2712圆的对称性 选择题(共8小题) 1.在同圆或等圆中,下列说法错误的是() A.相等弦所对的弧相等 B.相等弦所对的圆心角相等 C.相等圆心角所对的弧相等 D.相等圆心角所对的弦相等 2.如图,已知⊙O的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是 A.6B.5C.4D.3 3.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB=8cm,且AB⊥CD,垂足为M,则AC的长为( A.2√5mB.45cmC.2√5cm或45mD.2√3m或43m 4.如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为 D 5.如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于E,连接BC、BD,下列结论中不一定正确的是() A. AE=BE B. AD BD C. OE=DE D. ZDBC=90% 6.如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为3,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB 的长为42,则a的值是()
27.1.2 圆的对称性 一．选择题（共 8 小题） 1．在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ） A．相等弦所对的弧相等 B．相等弦所对的圆心角相等 C．相等圆心角所对的弧相等 D．相等圆心角所对的弦相等 2．如图，已知⊙O 的半径为 13，弦 AB 长为 24，则点 O 到 AB 的距离是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．已知⊙O 的直径 CD=10cm，AB 是⊙O 的弦，AB=8cm，且 A B⊥CD，垂足为 M，则 AC 的长为（ ） A． cm B． cm C． cm 或 cm D． cm 或 cm 4．如图，⊙O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE=2，DE=8，则 AB 的长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，CD 是⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于 E，连接 BC、BD，下列结论中不一定正确的是（ ） A．AE=BE B． = C．OE=DE D．∠DBC=90° 6．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为 3，函数 y=x 的图象被⊙P 截得的弦 AB 的长为 ，则 a 的值是（ ）
y A.4B.3+√2C.3√2D.3+3 7.已知⊙O的面积为2π,则其内接正三角形的面积为() A.3√3B.w6c.33D./6 8.如图,半径为3的⊙O内有一点A,OA=√3,点P在⊙O上,当∠OPA最大时,PA的长等于( A.√3B.v6C.3D.23 二.填空题(共6小题) 9.如图,已知直线AB与⊙O相交于A、B两点,∠OAB=30°,半径OA=2,那么弦AB= 10.如图,⊙O的半径是5,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P,若CD=8,则△ACD的面积是
A．4 B． C． D． 7．已知⊙O 的面积为 2π，则其内接正三角形的面积为（ ） A．3 B．3 C． D． 8．如图，半径为 3 的⊙O 内有一点 A，OA= ，点 P 在⊙O 上，当∠OPA 最大时，PA 的长等于（ ） A． B． C．3 D．2 二．填空题（共 6 小题） 9．如图，已知直线 AB 与⊙O 相交于 A、B 两点，∠OAB=30°，半径 OA=2，那么弦 AB= _________ ． 10．如图，⊙O 的半径是 5，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 P，若 CD=8，则△ACD 的面积是 _________ ．
11.如图,AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F, P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为 OP 12.如图,在OO中,CD是直径,弦AB⊥CD,垂足为E,连接BC,若AB=2√zcm,∠BCD=2230,则0O的半 径为 13.如图,⊙O的半径是2,直线1与⊙O相交于A、B两点,MN是⊙O上的两个动点,且在直线l的异侧,若∠AMB=45°, 则四边形MANB面积的最大值是 14.如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,点E是BC的中点,OE交BC于点D.连接AC,若BC=6,DE=1,则AC 的长为 三.解答题(共7小题) 15.如图,AB是⊙O的弦,点C、D在弦AB上,且AD=BC,联结OC、OD.求证:△OCD是等腰三角形
11．如图，AB、CD 是半径为 5 的⊙O 的两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，AB⊥MN 于点 E，CD⊥MN 于点 F， P 为 EF 上的任意一点，则 PA+PC 的最小值为 _________ ． 12．如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦 AB⊥CD，垂足为 E，连接 BC，若 AB=2 cm，∠BCD=22°30′，则⊙O 的半 径为 _________ cm． 13．如图，⊙O 的半径是 2，直线 l 与⊙O 相交于 A、B 两点，M、N 是⊙O 上的两个动点，且在直线 l 的异侧，若∠AMB=45°， 则四边形 MANB 面积的最大值是 _________ ． 14．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，点 E 是 的中点，OE 交 BC 于点 D．连接 AC，若 BC=6，DE=1，则 AC 的长为 _________ ． 三．解答题（共 7 小题） 15．如图，AB 是⊙O 的弦，点 C、D 在弦 AB 上，且 AD=BC，联结 OC、OD．求证：△OCD 是等腰三角形．
16.已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图) (1)求证:AC=BD (2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O到直线AB的距离为6,求AC的长 17.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点M在⊙O上,MD恰好经过圆心O,连接MB (1)若CD=16,BE=4,求⊙O的直径 (2)若∠M=∠D,求∠D的度数 18.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB=8cm,P是弦AB上的一个动点,求OP的长度范围
16．已知在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于点 C，D（如图）． （1）求证：AC=BD； （2）若大圆的半径 R=10，小圆的半径 r=8，且圆 O 到直线 AB 的距离为 6，求 AC 的长． 17．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，点 M 在⊙O 上，MD 恰好经过圆心 O，连接 MB． （1）若 CD=16，BE=4，求⊙O 的直径； （2）若∠M=∠D，求∠D 的度数． 18．如图，⊙O 的直径为 10cm，弦 AB=8cm，P 是弦 AB 上的一个动点，求 OP 的长度范围．
19.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在⊙O上,PB与CD交于点F,∠PBC=∠C (1)求证:CBPD (2)若∠PBC=225°,⊙O的半径R=2,求劣弧AC的长度 20.如图,CD为O的直径,CD⊥AB,垂足为点F,AO⊥BC,垂足为E,BC=2√3 (1)求AB的长 (2)求⊙O的半径 21.已知:如图,∠PAQ=30°,在边AP上顺次截取AB=3cm,BC=10cm,以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两 点,求 (1)圆心O到AQ的距离 (2)线段EF的长
19．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，点 P 在⊙O 上，PB 与 CD 交于点 F，∠PBC=∠C． （1）求证：CB∥PD； （2）若∠PBC=22.5°，⊙O 的半径 R=2，求劣弧 AC 的长度． 20．如图，CD 为⊙O 的直径，CD⊥AB，垂足为点 F，AO⊥BC，垂足为 E， ， （1）求 AB 的长； （2）求⊙O 的半径． 21．已知：如图，∠PAQ=30°，在边 AP 上顺次截取 AB=3cm，BC=10cm，以 BC 为直径作⊙O 交射线 AQ 于 E、F 两 点，求： （1）圆心 O 到 AQ 的距离； （2）线段 EF 的长．
分析: 过O作OC⊥AB于C,根据垂径定理求出AC 根据勾股定理求出OC即可 271.2國的对称性1 解答:解:过O作OC⊥AB于C 参考答案与试题解析 OC过O 选择题(共8小题) -AC=BC=AB=12 1.在同圆或等圆中,下列说法错误的是() 在Rt△AOC中,由勾股定理得:OC= A.相等弦所对的弧相等B.相等弦所对的圆心角相等 相等圆心角所对的弧相等D.相等圆心角所对的弦相等 故选:B. 考点: 圆心角、弧、弦的关系 分析: 利用在同圆和等圆中,相等的弦所对的圆心角 相等,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,判断出 C、D三选项都正确:而同圆或等圆中,同一条弦对应两条弧,其点评:本题考查了垂径定理和勾股定理的应用,关键是求出OC 中一条是优弧,一条是劣弧,所以可判断出A选项错误 的长 解答 、相等弦所对的弧不一定相等,故本选项错误: 3.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB=8cm,且 AB⊥CD,垂足为M,则AC的长为( B、相等弦所对的圆心角相等,故本选项正确 2√5cm B. 45cm 5cm或 C、相等圆心角所对的弧相等,故本选项正确 D.2、√3cm或43m D、相等圆心角所对的弦相等,故本选项正确 考点 垂径定理:勾股定理 故选A 专题 类讨论 点评:此题考查了圆心角、弧、弦的关系定理的推论:在同圆或 等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那分析: 先根据题意画出图形,由于点C的位置不能确 么它们所对应的其余各组量都分别相等.注意:同一条弦对应两 定,故应分两种情况进行讨论 条弧,其中一条是优弧,一条是劣弧,而在本推论中的“弧”是指同解答 解:连接AC,AO 为优弧或劣弧 ⊙O的直径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm, 2.如图,已知⊙O的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB 的距离是() .AM=--AB=x8=4cm, OD=oC=scm 当C点位置如图1所示时, OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB OM=OAZ-AM CM=OC+OM=5+3=8cm 考点: 垂径定理;勾股定理
27.1.2 圆的对称性 1 参考答案与试题解析 一．选择题（共 8 小题） 1．在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ） A． 相等弦所对的弧相等 B．相等弦所对的圆心角相等 C． 相等圆心角所对的弧相等 D．相等圆心角所对的弦相等 考点： 圆心角、弧、弦的关系． 分析： 利用在同圆和等圆中，相等的弦所对的圆心角 相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，判断出 B、 C、D 三选项都正确；而同圆或等圆中，同一条弦对应两条弧，其 中一条是优弧，一条是劣弧，所以可判断出 A 选项错误． 解答：解：A、相等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误； B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确； C、相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确； D、相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确． 故选 A． 点评：此题考查了圆心角、弧、弦的关系定理的推论：在同圆或 等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组 量相等，那 么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意：同一条弦对应两 条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本推论中的“弧”是指同 为优弧或劣弧． 2．如图，已知⊙O 的半径为 13，弦 AB 长为 24，则点 O 到 AB 的距离是（ ） A． 6 B．5 C．4 D．3 考点： 垂径定理；勾股定理． 分析： 过 O 作 OC⊥AB 于 C，根据垂径定理求出 AC， 根据勾股定理求出 OC 即可． 解答：解：过 O 作 OC⊥AB 于 C， ∵OC 过 O， ∴AC=BC= AB=12， 在 Rt△AOC 中，由勾股定理得：OC= =5． 故选：B． 点评： 本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出 OC 的长． 3．已知⊙O 的直径 CD=10cm，AB 是⊙O 的弦，AB=8cm，且 AB⊥CD，垂足为 M，则 AC 的长为（ ） A． cm B． cm C． cm 或 cm D． cm 或 cm 考点： 垂径定理；勾股定理． 专题： 分类讨论． 分析： 先根据题意画出图形，由于点 C 的位置不能确 定，故应分两种情况进行讨论． 解答： 解：连接 AC，AO， ∵⊙O 的直径 CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm， ∴AM= AB= ×8=4cm，OD=OC=5cm， 当 C 点位置如图 1 所示时， ∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB， ∴OM= = =3cm， ∴CM=OC+OM=5+3=8cm， ∴AC= = =4 cm；
当C点位置如图2所示时,同理可得OM=3cm, 故选:D oC=Scm 点评本题考查了勾股定理以及垂径定理,是基础知识要熟练掌握 MC=5-3=2cm, 5.如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于E,连接BC、BD, 下列结论中不一定正确的是() 在R△NC中,AC√A2+C2=V42+25m 0 M C rA, AE=BE BD C. OE=DE 图1 点评: 本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,考点: 垂径定理:圆周角定理 构造出直角三角形是解答此题的关键 专题: 几何图形问 分析 由于CD⊥AB,根据垂径定理有AE=BE,弧AD= 弧BD,不能得出OE=DE,直径所对的圆周角等于90 4.如图, 的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8 则AB的长为() 解:CD⊥AB C ∴AE=BE CD是⊙O的直径, ∠DBC=90° 不能得出OE=DE 2B.4C.6 故选:C 点评 本题考查了垂径定理.解题的关键是熟练掌握 垂径定理的内容 考点 垂径定理;勾股定理, 专题 计算题 6.如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3), 分析: 根据CE=2,DE=8,得出半径为5,在直角三角半径为3,函数y=的图象被⊙P截得的弦AB的长为乎√2,则a 形OBE中,由勾股定理得BE,根据垂径定理得出AB的长 的值是 解答 CE=2,DE=8, OB=5, OE=3, AB⊥CD 在△OBE中,得BE=4 AB=2BE=8
当 C 点位置如图 2 所示时，同理可得 OM=3cm， ∵OC=5cm， ∴MC=5﹣3=2cm， 在 Rt△AMC 中，AC= = =2 cm． 故选：C． 点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线， 构造出直角三角形是解答此题的关键． 4．如图，⊙O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE=2，DE=8， 则 AB 的长为（ ） A． 2 B．4 C．6 D．8 考点： 垂径定理；勾股定理． 专题： 计算题． 分析： 根据 CE=2，DE=8，得出半径为 5，在直角三角 形 OBE 中，由勾股定理得 BE，根据垂径定理得出 AB 的长． 解答： 解：∵CE=2，DE=8， ∴OB=5， ∴OE=3， ∵AB⊥CD， ∴在△OBE 中，得 BE=4， ∴AB=2BE=8． 故选：D． 点评本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握． 5．如图，CD 是⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于 E，连接 BC、BD， 下列结论中不一定正确的是（ ） A． AE=BE B． = C．OE=DE D．∠DBC=90° 考点： 垂径定理；圆周角定理． 专题： 几何图形问题． 分析： 由于 CD⊥AB，根据垂径定理有 AE=BE，弧 AD= 弧 BD，不能得出 OE=DE，直径所对的圆周角等于 90°． 解答： 解：∵CD⊥AB， ∴AE=BE， = ， ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠DBC=90°， 不能得出 OE=DE． 故选：C． 点评： 本题考查了垂径定理．解题的关键是熟练掌握 垂径定理的内容． 6．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是（3，a）（a＞3）， 半径为 3，函数 y=x 的图象被⊙P 截得的弦 AB 的长为 ，则 a 的值是（ ）
B.3+√2 C.3y2 评十3本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这 条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理和等腰直角 三角形的性质 考点:垂径定理;一次函数图象上点的坐标特征:勾股定理 专题:计算题:压轴题 7.已知⊙O的面积为2π,则其内接正三角形的面积为( 分析 C⊥x轴于C,交AB于D,作PE⊥AB于E, 连结PB,由于OC=3,PC=a,易得D点坐标为(3,3),则△OCD √3 为等腰直角三角形,△PED也为等腰直角三角形.由PE⊥AB,根 据垂径定理得AE=BE=AB=2√2,在R△PBE中,利用勾股定 理可计算出PE=1,则PD=√2P=√2.所以a=3+√2 考点 垂径定理:等边三角形的性质 解答 解:作PC⊥x轴于C,交AB于D,作PE⊥AB专题 题 几何图形问题 于E,连结PB,如图, 分析 先求出正三角形的外接圆的半径,再求出正三 ⊙P的圆心坐标是(3,a) 角形的边长,最后求其面积即可 解答: 解:如图所示, oC=3, PC=a 把x=3代入y=x得y=3 连接OB、OC,过O作OD⊥BC于D D点坐标为(3,3) ⊙O的面积为2r CD=3, ⊙O的半径为2 OCD为等腰直角三角形 ∵ABC为正三角形 △PED也为等腰直角三角形, ∠BOC =120°,∠BOD==∠BOC=60°,OB PE⊥AB BD=OB·sin L∠BOD=√2sin60 AE=BE=AB=×42=2√2 BD=√6 在R△PBE中,PB=3 OD=O ∠BOD= √y2) △BOC的面积=BCOD=×√6 √2√3 a=3+√2 △ABC的面积=3S△BO=3 √333 故选:B 故选:C 点评 本题考查的是三角形的外接圆与外心,根据题 意画出图形,利用数形结合求解是解答此题的关键
A． 4 B． C． D． 考点：垂径定理；一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理． 专题：计算题；压轴题． 分析： PC⊥x 轴于 C，交 AB 于 D，作 PE⊥AB 于 E， 连结 PB，由于 OC=3，PC=a，易得 D 点坐标为（3，3），则△OCD 为等腰直角三角形，△PED 也为等腰直角三角形．由 PE⊥AB，根 据垂径定理得 AE=BE= AB=2 ，在 Rt△PBE 中，利用勾股定 理可计算出 PE=1，则 PD= PE= ，所以 a=3+ ． 解答： 解：作 PC⊥x 轴于 C，交 AB 于 D，作 PE⊥AB 于 E，连结 PB，如图， ∵⊙P 的圆心坐标是（3，a）， ∴OC=3，PC=a， 把 x=3 代入 y=x 得 y=3， ∴D 点坐标为（3，3）， ∴CD=3， ∴△OCD 为等腰直角三角形， ∴△PED 也为等腰直角三角形， ∵PE⊥AB， ∴AE=BE= AB= ×4 =2 ， 在 Rt△PBE 中，PB=3， ∴PE= ， ∴PD= PE= ， ∴a=3+ ． 故选：B． 点评： 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这 条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角 三角形的性质． 7．已知⊙O 的面积为 2π，则其内接正三角形的面积为（ ） A． 3 B．3 C． D． 考点： 垂径定理；等边三角形的性质． 专题： 几何图形问题． 分析： 先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三 角形的边长，最后求其面积即可． 解答： 解：如图所示， 连接 OB、OC，过 O 作 OD⊥BC 于 D， ∵⊙O 的面积为 2π ∴⊙O 的半径为 ∵△ABC 为正三角形， ∴∠BOC= =120°，∠BOD= ∠BOC=60°，OB= ， ∴BD=OB•sin∠BOD= = ， ∴BC=2BD= ， ∴OD=OB•cos∠BOD= •cos60°= ， ∴△BOC 的面积= •BC•OD= × × = ， ∴△ABC 的面积=3S△BOC=3× = ． 故选：C． 点评： 本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题 意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
分析: 过O作OC⊥AB于C,根据垂直和垂径定理求 出AB=2AC,∠OCA=90°,根据含30度角的直角三角形性质求出 8.如图,半径为3的⊙O内有一点A,OA 点P在⊙O上, OC=1,根据勾股定理求出AC,即可得出答案 当∠OPA最大时,PA的长等于() √6 含3 过O作OC⊥AB于C, 考点 垂径定理:圆周角定理 则AB=2AC,∠OCA=90 分析: 当PA⊥OA时,PA取最小值,∠OPA取得最大 OA=2,∠OAB=30° 值,然后在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值即可 OC=,由勾股定理得:AC=2-12√3 解笞 解:∵OA、OP是定值 在△OPA中,当∠OPA取最大值时,PA取最小值, ∴AB=2AC=2√3 PA⊥OA时,PA取最小值 故答案为:2√3 在直角三角形OPA中,OA OP=3 点评 本题考查了垂径定理,含30度角的直角三角形 性质,勾股定理的应用,解此题的关键是正确作出辅助线后求出 √OP2-0A2 AC的长和得出AB=2AC,注意:垂直于弦的直径平分这条弦 故选B 10.如图,⊙O的半径是5,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂 点评 本题考查了解直角三角形.解答此题的关键是足为P,若CD=8,则△ACD的面积是32 找出“当PA⊥OA时,PA取最小值”即PA⊥OA时,∠OPA取最大 值”这一隐含条件 填空题(共6小题) 9.如图,已知直线AB与⊙O相交于A、B两点,∠OAB=30°, 半径OA=2,那么弦AB=2√3 考点 垂径定理;勾股定理 分析 连接OD,先根据垂径定理得出PD=CD=4, 再根据勾股定理求出OP的长,根据三角形的面积公式即可得出结 解答 解:连接OD, 考点: 垂径定理:含30度角的直角三角形:勾股定理 ⊙O的半径是5,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,CD=8
8．如图，半径为 3 的⊙O 内有一点 A，OA= ，点 P 在⊙O 上， 当∠OPA 最大时，PA 的长等于（ ） A． B． C．3 D．2 考点： 垂径定理；圆周角定理． 分析： 当 PA⊥OA 时，PA 取最小值，∠OPA 取得最大 值，然后在直角三角形 OPA 中利用勾股定理求 PA 的值即可． 解答： 解：∵OA、OP 是定值， ∴在△OPA 中，当∠OPA 取最大值时，PA 取最小值， ∴PA⊥OA 时，PA 取最小值； 在直角三角形 OPA 中，OA= ，OP=3， ∴PA= = ． 故选 B． 点评： 本题考查了解直角三角形．解答此题的关键是 找出“当 PA⊥OA 时，PA 取最小值”即“PA⊥OA 时，∠OPA 取最大 值”这一隐含条件． 二．填空题（共 6 小题） 9．如图，已知直线 AB 与⊙O 相交于 A、B 两点，∠OAB=30°， 半径 OA=2，那么弦 AB= 2 ． 考点： 垂径定理；含 30 度角的直角三角形；勾股定理． 分析： 过 O 作 OC⊥AB 于 C，根据垂直和垂径定理求 出 AB=2AC，∠OCA=90°，根据含 30 度角的直角三角形性质求出 OC=1，根据勾股定理求出 AC，即可得出答案． 解答： 解： 过 O 作 OC⊥AB 于 C， 则 AB=2AC，∠OCA=90°， ∵OA=2，∠OAB=30°， ∴OC=1，由勾股定理得：AC= = ， ∴AB=2AC=2 ， 故答案为：2 ． 点评： 本题考查了垂径定理，含 30 度角的直角三角形 性质，勾股定理的应用，解此题的关键是正确作出辅助线后求出 AC 的长和得出 AB=2AC，注意：垂直于弦的直径平分这条弦． 10．如图，⊙O 的半径是 5，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂 足为 P，若 CD=8，则△ACD 的面积是 32 ． 考点： 垂径定理；勾股定理． 分析： 连接 OD，先根据垂径定理得出 PD= CD=4， 再根据勾股定理求出 OP 的长，根据三角形的面积公式即可得出结 论． 解答： 解：连接 OD， ∵⊙O 的半径是 5，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，CD=8
0c2-cF2s2-32 CH=OE+OF=3+4=7, BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7 AP=OA+OP=5+3=8, 在直角△BCH中根据勾股定理得到BC S△ACD= AP==x8×8=32 则PA+PC的最小值为7√2 故答案为:32 故答案为:7 v2 ToP FM 本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线 点评 正确理解BC的长是PA+PC的最小值,是解决 构造出直角三角形是解答此题的关键 题的关键 11.如图,AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6, 12.如图,在⊙O中,CD是直径,弦AB⊥CD,垂足为E,连接 MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任 BC,若AB=2√2m,∠BCD=230,则⊙O的半径为 意一点,则PA+PC的最小值为7 OP FtM 考点: 垂径定理;轴对称的性质 考点 垂径定理:等腰直角三角形:圆周角定理 分析: A、B两点关于MN对称,因而PA+PC=PB+PC,专题: 计算题 即当B、C、P在一条直线上时,PA+PC的最小,即BC的值就是分析 先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BCD=4 PA+PC的最小值 再根据垂径定理得到BE=AB 且△BOE为等腰直角三角 解答 解:连接OA,OB,OC,作CH垂直于AB于 形,然后根据等腰直角三角形的性质求解 解答 解:连结OB,如图, 根据垂径定理,得到BE=AB=4,CF=CD=3 ∠BCD=22°30, -VOB--BE ∠BOD=2∠BCD=45°, AB⊥CD
∴PD= CD=4， ∴OP= = =3， ∴AP=OA+OP=5+3=8， ∴S△ACD= CD•AP= ×8×8=32． 故答案为：32． 点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线， 构造出直角三角形是解答此题的关键． 11．如图，AB、CD 是半径为 5 的⊙O 的两条弦，AB=8，CD=6， MN 是直径，AB⊥MN 于点 E，CD⊥MN 于点 F，P 为 EF 上的任 意一点，则 PA+PC 的最小值为 ． 考点： 垂径定理；轴对称的性质． 分析： A、B 两点关于 MN 对称，因而 PA+PC=PB+PC， 即当 B、C、P 在一条直线上时，PA+PC 的最小，即 BC 的值就是 PA+PC 的最小值 解答： 解：连接 OA，OB，OC，作 CH 垂直于 AB 于 H． 根据垂径定理，得到 BE= AB=4，CF= CD=3， ∴OE= = =3， OF= = =4， ∴CH=OE +OF=3+4=7， BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7， 在直角△BCH 中根据勾股定理得到 BC=7 ， 则 PA+PC 的最小值为 ． 故答案为： 点评： 正确理解 BC 的长是 PA+PC 的最小值，是解决 本题的关键． 12．如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦 AB⊥CD，垂足为 E，连接 BC，若 AB=2 cm，∠BCD=22°30′，则⊙O 的半径为 2 cm． 考点： 垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理． 专题： 计算题． 分析： 先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BCD=45°， 再根据垂径定理得到 BE= AB= ，且△BOE 为等腰直角三角 形，然后根据等腰直角三角形的性质求解． 解答： 解：连结 OB，如图， ∵∠BCD=22°30′， ∴∠BOD=2∠BCD=45°， ∵AB⊥CD