难点专题:二次函数的综合题【勇于探究的能力】 代几结合,突破面积及点的存在性问题 ◆类型一抛物线与三角形的综合 、求最值 1.如图,抛物线y=x2-bx+c交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是直线x (1)求抛物线的解析式 (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使△PAB的周长最小?若存在, 求出点P的坐标;若不存在,请说明理由 、求直角(或等腰或相似)三角形的存在性问题 如图,已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(O,-3)三点, 直线1是抛物线的对称轴 (1)求抛物线的函数关系式 (2)设点P是直线1上的一个动点,当点P到点A、点B的距离之和最短时,求点P的 坐标 (3)点M也是直线1上的动点,且△MAC为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点 M的坐标.【易错4】
难点专题：二次函数的综合题【勇于探究的能力】 ——代几结合，突破面积及点的存在性问题 ◆类型一 抛物线与三角形的综合 一、求最值 1．如图，抛物线 y＝x 2－bx＋c 交 x 轴于点 A(1，0)，交 y 轴于点 B，对称轴是直线 x ＝2. (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点 P，使△PAB 的周长最小？若存在， 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 二、求直角(或等腰或相似)三角形的存在性问题 2．如图，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过 A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点， 直线 l 是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点 P 是直线 l 上的一个动点，当点 P 到点 A、点 B 的距离之和最短时，求点 P 的 坐标； (3)点 M 也是直线 l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 M 的坐标．【易错 4】
3.★如图,已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),与直线y=x-2交于B,C两点 (1)求抛物线的解析式及点C的坐标 (2)求证:△ABC是直角三角形; 3)若点N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M,则是否存在 以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标:若不存在,请 说明理由. 三、与面积相关的问题 4.如图,坐标平面上,二次函数y=-x2+4x-k的图象与x轴交于A,B两点,与y 轴交于C点,其顶点为D,且k>0.若△ABC与△ABD的面积比为1:4,则k的值为() 5.★如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0)
3．★如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A(1，1)，与直线 y＝x－2 交于 B，C 两点． (1)求抛物线的解析式及点 C 的坐标； (2)求证：△ABC 是直角三角形； (3)若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MN⊥x 轴与抛物线交于点 M，则是否存在 以 O，M，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请 说明理由． 三、与面积相关的问题 4．如图，坐标平面上，二次函数 y＝－x 2＋4x－k 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，其顶点为 D，且 k＞0.若△ABC 与△ABD 的面积比为 1∶4，则 k 的值为( ) A．1 B. 1 2 C. 4 3 D. 4 5 5．★如图，二次函数 y＝ax2＋bx 的图象经过点 A(2，4)与 B(6，0)．
(1)求a,b的值 (2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边 形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值 ◆类型二抛物线与特殊四边形的综合 6.抛物线y=-x2+6x-9的顶点为A,与y轴的交点为B,如果在抛物线上取点C, 在x轴上取点D,使得四边形ABCD为平行四边形,那么点D的坐标是() A.(-6,0)B.(6,0)C.(-9,0)D.(9,0) 7.如图,在平面直角坐标系中,沿着两条坐标轴摆着三个相同的矩形,其长、宽分别 为4,2,则过A,B,C三点的抛物线的函数关系式是 8.如图,四边形OABC是边长为1的正方形,OC与x轴正半轴的夹角为15°,点B 在抛物线y=ax2(a<0)上,则a的值为
(1)求 a，b 的值； (2)点 C 是该二次函数图象上 A，B 两点之间的一动点，横坐标为 x(2<x<6)，写出四边 形 OACB 的面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的最大值． ◆类型二 抛物线与特殊四边形的综合 6．抛物线 y＝－x 2＋6x－9 的顶点为 A，与 y 轴的交点为 B，如果在抛物线上取点 C， 在 x 轴上取点 D，使得四边形 ABCD 为平行四边形，那么点 D 的坐标是( ) A．(－6，0) B．(6，0) C．(－9，0) D．(9，0) 7．如图，在平面直角坐标系中，沿着两条坐标轴摆着三个相同的矩形，其长、宽分别 为 4，2，则过 A，B，C 三点的拋物线的函数关系式是________________． 8．如图，四边形 OABC 是边长为 1 的正方形，OC 与 x 轴正半轴的夹角为 15°，点 B 在抛物线 y＝ax2 (a＜0)上，则 a 的值为________．
9.正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,抛物线1经过O,P,A三点,点E 是正方形内的抛物线1上的动点 (1)建立适当的平面直角坐标系 ①直接写出O,P,A三点坐标 ②求抛物线1的解析式 (2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值 参考答案与解析
9．正方形 OABC 的边长为 4，对角线相交于点 P，抛物线 l 经过 O，P，A 三点，点 E 是正方形内的抛物线 l 上的动点． (1)建立适当的平面直角坐标系， ①直接写出 O，P，A 三点坐标； ②求抛物线 l 的解析式； (2)求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值． 参考答案与解析
b+c=0 解:(1)由题意得b 解得 3 抛物线的解析式为y=x2-4x+3 (2)存在,∵点A与点C关于直线x=2对称,∴连接BC与直线x=2交于点P,则点P 即为所求.根据抛物线的对称性可知点C的坐标为(3,0).∵y=x2-4x+3,∴点B的坐标 为,3设直线BC的解析式为y=m+,则3m+n=0,解得3:直线BC的解 析式为y=-x+3,∴直线BC与直线x=2的交点坐标为(2,1),即点P的坐标为(2,1) 2解:(1)将A(-1,0),B3,0),CO,-3)代入抛物线y=ax2+bx+c中,得%+3b+c=0 a=1, 解得b=-2,∴抛物线的函数关系式为y=x2-2x-3 (2)当点P在x轴上,P,A,B三点在一条直线上时,点P到点A、点B的距离之和最 短,此时点P的横坐标为-b=1,故点P的坐标为(,0) (3)点M的坐标为(1,-1),(1,√6),(1,-√6),(1,0).解析:抛物线的对称轴为 直线x=-b 1设点M的坐标为(1,m).已知A(-1,0),CO,-3),则 MA2=m2+4,MC2=(m+3)2+1=m2+6m+10,AC=12+32=10.①若MA=MC,则 MA2=MC2,得m2+4=m2+6m+10,解得m=-1:②若MA=AC,则MA2=AC2,得m +4=10,解得m=±6:③若MC=AC,则MC2=AC2,得m2+6m+10=10,解得m1=0, m=-6,当m=-6时,M,A,C三点共线,构不成三角形,不合题意,故舍去.综上所 述,符合条件的点M的坐标为(1,-1),(1,√6,(1,-V6),(1,0) 3.(1)解:∵顶点坐标为(1,1),∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+1.又∵抛物线过 原点,∴0=a(0-1)2+1,解得a=-1,∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+1,即y=-x2 +2x联立抛物线和直线解析式可得 py=-x2+2x, 解得 y=x-2, =-3,…点B的坐标为 (2,0),点C的坐标为(-1,-3). (2)证明:分别过A,C两点作x轴的垂线,交x轴于点D,E两点,则AD=OD=BD ∠ABO+∠CBO=90°,∴△ABC是直角三角形 (3)解:假设存在满足条件的点N,设点N的坐标为x,0),则点M的坐标为(x,-x2+ 由(2)在Rt△ABD和R△CEB中,可分别求得AB=V2 3V2MN⊥x轴,∠MNO=∠ABC=90°,∴当△ABC和△MNO相似时,4N_ON B①当AB=BC时,则台 V32 即叫-x+2=2∵当x=0时,M
1．解：(1)由题意得 1－b＋c＝0， b 2 ＝2， 解得 b＝4， c＝3. ∴抛物线的解析式为 y＝x 2－4x＋3. (2)存在．∵点 A 与点 C 关于直线 x＝2 对称，∴连接 BC 与直线 x＝2 交于点 P，则点 P 即为所求．根据抛物线的对称性可知点 C 的坐标为(3，0)．∵y＝x 2－4x＋3，∴点 B 的坐标 为(0，3)．设直线 BC 的解析式为 y＝mx＋n，则 3m＋n＝0， n＝3， 解得 m＝－1， n＝3. ∴直线 BC 的解 析式为 y＝－x＋3，∴直线 BC 与直线 x＝2 的交点坐标为(2，1)，即点 P 的坐标为(2，1)． 2．解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)代入抛物线y＝ax2＋bx＋c中，得 a－b＋c＝0， 9a＋3b＋c＝0， c＝－3， 解得 a＝1， b＝－2， c＝－3. ∴抛物线的函数关系式为 y＝x 2－2x－3. (2)当点 P 在 x 轴上，P，A，B 三点在一条直线上时，点 P 到点 A、点 B 的距离之和最 短，此时点 P 的横坐标为－ b 2a ＝1，故点 P 的坐标为(1，0)． (3)点 M 的坐标为(1，－1)，(1， 6)，(1，－ 6)，(1，0)． 解析：抛物线的对称轴为 直线 x＝－ b 2a ＝1.设点 M 的坐标为(1，m)．已知 A(－1，0)，C(0，－3)，则 MA2＝m2＋4，MC2＝(m＋3)2＋1＝m2＋6m＋10，AC2＝1 2＋3 2＝10.①若 MA＝MC，则 MA2＝MC2，得 m2＋4＝m2＋6m＋10，解得 m＝－1；②若 MA＝AC，则 MA2＝AC2，得 m2 ＋4＝10，解得 m＝± 6；③若 MC＝AC，则 MC2＝AC2，得 m2＋6m＋10＝10，解得 m1＝0， m2＝－6，当 m＝－6 时，M，A，C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上所 述，符合条件的点 M 的坐标为(1，－1)，(1， 6)，(1，－ 6)，(1，0)． 3．(1)解：∵顶点坐标为(1，1)，∴设抛物线的解析式为 y＝a(x－1)2＋1.又∵抛物线过 原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得 a＝－1，∴抛物线的解析式为 y＝－(x－1)2＋1，即 y＝－x 2 ＋2x.联立抛物线和直线解析式可得 y＝－x 2＋2x， y＝x－2， 解得 x＝2， y＝0 或 x＝－1， y＝－3， ∴点 B 的坐标为 (2，0)，点 C 的坐标为(－1，－3)． (2)证明：分别过 A，C 两点作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 D，E 两点，则 AD＝OD＝BD ＝1，BE＝OB＋OE＝2＋1＝3，CE＝3，∴BE＝CE，∴∠ABO＝∠CBO＝45°，∴∠ABC＝ ∠ABO＋∠CBO＝90°，∴△ABC 是直角三角形． (3)解：假设存在满足条件的点 N，设点 N 的坐标为(x，0)，则点 M 的坐标为(x，－x 2＋ 2x)，∴ON＝|x|，MN＝|－x 2＋2x|.由(2)在 Rt△ABD 和 Rt△CEB 中，可分别求得 AB＝ 2，BC ＝3 2.∵MN⊥x 轴，∴∠MNO＝∠ABC＝90°，∴当△ABC 和△MNO 相似时，有MN AB＝ ON BC或 MN BC＝ ON AB.①当 MN AB＝ ON BC时，则有|－x 2＋2x| 2 ＝ |x| 3 2 ，即|x||－x＋2|＝ 1 3 |x|.∵当 x＝0 时，M，O
N不能构成三角形,∴x≠0,x+2=3,即-x+2=*3,解得x=或x=3,此时点N 的坐标为 0②当C=≌时 则有二x+2=, V√ 即p-x+2|=3,∴ +2=3,即一x+2=±3,解得x=5或x=-1,此时点N的坐标为(-1,0)或(5,0).综 上所述,存在满足条件的N点,其坐标为号0),0减一1,0或5,0 4.D解析:∵y=-x2+4x-k=-(x-2)2+4-k,∴顶点D的坐标为(2,4-k),点C 的坐标为(0,一k),∴OC=k∵△ABC的面积为4BOC=ABk,△ABD的面积为B(4 6),△ABC与△ABD的面积比为1:4,…∴k=4-k),解得k=故选D 4a+2b=4 5.解:(1)将A(2,4)与B(6,0代入y=ax2+bx,得 解得 136a+6b=0 22345&, (2)如图,过A作x轴的垂线,垂足为D(2,O),连接CD,CB,过C作CE⊥AD,CF⊥x 轴,垂足分别为E,F则S0020D4D0=2x24=4S=DCE=2x4x(-2=2 4,S△BCD=BDCF=×4 +3x=-x2+6x则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x 4-x2+6x=-x2+8x∴S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2<x<6).∵S=-x2+8x=-(x 4)2+16,∴当x=4时,四边形OACB的面积S有最大值,最大值为16 6.D解析:令x=0,得y=-9,∴点B的坐标为0,-9).∴y=-x2+6x-9=-(x 3)2,∴点A的坐标为3,0),对称轴为直线x=3∴点C在抛物线上,且四边形ABCD是 平行四边形,∴BC∥AD,即BC∥x轴,∴点C的坐标为(6,-9),∴BC=6,∴AD=6, 点D的坐标为(9,0).故选D 7.y=-12220解析:依题意得A点的坐标为(-4,2,B点的坐标为 6,C点的坐标为(2,4),设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c,则4-2b+c=-6,解 4a+2b+c=4
N 不能构成三角形，∴x≠0，∴|－x＋2|＝ 1 3 ，即－x＋2＝± 1 3 ，解得 x＝ 5 3 或 x＝ 7 3 ，此时点 N 的坐标为 5 3 ，0 或 7 3 ，0 ；②当 MN BC＝ ON AB时，则有|－x 2＋2x| 3 2 ＝ |x| 2 ，即|x||－x＋2|＝3|x|，∴| －x＋2|＝3，即－x＋2＝±3，解得 x＝5 或 x＝－1，此时点 N 的坐标为(－1，0)或(5，0)．综 上所述，存在满足条件的 N 点，其坐标为 5 3 ，0 或 7 3 ，0 或(－1，0)或(5，0)． 4．D 解析：∵y＝－x 2＋4x－k＝－(x－2)2＋4－k，∴顶点 D 的坐标为(2，4－k)，点 C 的坐标为(0，－k)，∴OC＝k.∵△ABC 的面积为1 2 AB·OC＝ 1 2 AB·k，△ABD 的面积为1 2 AB·(4 －k)，△ABC 与△ABD 的面积比为 1∶4，∴k＝ 1 4 (4－k)，解得 k＝ 4 5 .故选 D. 5．解：(1)将 A(2，4)与 B(6，0)代入 y＝ax2＋bx，得 4a＋2b＝4， 36a＋6b＝0， 解得 a＝－ 1 2 ， b＝3. (2)如图，过 A 作 x 轴的垂线，垂足为 D(2，0)，连接 CD，CB，过 C 作 CE⊥AD，CF⊥x 轴，垂足分别为 E，F.则 S△OAD＝ 1 2 OD·AD＝ 1 2 ×2×4＝4.S△ACD＝ 1 2 AD·CE＝ 1 2 ×4×(x－2)＝2x －4，S△BCD＝ 1 2 BD·CF＝ 1 2 ×4× － 1 2 x 2＋3x ＝－x 2＋6x.则 S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋2x－ 4－x 2＋6x＝－x 2＋8x.∴S 关于 x 的函数表达式为 S＝－x 2＋8x(2<x<6)．∵S＝－x 2＋8x＝－(x －4)2＋16，∴当 x＝4 时，四边形 OACB 的面积 S 有最大值，最大值为 16. 6．D 解析：令 x＝0，得 y＝－9，∴点 B 的坐标为(0，－9)．∵y＝－x 2＋6x－9＝－(x －3)2，∴点 A 的坐标为(3，0)，对称轴为直线 x＝3.∵点 C 在抛物线上，且四边形 ABCD 是 平行四边形，∴BC∥AD，即 BC∥x 轴，∴点 C 的坐标为(6，－9)，∴BC＝6，∴AD＝6， ∴点 D 的坐标为(9，0)．故选 D. 7．y＝－ 5 12x 2－ 1 2 x＋ 20 3 解析：依题意得 A 点的坐标为(－4，2)，B 点的坐标为(－2， 6)，C 点的坐标为(2，4)．设抛物线的函数关系式为 y＝ax2＋bx＋c，则 16a－4b＋c＝2， 4a－2b＋c＝6， 4a＋2b＋c＝4， 解
抛物线的函数关系式为 8:-3解析;连接OB三四边形OABC是边长为1的正方形,;∠BOC=45,OB =1×2=√2过点B作BD⊥x轴于点D∵OC与x轴正半轴的夹角为15°,∴∠BOD=45 15°=30°,∴BD=OB OD=√OB2-BD2 (5)2)=Y ∴点B的 坐标 ∵点B在抛物线y=ax(a<0)上,∴ 解得a= √2 9.解:(1)以O点为原点,线段OA所在的直线为x轴,线段OC所在的直线为y轴建 立直角坐标系,如图所示 ①∵正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,∴点O的坐标为(0,0),点A的坐 标为(4,0),点P的坐标为(2,2) ②设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c由抛物线l经过O,P,A三点,得 0=16a+4b+c,解得 ∴抛物线l的解析式为 2=4a+2b+ 2:点E是正方形内的抛物线/上的动点,∴设点E的坐标为mnm2+2m)0<m <4),∴S△OAE+S△OCE=2OAyE+ ×4×(--m2+2m+×4m=-m2+4m+2m= (m-3)2+9,∴当m=3时,△OAE与△OCE面积之和最大,最大值为9
得 a＝－ 5 12， b＝－ 1 2 ， c＝ 20 3 . ∴抛物线的函数关系式为 y＝－ 5 12x 2－ 1 2 x＋ 20 3 . 8．－ 2 3 解析：连接 OB.∵四边形 OABC 是边长为 1 的正方形，∴∠BOC＝45°，OB ＝1× 2＝ 2.过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D.∵OC 与 x 轴正半轴的夹角为 15°，∴∠BOD＝45° －15°＝30°，∴BD＝ 1 2 OB＝ 2 2 ，∴OD＝ OB2－BD2＝ （ 2）2－ 2 2 2 ＝ 6 2 ，∴点 B 的 坐标为 6 2 ，－ 2 2 .∵点 B 在抛物线 y＝ax2 (a＜0)上，∴a 6 2 2 ＝－ 2 2 ，解得 a＝－ 2 3 . 9．解：(1)以 O 点为原点，线段 OA 所在的直线为 x 轴，线段 OC 所在的直线为 y 轴建 立直角坐标系，如图所示． ①∵正方形 OABC 的边长为 4，对角线相交于点 P，∴点 O 的坐标为(0，0)，点 A 的坐 标为(4，0)，点 P 的坐标为(2，2)． ②设抛物线 l 的解析式为 y＝ax2 ＋bx＋c.由抛物线 l 经过 O，P，A 三点，得 0＝c， 0＝16a＋4b＋c， 2＝4a＋2b＋c， 解得 a＝－ 1 2 ， b＝2， c＝0. ∴抛物线 l 的解析式为 y＝－ 1 2 x 2＋2x. (2)∵点 E 是正方形内的抛物线 l 上的动点，∴设点 E 的坐标为 m，－ 1 2 m2＋2m (0＜m ＜4)，∴S△OAE＋S△OCE＝ 1 2 OA·yE＋ 1 2 OC·xE＝ 1 2 ×4× － 1 2 m2＋2m ＋ 1 2 ×4m＝－m2＋4m＋2m＝ －(m－3)2＋9，∴当 m＝3 时，△OAE 与△OCE 面积之和最大，最大值为 9