综合滚动练习:解直角三角形及其应用 时间:45分钟分数:100分得分 选择题(每小题4分,共32分) 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=2,b=3,则cos4等于() 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan=1,则BC等于() 3.如图,CD是Rt△ABC斜边上的高,若AB=5,AC=3,则tan∠BCD=() 第3题图 第4题图 4.(2016道里区二模)如图,沿AC方向修山路,为了加快施工进度,要在小山的另 边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=145°,BD=500米,∠D=55°,使A,C,E在 条直线上,那么开挖点E与D的距离是() A.500sin55°米B.500c0535°米 C.500c0s55°米D.500tan55°米 5.(2016龙湖区一模如图,钓鱼竿AC长6m,露在水面上的鱼线BC长3Em,某钓 者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC的位置,此时露在水面上的鱼线BC为33m, 则鱼竿转过的角度是() A.60°B.45°C.15°D.90° 单位:米 第5题图 第6题图 6.(2016金华中考)一座楼梯的示意图如图所示,BC是铅垂线,CA是水平线,BA与 CA的夹角为θ现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA=4米,楼梯宽度为1米,则所需地毯的 面积至少为()
综合滚动练习：解直角三角形及其应用 时间：45 分钟 分数：100 分 得分：________ 一、选择题(每小题 4 分，共 32 分) 1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则 cosA 等于( ) A.2 3 B.3 2 C. 13 2 D.3 13 13 2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝ 5 12，则 BC 等于( ) A.3 5 B.5 3 C.36 5 D．5 3．如图，CD 是 Rt△ABC 斜边上的高，若 AB＝5，AC＝3，则 tan∠BCD＝( ) A.4 3 B.3 4 C.4 5 D.3 5 第 3 题图 第 4 题图 4．(2016·道里区二模)如图，沿 AC 方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一 边同时施工，从 AC 上的一点 B 取∠ABD＝145°，BD＝500 米，∠D＝55°，使 A，C，E 在 一条直线上，那么开挖点 E 与 D 的距离是( ) A．500sin55°米 B．500cos35°米 C．500cos55°米 D．500tan55°米 5．(2016·龙湖区一模)如图，钓鱼竿 AC 长 6m，露在水面上的鱼线 BC 长 3 2m，某钓 者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿 AC 转动到 AC′的位置，此时露在水面上的鱼线 B′C′为 3 3m， 则鱼竿转过的角度是( ) A．60° B．45° C．15° D．90° 第 5 题图 第 6 题图 6．(2016·金华中考)一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与 CA 的夹角为 θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知 CA＝4 米，楼梯宽度为 1 米，则所需地毯的 面积至少为( )
A4米2B.米2C.(4+。米2D.(4+an)米2 7.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向,距离灯塔60海里的A处,它沿正南 方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,这时,海轮所在的B处 与灯塔P的距离为() A.30√E海里B.30√3海里C.60海里D.306海里 第7题图 第8题图 8.(2016·聊城模拟)聊城流传着一首家喻户晓的民谣:“东昌府,有三宝,铁塔、古楼 玉皇皋.”被人们誉为三宝之一的铁塔,初建年代在北宋早期,是本市现存最古老的建筑.如 图,测绘师在离铁塔10米处的点C测得塔顶A的仰角为a,他又在离铁塔25米处的点D 测得塔顶A的仰角为B,若 tanatanB=1,点D,C,B在同一条直线上,那么测绘师测得铁 塔的高度约为(参考数据:√10≈3.162)() A.1581米B.16.81米C.30.62米D.31.62米 二、填空题(每小题4分,共24分) 9.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,则AB的长为 第9题图 第11题图 第12题图 10.在Rt△ABC中,∠C=9°,AB=4,BC=2、3,则sn4= 1].如图是拦水坝的横断面,斜坡AB的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡 AB的长是 a12.(2016宁波中考)如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆1m的A处 得旗杆顶端B的仰角为60°,测角仪高AD为1m,则旗杆高BC为 m(结果保留根 号) 13.B在A的北偏东30°方向(距A)2千米处,C在B的正东方向(距B)2千米处,则C 和A之间的距离为 千米 14.★(齐齐哈尔中考)BD为等腰△ABC的腰AC上的高,BD=1,tmn∠ABD=3,则 CD的长为
A. 4 sinθ 米 2 B. 4 cosθ 米 2 C．(4＋ 4 tanθ )米 2 D．(4＋4tanθ)米 2 7．如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 30°方向，距离灯塔 60 海里的 A 处，它沿正南 方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45°方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处 与灯塔 P 的距离为( ) A．30 2海里 B．30 3海里 C．60 海里 D．30 6海里 第 7 题图 第 8 题图 8．(2016·聊城模拟)聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、 玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔，初建年代在北宋早期，是本市现存最古老的建筑．如 图，测绘师在离铁塔 10 米处的点 C 测得塔顶 A 的仰角为 α，他又在离铁塔 25 米处的点 D 测得塔顶 A 的仰角为 β，若 tanαtanβ＝1，点 D，C，B 在同一条直线上，那么测绘师测得铁 塔的高度约为(参考数据： 10≈3.162)( ) A．15.81 米 B．16.81 米 C．30.62 米 D．31.62 米 二、填空题(每小题 4 分，共 24 分) 9．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则 AB 的长为________． 第 9 题图 第 11 题图 第 12 题图 10．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2 3，则 sinA 2 ＝________． 11．如图是拦水坝的横断面，斜坡 AB 的水平宽度为 12 米，斜面坡度为 1∶2，则斜坡 AB 的长是________． 12．(2016·宁波中考)如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆 10m 的 A 处 测得旗杆顶端 B 的仰角为 60°，测角仪高 AD 为 1m，则旗杆高 BC 为________m(结果保留根 号)． 13．B 在 A 的北偏东 30°方向(距 A)2 千米处，C 在 B 的正东方向(距 B)2 千米处，则 C 和 A 之间的距离为________千米． 14．★(齐齐哈尔中考)BD 为等腰△ABC 的腰 AC 上的高，BD＝1，tan∠ABD＝ 3，则 CD 的长为________________．
三、解答题(共44分) 15.(10分)如图,在Rt△ABC中,已知∠C=90°,sinB=,AC=8,D为线段BC上 点,CD=2 (1)求BD的值; (2)求cos∠DAC的值 6.(10分×2016·临沂中考)一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向,距离灯塔20海里的A 处,它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处(参考数据:√3≈1.732,结果 精确到0.1海里)?【方法5】 17.(12分X2016淮安中考)小宇想测量位于池塘两端的A,B两点的距离.他沿着与直 线AB平行的道路EF行走,当行走到点C处,测得∠ACF=45°,再向前行走100米到点D 处,测得∠BDF=60°若直线AB与EF之间的距离为60米,求A,B两点的距离
三、解答题(共 44 分) 15．(10 分)如图，在 Rt△ABC 中，已知∠C＝90°，sinB＝ 4 5 ，AC＝8，D 为线段 BC 上 一点，CD＝2. (1)求 BD 的值； (2)求 cos∠DAC 的值． 16．(10 分)(2016·临沂中考)一艘轮船位于灯塔 P 南偏西 60°方向，距离灯塔 20 海里的 A 处，它向东航行多少海里到达灯塔 P 南偏西 45°方向上的 B 处(参考数据： 3≈1.732，结果 精确到 0.1 海里)？【方法 5】 17．(12 分)(2016·淮安中考)小宇想测量位于池塘两端的 A，B 两点的距离．他沿着与直 线 AB 平行的道路 EF 行走，当行走到点 C 处，测得∠ACF＝45°，再向前行走 100 米到点 D 处，测得∠BDF＝60°.若直线 AB 与 EF 之间的距离为 60 米，求 A，B 两点的距离．
18.(12分(2016泸州中考)如图,为了测量出楼房AC的高度,从距离楼底C处6米 的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发,沿斜面坡度为i=1:3的斜坡DB前进30米 到达点B,在点B处测得楼顶A的仰角为53°,求楼房AC的高度(参考数据:sin3°≈0.8, cos53°≈0.6,tan53°≈2,计算结果用根号表示,不取近似值) i=1:
18．(12 分)(2016·泸州中考)如图，为了测量出楼房 AC 的高度，从距离楼底 C 处 60 3米 的点 D(点 D 与楼底 C 在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为 i＝1∶ 3的斜坡 DB 前进 30 米 到达点 B，在点 B 处测得楼顶 A 的仰角为 53°，求楼房 AC 的高度(参考数据：sin53°≈0.8， cos53°≈0.6，tan53°≈ 4 3 ，计算结果用根号表示，不取近似值)．
参考答案与解析 1.D2.B3.A4.C5C6.D7A 8.A解析:∵BC=10米,BD=25米,∴在Rt△ABC中,AB= BC. tana=10tana① 在Rt△ABD中,AB= BD-tanB=25tanp②.∴ tanatanB=1,∴AB2=10 tana25tanB=250,∴AB 250=5√10≈5×3162=15.81(米).故选A 9.453105125米12(0N5+1) 13.2√3解析:根据题意,可画如图所示的示意图,过点B作BD⊥AC于点D.∵B 在A北偏东30°方向,∴∠BAE=60°,∴∠ABC=180°-60°=120°∵AB=BC=2千米 ∠BAD=∠BCD=30,AD=CD,AD=ABcs30=2×2=3(千米),AC=2AD= 23千米 14.2+√3或2-√3解析:分两种情况: 图②2 如图①,∠A为钝角,AB=AC,在Rt△ABD中,∵BD=1,tan∠ABD=√3,∴AD=5, AB=2,∴AC=2,∴CD=2+3; 如图②,∠A为锐角,AB=AC,在Rt△ABD中,∵BD=1,tan∠ABD=3,∴AD=3, AB=2,∴AC=2,∴CD=2-√3 综上所述,CD的长为2+√3或2-√3 15.解:(1)在R△ABC中,snB=AE=3又∵AC=8,:4B=10,∴BC=√14B2-AC= 102-82=6,∴BD=BC-CD=6-2=4:(5分) (2.在R△ACD中,∵AD=A+DC=√+2=2V1,:c∠DAC=4C AD217 7(10分) 16.解:过点P作PC⊥AB于点C(1分)由题意,得∠APC=60°,∠BPC=45°,AP 20海里.在R△APC中,:c∠APC=PC,sn∠APC=4C,,PC=20050°=10海每里 AC=20sin60°=103海里).(4分)在△PBC中,∵∠BPC=45°,△PBC为等腰直角三角 形,∴BC=PC=10海里,(7分):AB=AC-BC=103-10≈73海里).(9分) 答:它向东航行约73海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处.(10分) 17.解:过点A作AM⊥EF于点M,过点B作BN⊥EF于点N(2分)由题意,得AM= N=60米,AB=MN,CD=100米.(5分)在Rt△ACM中,∠ACM=45°,∴CM= tan45
参考答案与解析 1．D 2.B 3.A 4.C 5.C 6.D 7.A 8．A 解析：∵BC＝10 米，BD＝25 米，∴在 Rt△ABC 中，AB＝BC·tanα＝10tanα①. 在 Rt△ABD 中，AB＝BD·tanβ＝25tanβ②.∵tanαtanβ＝1，∴AB2＝10tanα·25tanβ＝250，∴AB ＝ 250＝5 10≈5×3.162＝15.81(米)．故选 A. 9．4 3 10.1 2 11.6 5米 12.(10 3＋1) 13．2 3 解析：根据题意，可画如图所示的示意图，过点 B 作 BD⊥AC 于点 D.∵B 在 A 北偏东 30°方向，∴∠BAE＝60°，∴∠ABC＝180°－60°＝120°.∵AB＝BC＝2 千米， ∴∠BAD＝∠BCD＝30°，AD＝CD，∴AD＝AB·cos30°＝2× 3 2 ＝ 3(千米)，∴AC＝2AD＝ 2 3千米． 14．2＋ 3或 2－ 3 解析：分两种情况： 如图①，∠A 为钝角，AB＝AC，在 Rt△ABD 中，∵BD＝1，tan∠ABD＝ 3，∴AD＝ 3， AB＝2，∴AC＝2，∴CD＝2＋ 3； 如图②，∠A 为锐角，AB＝AC，在 Rt△ABD 中，∵BD＝1，tan∠ABD＝ 3，∴AD＝ 3， AB＝2，∴AC＝2，∴CD＝2－ 3. 综上所述，CD 的长为 2＋ 3或 2－ 3. 15．解：(1)在 Rt△ABC 中，sinB＝ AC AB＝ 4 5 .又∵AC＝8，∴AB＝10，∴BC＝ AB2－AC2＝ 102－8 2＝6，∴BD＝BC－CD＝6－2＝4；(5 分) (2)在 Rt△ACD 中，∵AD＝ AC2＋DC2＝ 8 2＋2 2＝2 17，∴cos∠DAC＝ AC AD＝ 8 2 17 ＝ 4 17 17 .(10 分) 16．解：过点 P 作 PC⊥AB 于点 C.(1 分)由题意，得∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AP＝ 20 海里．在 Rt△APC 中，∵cos∠APC＝ PC AP，sin∠APC＝ AC AP，∴PC＝20·cos60°＝10(海里)， AC＝20·sin60°＝10 3(海里)．(4 分)在△PBC 中，∵∠BPC＝45°，∴△PBC 为等腰直角三角 形，∴BC＝PC＝10 海里，(7 分)∴AB＝AC－BC＝10 3－10≈7.3(海里)．(9 分) 答：它向东航行约 7.3 海里到达灯塔 P 南偏西 45°方向上的 B 处．(10 分) 17．解：过点 A 作 AM⊥EF 于点 M，过点 B 作 BN⊥EF 于点 N.(2 分)由题意，得 AM＝ BN＝60 米，AB＝MN，CD＝100 米．(5 分)在 Rt△ACM 中，∠ACM＝45°，∴CM＝ AM tan45°＝
16(8分)在R△BDN中,∠BDN=60,∴DN=B=9=205米,:B= MN=CD+DN-CM=100+203-60=(40+203(米).(11分) 答:A,B两点的距离是40+20)米.(12分) 18.解:过点B作BN⊥CD于N,BM⊥AC于M(2分)在Rt△BDN中,BD=30米,BN:ND √3,∴BN=15米,DN=153米,∴CN=CD-DN=603-153=453(米).(5 分)∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°,∴四边形CMBN是矩形,∴CM=BN=15米,BM=CN AM 4 =4米.(8分)在R△ABM中,如∠ ABM BM3AMBM=605米,∴AC=AM +CM=(603+15)米.(11分) 答:楼房AC的高度约为(603+15)米.(12分
60 1 ＝60(米)．(8 分)在 Rt△BDN 中，∠BDN＝60°，∴DN＝ BN tan60°＝ 60 3 ＝20 3(米)，∴AB＝ MN＝CD＋DN－CM＝100＋20 3－60＝(40＋20 3)(米)．(11 分) 答：A，B 两点的距离是(40＋20 3)米．(12 分) 18．解：过点 B 作 BN⊥CD 于 N，BM⊥AC 于 M.(2 分)在 Rt△BDN 中，BD＝30 米，BN∶ND ＝1∶ 3，∴BN＝15 米，DN＝15 3米，∴CN＝CD－DN＝60 3－15 3＝45 3(米)．(5 分)∵∠C＝∠CMB＝∠CNB＝90°，∴四边形 CMBN 是矩形，∴CM＝BN＝15 米，BM＝CN ＝45 3米．(8 分)在 Rt△ABM 中，tan∠ABM＝ AM BM≈ 4 3 ，∴AM≈ 4 3 BM＝60 3米，∴AC＝AM ＋CM＝(60 3＋15)米．(11 分) 答：楼房 AC 的高度约为(60 3＋15)米．(12 分)