类比归纳专题:圆中求阴影部分的面积 全面掌握核心方法,以不变应万变 ◆类型一直接利用规则图形的和差求面积 1.如图,在边长为4的正方形ABCD中,先以点A为圆心,AD的长为半径画弧,再 以AB边的中点为圆心,AB长的一半为半径画弧,则阴影部分面积是 (结果保留x) 第1题图 第2题图 2.如图,长方形ABCD的长BC为3cm,宽AB为2cm,点E,F是边AD的三等分点 点G,H是边BC的三等分点.现分别以B,G两点为圆心,以2cm长为半径画弧AH和弧 EC,则阴影部分的面积为 3.如图,C为半圆内一点,O为圆心,直径AB长为2cm,∠BOC=60°,∠BCO=90°, 将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△BOC,点C在OA上,求边BC扫过区域(图中阴影部 分)的面积 ◆类型二割补法 4.如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是AB的中点,点D 在OB上,点E在OB的延长线上,当正方形CDE的边长为22时,则阴影部分的面积为 愚 第4题图 第5题图 5.如图所示,正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O,OA=AC=2,将正方形 绕O点顺时针旋转60°,在旋转过程中,正方形扫过的面积是
类比归纳专题：圆中求阴影部分的面积 ——全面掌握核心方法，以不变应万变 ◆类型一 直接利用规则图形的和差求面积 1．如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，先以点 A 为圆心，AD 的长为半径画弧，再 以 AB 边的中点为圆心，AB 长的一半为半径画弧，则阴影部分面积是________(结果保留 π)． 第 1 题图 第 2 题图 2．如图，长方形 ABCD 的长 BC 为 3cm，宽 AB 为 2cm，点 E，F 是边 AD 的三等分点， 点 G，H 是边 BC 的三等分点．现分别以 B，G 两点为圆心，以 2cm 长为半径画弧 AH 和弧 EC，则阴影部分的面积为________cm2 . 3．如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径 AB 长为 2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°， 将△BOC 绕圆心 O 逆时针旋转至△B′OC′，点 C′在 OA 上，求边 BC 扫过区域(图中阴影部 分)的面积． ◆类型二 割补法 4．如图，在扇形 AOB 中，∠AOB＝90°，正方形 CDEF 的顶点 C 是AB ︵ 的中点，点 D 在 OB 上，点 E 在 OB 的延长线上，当正方形 CDEF 的边长为 2 2时，则阴影部分的面积为 ________． 第 4 题图 第 5 题图 5．如图所示，正方形 ABCD 对角线 AC 所在直线上有一点 O，OA＝AC＝2，将正方形 绕 O 点顺时针旋转 60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是________．
◆类型三等积法 轴对称、旋转 6.如图,以AB为直径,点O为圆心的半圆经过点C,若AC=BC=√E,则图中阴影 部分的面积是 第6题图 第7题图 7.如图,小方格都是边长为1的正方形,则以格点为圆心,半径为1和2的两种弧围 成的“叶状”阴影图案的面积为() A.4x-2B.2x-2 C.4x-4D.2x-4 、同底等高的三角形等积替换 8.如图,AB是半圆O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,若弦CD=2,则图中 阴影部分的面积为 第8题图 第9题图 利用全等进行等积替换 9.如图,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,AB=2,点D为AB的中点,以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DE,点C恰在弧EF上,则图中阴影部分的面积为 ◆类型四折叠问题中求面积 0.如图,半径为1的半圆形纸片,按如图方式折叠,使对折后半圆弧的中点M与圆 心O重合,则图中阴影部分的面积是
◆类型三 等积法 一、轴对称、旋转 6．如图，以 AB 为直径，点 O 为圆心的半圆经过点 C，若 AC＝BC＝ 2，则图中阴影 部分的面积是________． 第 6 题图 第 7 题图 7．如图，小方格都是边长为 1 的正方形，则以格点为圆心，半径为 1 和 2 的两种弧围 成的“叶状”阴影图案的面积为( ) A．4π－2 B．2π－2 C．4π－4 D．2π－4 二、同底等高的三角形等积替换 8．如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C，D 是半圆 O 的三等分点，若弦 CD＝2，则图中 阴影部分的面积为________． 第 8 题图 第 9 题图 三、利用全等进行等积替换 9．如图，在△ABC 中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点 D 为 AB 的中点，以点 D 为圆心作圆心角为 90°的扇形 DEF，点 C 恰在弧 EF 上，则图中阴影部分的面积为________． ◆类型四 折叠问题中求面积 10．如图，半径为 1 的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点 M 与圆 心 O 重合，则图中阴影部分的面积是________．
参考答案与解析 2.2解析:∵四边形ABCD是矩形,点E,F是边AD的三等分点,点G,H是边 的三等分点,BC=3cm,∴AE=EF=BG=GH=lcm,四边形ABGE是矩形.∴S明=S ABGE+S扇形EGC-S扇形ABH=S矩形ABCE=2×1=2(cm2) 3.解:由题意,得△BOC≌△BOC∴∠BCO=90°,∠BOC=60°,∴∠BCO=90°, ∠BOC=60°,∴∠BOC=60°,∠CBO=30°,∴∠BOB=120°∵AB=2cm,∴OB=lcm, 120×12 120π OC=cm,∴S扇形BOB= 3603 cm2),S扇形COC 形BOB+S△BCO-S 扇形COC 扇形BOB 廟形COC 4.2π-45.2π+2 6解析:∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90AC=BC=E,∴△ACB为等腰直 角三角形,:OC⊥AB,∴:△AOC和△BOC都是等腰直角三角形,∴S△C=s,O=Y2 9012 AC=1,∴S明影=S扇形AOC=360 7.D解析:如图,连接AB.由题意得阴影部分的面积为2(S确形AOB-S△AOB 90×221 ×2×2=2x-4故选D 解析:连接OC,OD,BD.∵∴点C,D是半圆O的三等分点,∴∠AOC=∠COD =∠DOB=60°∵OC=OD=OB,∴△COD,△OBD是等边三角形,∴∠COD=∠ODB 60°,OD=CD=2,∴OC∥BD,∴S△BDC=S△BDO,∴S阴=S扇形OBD 60t-222 3603 O 解析:连接CD,过点D作DM⊥BC于点M,作DN⊥AC于点N∵CA=CB, 2 ∠ACB=90°,点D为AB的中点,∴DC=AB=1,四边形DMCN是矩形,CD平分∠ACB ∴DM=DN,∴四边形DMCN是正方形.在Rt△CDN中,DC=1,∠DCN=45°,∴DN ∴∠GDH=∠MDN=90°,∴∠GDM=∠HDN.在△DMG和△DMH中, ∠DMG=∠DNH, DMEDM △DMG≌△DNH(ASA),∴S四边形DGCH=S四边形DMC ∠GDM=∠HDN
参考答案与解析 1．2π 2．2 解析：∵四边形 ABCD 是矩形，点 E，F 是边 AD 的三等分点，点 G，H 是边 BC 的三等分点，BC＝3cm，∴AE＝EF＝BG＝GH＝1cm，四边形 ABGE 是矩形．∴S 阴影＝S 矩形 ABGE＋S 扇形 EGC－S 扇形 ABH＝S 矩形 ABGE＝2×1＝2(cm2 )． 3．解：由题意，得△B′OC′≌△BOC.∵∠BCO＝90°，∠BOC＝60°，∴∠B′C′O＝90°， ∠B′OC′＝60°，∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°，∴∠B′OB＝120°.∵AB＝2cm，∴OB＝1cm， ∴OC＝ 1 2 cm，∴S 扇形 B′OB＝ 120π×1 2 360 ＝ π 3 (cm2 )，S 扇形 C′OC＝ 120π× 1 2 2 360 ＝ π 12(cm2 )，∴S 阴影＝S 扇 形 B′OB＋S△B′C′O－S△BCO－S 扇形 C′OC＝S 扇形 B′OB－S 扇形 C′OC＝ π 3 － π 12＝ π 4 (cm2 )． 4．2π－4 5.2π＋2 6.π 4 解析：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.∵AC＝BC＝ 2，∴△ACB 为等腰直 角三角形，∴OC⊥AB，∴△AOC 和△BOC 都是等腰直角三角形，∴S△AOC＝S△BOC，OA＝ 2 2 AC＝1，∴S 阴影＝S 扇形 AOC＝ 90·π·12 360 ＝ π 4 . 7．D 解析：如图，连接 AB.由题意得阴影部分的面积为 2(S 扇形 AOB－S△AOB)＝ 2 90π×2 2 360 － 1 2 ×2×2 ＝2π－4.故选 D. 8.2π 3 解析：连接 OC，OD，BD.∵点 C，D 是半圆 O 的三等分点，∴∠AOC＝∠COD ＝∠DOB＝60°.∵OC＝OD＝OB，∴△COD，△OBD 是等边三角形，∴∠COD＝∠ODB＝ 60°，OD＝CD＝2，∴OC∥BD，∴S△BDC＝S△BDO，∴S 阴影＝S 扇形 OBD＝ 60π·22 360 ＝ 2π 3 . 9.π 4 － 1 2 解析：连接 CD，过点 D 作 DM⊥BC 于点 M，作 DN⊥AC 于点 N.∵CA＝CB， ∠ACB＝90°，点 D 为 AB 的中点，∴DC＝ 1 2 AB＝1，四边形 DMCN 是矩形，CD 平分∠ACB， ∴DM＝DN，∴四边形 DMCN 是正方形．在 Rt△CDN 中，DC＝1，∠DCN＝45°，∴DN＝ 2 2 .∵∠GDH ＝ ∠MDN ＝ 90°， ∴∠GDM ＝ ∠HDN. 在 △DMG 和 △DNH 中 ， ∠DMG＝∠DNH， DM＝DN， ∠GDM＝∠HDN， ∴△DMG≌△DNH(ASA)，∴S 四边形 DGCH＝S 四边形 DMCN＝ 2 2 2 ＝ 1 2 .∴S 阴影
S扇形FDE一S四边形DGCH 90x×121x_1 36024 0Y-g解析:如图,连接O交AB于点C,连接OA,OB由题意,得OM⊥AB OC=MC=在R△AOC中,OA=1,OC=3,∴cos∠AOC=OC21,AC=VOn-O ∴∠AOC=60°,AB=2C=√3,∴∠AOB=2∠AOC=120°,∴S号形ABM=S扇形OAB-S△AOB 120π×12 ∵S阴影=S半O-2S号形ABM=X M
＝S 扇形 FDE－S 四边形 DGCH＝ 90π×1 2 360 － 1 2 ＝ π 4 － 1 2 . 10. 3 2 － π 6 解析：如图，连接 OM 交 AB 于点 C，连接 OA，OB.由题意，得 OM⊥AB， OC＝MC＝ 1 2 .在 Rt△AOC 中，∵OA＝1，OC＝ 1 2 ，∴cos∠AOC＝ OC OA＝ 1 2 ，AC＝ OA2－OC2＝ 3 2 ，∴∠AOC＝60°，AB＝2AC＝ 3，∴∠AOB＝2∠AOC＝120°，∴S 弓形 ABM＝S 扇形 OAB－S△AOB ＝ 120π×1 2 360 － 1 2 × 3× 1 2 ＝ π 3 － 3 4 ，∴S 阴影＝S 半圆 O－2S 弓形 ABM＝ 1 2 π×1 2－2 π 3 － 3 4 ＝ 3 2 － π 6