM=BM,∴∠B =∠MCB.∵AN⊥CM,∴∠CAN+∠ACM=90°又∵∠ACM+∠MCB=90°,∴∠CAN= ∠MCB,∴∠B=∠CAN.又∵∠ACN=∠BCA,∴△CAN∽△CBA,∴ AN_42 Ba 6 ∴tan∠CMCN2 AC 3 15.解:(1)∵新坡面的坡度为1:V3,∴tan=f,:a=30° (2)文化墙PM不需要拆除.理由如下:过点C作CD⊥AB于点D,则CD=6米.∵坡 面BC的坡度为1:1,新坡面AC的坡度为1:√3,∴BD=CD=6米,AD=√3CD=63米, ∴AB=AD-BD=(6√3-6)米<8米,∴文化墙PM不需要拆除 16.解:过点C作CF⊥AB于点F,则BF=CD=4米,CF=BD设AF=x米.在Rt△ACF 中,tan∠ACF=cF 4,∠ACF=a=30°,则CF=4=√x米,在R△ABE中,AB=AF +BF=(x+4)米,tan∠AEB ∠AEB=B=60°,则 AB tan60°3 x+4)米.∵CF= 2则,4B=35+4 BD=DE+BE,∴、5x=3+(x+4,解x3V5+4 3+12 2
参考答案与解析 1．B 2.B 3.A 4.D 5.D 6.A 7 ． C 解 析 ： 在 Rt△ADE 与 Rt△EFG 中 ， AE＝EG， DE＝GF， ∴Rt△ADE≌Rt△EFG(HL)，∴∠A＝∠GEF.∵∠A＋∠AED＝90°，∴∠GEF＋∠AED ＝90°，∴∠DEG＝90°.过点 G 作 GH⊥AB 于点 H，则四边形 DEGH 为矩形，∴GH＝DE＝ 4.在 Rt△BGH 中，sinB＝ GH BG＝ 4 2 5 ＝ 2 5 5 .故选 C. 8．A 解析：过点 O′作 O′C⊥x 轴于点 C.∵直线 y＝－ 3 3 x＋2 与 x 轴、y 轴分别交于 A， B 两点，∴点 A，B 的坐标分别为(2 3，0)，(0，2)，∴tan∠BAO＝ OB OA＝ 2 2 3 ＝ 3 3 ，∴∠BAO ＝30°.∵把△AOB 沿直线 AB 翻折后得到△AO′B，∴O′A＝OA＝2 3，∠O′AO＝60°，∴CA ＝ 1 2 O′A＝ 3，O′C＝O′A·sin∠O′AC＝2 3× 3 2 ＝3，∴OC＝OA－CA＝2 3－ 3＝ 3，∴点 O′的坐标为( 3，3)．故选 A. 9．0 10.11.9 11.9 12.18 13．11 解析：过点 P 作 PC⊥AB 于点 C.依题意可得∠A＝30°，∠B＝55°.在 Rt△PAC 中，∵PA＝18 海里，∠A＝30°，∴PC＝ 1 2 PA＝ 1 2 ×18＝9(海里)．在 Rt△PBC 中，∵PC＝9 海里，∠B＝55°，∴PB＝ PC sinB ≈ 9 0.8≈11(海里)． 14.2 3 解析：∵∠ACB＝90°，CM 为 AB 边上的中线，∴AB＝2CM＝6，CM＝BM，∴∠B ＝∠MCB.∵AN⊥CM，∴∠CAN＋∠ACM＝90°.又∵∠ACM＋∠MCB＝90°，∴∠CAN＝ ∠MCB，∴∠B＝∠CAN.又∵∠ACN＝∠BCA，∴△CAN∽△CBA，∴ CN CA ＝ AN BA＝ 4 6 ＝ 2 3 ， ∴tan∠CAN＝ CN AC＝ 2 3 . 15．解：(1)∵新坡面的坡度为 1∶ 3，∴tanα＝ 1 3 ＝ 3 3 ，∴α＝30°； (2)文化墙 PM 不需要拆除．理由如下：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，则 CD＝6 米．∵坡 面 BC 的坡度为 1∶1，新坡面 AC 的坡度为 1∶ 3，∴BD＝CD＝6 米，AD＝ 3CD＝6 3米， ∴AB＝AD－BD＝(6 3－6)米＜8 米，∴文化墙 PM 不需要拆除． 16．解：过点 C 作 CF⊥AB 于点 F，则 BF＝CD＝4 米，CF＝BD.设 AF＝x 米．在 Rt△ACF 中，tan∠ACF＝ AF CF，∠ACF＝α＝30°，则 CF＝ AF tan30°＝ 3x 米．在 Rt△ABE 中，AB＝AF ＋BF＝(x＋4)米，tan∠AEB＝ AB BE，∠AEB＝β＝60°，则 BE＝ AB tan60°＝ 3 3 (x＋4)米．∵CF＝ BD＝DE＋BE，∴ 3x＝3＋ 3 3 (x＋4)，解得 x＝ 3 3＋4 2 .则 AB＝ 3 3＋4 2 ＋4＝ 3 3＋12 2 (米)．
答:树高AB是33+12米 17.解:(1)△A1A2B2是等边三角形.证明如下:由题意可得A2B2=102海里,A1A= 30×0=10V2海里),∴A山=AB又:∠AB=180-10=60,;△AAB是等 边三角形 (2)由(1)可知△A1AB2是等边三角形,∴A1B2=A1A2=10√海里,∠A241B2=60P ∴∠B1A1B2=105°—60°=45°由题意可知∠CB1A1=180°-105°=75°,∴∠B2B1A1=75° 15°=600在△AB2B1中,由正弦定理得B1B= AIB sin45°sin60 B1B2=sin60° 20⑤海里)乙船的速度为2520=205海里时) 答:乙船每小时航行203海里
答：树高 AB 是 3 3＋12 2 米． 17．解：(1)△A1A2B2 是等边三角形．证明如下：由题意可得 A2B2＝10 2海里，A1A2＝ 30 2× 20 60＝10 2(海里)，∴A1A2＝A2B2.又∵∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2 是等 边三角形； (2)由(1)可知△A1A2B2 是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝10 2海里，∠A2A1B2＝60°， ∴∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.由题意可知∠CB1A1＝180°－105°＝75°，∴∠B2B1A1＝75°－ 15°＝60°.在△A1B2B1 中，由正弦定理得 B1B2 sin45°＝ A1B2 sin60°，∴B1B2＝ A1B2 sin60°·sin45°＝ 10 2 3 2 × 2 2 ＝ 20 3 3 (海里)．乙船的速度为20 3 3 ÷ 20 60＝20 3(海里/时)． 答：乙船每小时航行 20 3海里．