第26章二次函数 26.1二次函数 A分点训练打好基础 米)的函数关系式为y=-1x2+15x 知识点一二次函数的相关概念 1.(内江资中县一模)下列函数中,一定是二次函数的 菜园 是 (B) 9.2018年俄罗斯世界杯吉祥物扎比瓦卡是 4x+5 B.y=x(2x-3) 只象征“进球者”的西伯利亚平原狼.足 C.y=(x+4)2-x2 球迷晓峰将收集到的一张扎比瓦卡相片用长方形 2.函数y=(a-b)x2+ax+b是二次函数的条件是 相框裱起来(如图).若相框内部镶边的宽都为 (B) xcm,扎比瓦卡相片的面积为ycm2,求y关于x的 A.a,b是常数,且a≠0 函数表达式,并把它化成一般形式(不要求写出自 B.a,b是常数,且a≠b 变量x的取值范围) C.a,b是常数,且b≠0 D.a,b可以是任何数 y=4x2-80x+384 3若关于x的函数y=2x-2是二次函数,则m等于 【方法1】 A.士2 B.2 D.不能确定 【变式题】一个限制条件→两个限制条件 若y=(k+3)x1++(k+2)x+3是二次 知识点三二次函数的值 函数,则k= 【方法1】 10.已知y与x2+1成正比例,且当x=3时,y=-18 4.函数y=3x2中自变量x的取值范围是全体实数, (1)求y与x之间的函数关系式,并判断该函数是 否为二次函数,若是,指出相应的a,b,c的值; 函数y的取值范围是y≥0 (2)求x=-2时y的值; 5.在二次函数y=3(x-1)(x+2)中,a (3)求y=-10时x的值 解:(1)设y=k(x2+1) 知识点二列二次函数关系式 把x=3,y=-18代入,得 6.已知一个长方体的底面是一个边长为acm的正方 18=k(32+1),解得k= 形,高为2cm,体积为Vcm3,则V与a之间的函数 关系式是 即y与x之间的函数关系式为 (x2+1)= C v=2a2 D.V=2a2+8a 这个函数是二次函数,其中a 7.某企业今年第一个月新产品的研发资金为100万元, 以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是 2)当=一2时y=-号 (-2)2 x,则该厂今年第三个月新产品的研发资金y(万元)关 于x的函数关系式为y=1001+x)2 (3)当y=-10时,则-5x2-5==10 8.如图,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙 解得x1= (墙的长度不限)的矩形菜园ABCD,设AB的长为 x米,则菜园的面积y(单位:平方米)与x(单位 4 九年级数学下·HS
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15.某公园门票是每张80元,据统计每天进园人数为 B综合运用·提升能力 200人,经市场调查发现,如果门票每降低1元出 11.已知一个直角三角形的两条直角边长的和为 售,则每天进园人数就增多6人,试写出门票价格 10cm,设这个直角三角形的面积为Scm2,其中 x(x≤80)元与该公园每天的门票收入y(元)之间 条直角边长为xcm,则S关于x的函数关系式为 的函数关系式,y是x的二次函数吗? (B) 解:由题意知,当门票价格为x元时,则每张门票降价 A.S=x2-5x(0<x<10) 80-x)元 B.s=-1x2+5x(0<x<10) 那么每天进园人数就增加6(80-x)人 每天进园人数为200+6(80-x)=(680-6x)(人 C.S=-1x2+5x(0<x≤10 y=x(680-6x)=-6x2+680x(0<x≤80) 显然,y是x的二次函数 D.S=-x2+10x(0<x<10 12.如图,一人乘雪橇沿坡度为1:3的斜坡笔直滑 下,滑下的距离s(米)与时间t(秒)之间的关系式 C思维拓展·冲刺满分 为s=10+22,若滑到坡底的时间为4秒,则此16.如图,在△ABC中,AB=4,点D在AB边上移动 人下降的高度为 (不与A,B重合),DE∥BC,交AC于点E,设 A.72米 B.36√3米 S△ABC=S,S△DEC=S1,若AD C.36米 D.18√3米 (1)试探求y关于x的函数关系式及自变量x的 取值范围; (2)当x=1,2,3时,分别求出相应的y值 解:(1)设S△AE=S2 第12题图 第13题图 ∵DE∥BC AD AE 13.如图,正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形 △ADE∽△ABC BD EO 的边上.若设AE=x,正方形EFGH的面积为y 则y与x的函数关系式为y=2x2-4x+4(0<x 3=(AB)=(÷)① S EC BD 【解析】易证△AHE≌△BEF,∴BF=AE=x,AH=B ①②两式相乘,得 2-x,0<x<2.在Rt△AHE中,由勾股定理,得EH2 AE+AH2=x2+(2-x)2=2x2-4x+4,即y=2x2 (了) 16+4 4x+4(0<x<2) 14.若y=(m-1) (1)m取什么值时,此函数是二次函数? (2)当x=1,2,3时,y相对应的值分别是6:4 (2)m取什么值时,此函数是一次函数 解:(1)由题意,得 一少0的四错 解得m=-3 方法归纳 (2)由题意,得 第3题及其变式题和第14题(1)均利用二次 +2m-1=1, 函数的定义建立关于字母系数的方程,求 解得m=-1±3 出字母系数后,要注意保证二次项系数不 为0这个条件 错题序号 易错笔记: 第26章二次函数5
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26.2二次函数的图象与性质 1.二次函数y=ax2的图象与性质 A分点训练打好基础 8.若点(x1,y1),(x2,y2)是二次函数y=-3x2图象 上的两点,且x1>x2>0,则y1”“0)过A(-2,y),B(1,y2) 2.抛物线y=ax2(ay A.第一、二象限 B.第三、四象限 (2)已知点(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)都在函数y C.第一、三象限 D.第二、四象限 =(a2+1)x2的图象上,则y,y2,y3的大小关 3.已知抛物线y=ax2的开口向下,且|a|=3,则a= 系是y3>y>y2.【方法4】 -3.【方法6】 9二次函数的图象如图所示,则它 4.把图中图象的序号填在与它相应的函数表达式后面 的表达式为y=3x2·如果另 (1)y=-2x2的图象是③ 函数图象与该图象关于x轴对 (2)y=1x2的图象是② 称,那么另一函数图象对应的函数表达式为 (3)y=x2的图象是①; (4)y=-x2的图象是_④ 10.已知y=(m+1)xm+m是关于x的二次函数,且当 x>0时,y随x的增大而减小 5.请按要求画出二次函数y=x2的图象:【方法2】 (1)求m的值; (1)列表; (2)当自变量的值为多少时,函数有最值?最值是 …|-3-2-10123 多少? 解:(1)∵y=(m+1)x2+是关于x的二次函数, ∴m2+m=2,且m+1≠0 (2)描点; 解得m=1或-2. (3)连线 ∵当x>0时,y随x的增大而减小 (4)点(4,8)、18) ∴m+10时,y=ax2与y=ax+b的图象大致是 轴为对称轴;④都关于x轴对称.其中正确的个【方法3】 数有 (B) A.1个B.2个 C.3个 D.4个 7.二次函数y=(3a-1)x2有最小值,则a的取值范 围是 九年级数学下·HS
& [\]9^_#!" "#&" 6789(ÉIÎ A:t](>IÎ B:t7(ÉIÎ +&¤¥¶·R!%"#" ;±²³´'@*"*%+'¸"% ,+ &'#$#( )&qH%HI;Ê)ËW¹v1;9:D'í& $$%!%,"#" ;HIY # & $"%!%$ "#" ;HIY " & $+%!%#" ;HIY ! & $)%!%,$ +#" ;HIY % & -&ÌÍ|}789:!%$ "#" ;HI!'#$"( $$%j& # , ,+ ," ,$ ' $ " + , ! , / " " $ " ' $ " " / " , $"%ÎT& $+%ÿR& $)%T $)'.%'$, $ "', $ .% %'/9:HI;Y T$)'.% & '()# #$%&!%"#" +78 #&¶·R!%$ "#"'!%#"'!%,#" ;bcy*Y! !MY±²³&"M½T$'''%BST&#M½! PB0O P&% M w # P 0 O&N % # 6 ; ? :[ $? % @:$? ?:"? A:+? B:)? 1&789:!%$+",$%#" [E '¸";ÏÐ ÑY "#$ + & .&µT$#$'!$%'$#"'!"%Y789:!%,+#" HI ;g T'@ #$ ##" #''¸ !$ $ !" $Ë "##"$#¦"%#%&'#$)( 'tZ,(GÃÄ*ÅÆQÇ)ÈÇ) HÃOPST $$%¤¥¶·R!%"#"$"#'%¾*$,"'!$%',$$'!"% gT'¸!$'!"''; wjY !$#!"#' & $"%¤¥T$,"'!$%'$,$'!"%'$+'!+%M9:! %$""&$%#" ;HI'¸!$'!"'!+ ; w jY !+#!$#!" &'#$)( /&789:;HI¢H'¸¹ ;DB !%$ +#" &¢¼z ]9:HIW/HIw# P0 O'à µ z ] 9 : H I 0 1 ; 9 : D B !%,$ +#" & $'&¤¥!%$1&$%#1 " &1 Yw# ;789:'@ ##'J'!O# ;â & $$%} 1 ;& $"%G;BåÏJ'9:[E) EY åÏ) è!$$%E!%$1&$%#1"&1 Yw# ;789:' D1"&1%"'@ 1&$"'' è 1%$¦,"& E##'J'!O# ;â ' D1&$$''\ 1$,$& D1%,"& $"%#%'J'9:[E'!E %'& $$&"$#'J'!%"#" W!%"#&$;HInY '#$+( $B %
12.如图,点A(m,n)是一次函数y=2x的图象上的 在y=-x+2中,当x=0时 任意一点,AB垂直于x轴,垂足为B,那么三角 形ABO的面积S与m的函数关系的图象大致是 ∴点E的坐标为(0,2),OE=2 x1=1,x2=-2 解得 点C的坐标为(-2,4) B ∴S△BC=OE·(x1-x)=×2×[1-(-2)]=3, 13.(1)若原点是抛物线y=(2m-1)x2的最低点,则 ∴S△n=S△BC=3. m的取值范围是m>; 设点D的坐标为(m,n), (2)若抛物线y=(m+2)x2与抛物线y 的开口、形状都相同,则m的值为-2 ∴点D的坐标为(3,3) 14.已知二次函数y=2x的图象 C思维拓展冲刺满分 如图所示,线段AB∥x轴,交B 抛物线于A,B两点,且点A的 17.如图,在抛物线y=-x2上取三点A,B,C.设A 横坐标为2,则线段AB的长度 B的横坐标分别为a(a>0),a+1,直线BC与x 为 轴平行 15.抛物线y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3交于点 (1)用a表示△ABC的面积S; (2)当△ABC的面积S为15时,求a的值; (1)求a与b的值; (3)当△ABC的面积S为15时,在线段BC上求 (2)写出抛物线y=ax2对应的二次函数表达式、 点D,使△ACD的面积为7. 顶点坐标和对称轴 解:(1)由题意可求得A,B,C三点 aa+1 (3)当x取何值时,二次函数y=ax2中的y随x 坐标分别为A(a,-a2) 的增大而增大? 解:(1)将点(1,b)代入y=2x-3,得 ∴BC=2(a+1) b=2×1 在△ABC中,BC边上的高为-a2+a2+2a+1=2a+1 则交点坐标为(1,-1) 将(1,-1)代入y=ax2中,得a=-1 2(a+1)·(2a+1)=2a2+3a+ a=-1,b=-1. (2)当S=15时,2a2+3a+1=15, (2)抛物线对应的二次函数表达式为y=-x2, 解得a=2或a=-2 顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴 (3)当x<0时,y随x的增大而增大 (3)由(2)知当S=15时,a=2,则△ABC的BC边 6.如图,直线AB经过x轴上的一点A(2,0),且与抛物 上的高为5,点B的坐标为(3,-9) 线y=ax2相交于B,C两点,点B的坐标为(1,1) 又∵S△xD=7,则S△AD=8,即方·BD·5=8, (1)求直线AB对应的一次函数表达式和抛物线 ∴BD=16 y=ax2对应的二次函数表达式 (2)若抛物线上存在第一象限内的点D,使得 ∵点D在线段BC上, S△AD=S△BC,求点D的坐标 16 解:(1)直线AB对应的一次函数表达式为y=-x+2, 抛物线对应的二次函数表达式为y=x 点D的坐标为(-言一9) (2)设直线AB与y轴相交于点E, 第26章二次函数7
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2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 第1课时二次函数y=ax2+k的图象与性质 A分点训练打好基础 知识点二二次函数y=ax2+k与y=ax2图象 之间的关系 知识点一二次函数y=ax2+k的图象与性质7将抛物线y=x2向上平移2个单位后所得的抛物 1.抛物线y=2x2+1的顶点坐标是 (B)线对应的函数表达式为【易错1】 (A) B.(0,1) C.(1,0) D.(1,2) C.y=(x+2) 2.二次函数y=x2+1的图象大致是【方法2】(B)8.二次函数y=-32+1的图象是将【易错1】(D) A.抛物线y=3x2向左平移1个单位得到的 B.抛物线y=-3x2向左平移1个单位得到的 OI 燃c抛物线y=3x向上平移1个单位得到的 D.抛物线y=-3x2向上平移1个单位得到的 B 9.二次函数y=ax2+2(a≠0)的图象是由y=4x2-2 3对于二次函数y=22+2,下列说法中错误的是 的图象平移得到的,那么a的值是 (B)1.已知函数y=-32,y=-3x2+2和y=-3x2-2 A.最小值为2 (1)分别写出各个函数图象的开口方向、对称轴和 B.其图象与y轴没有交点 顶点坐标; C.当x0)的图象上,若x1>x2>0,则y1 (2)画图略 y2(填“>”“<”或“=”).【方法4】 把抛物线y=-3x2向上平移2个单位可得到抛物 6.已知抛物线y=x2+(m-2)x-2m (1)当顶点在y轴上时,求m的值; 把抛物线y=-3x2向下平移2个单位可得到抛物 (2)在(1)的条件下,写出此抛物线的对称轴和顶点 坐标; (3)若抛物线经过原点,求m的值 解:(1)∵抛物线y=x2+(m-2)x-2m的顶点在y轴上 m-2=0,解得m=2 (2)当m=2时,抛物线对应的函数表达式为y= x2-4,故其对称轴为y轴,顶点坐标为(0,-4) (3)∵抛物线y=x2+(m-2)x-2m经过原点 2m=0,解得m=0 8 九年级数学下·HS
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B综合运用·提升能力 ∴这个函数图象与x轴的交点坐标是(3,0)和 (-√3,0) 11.函数y=与y=-kx2+k(k≠0)在同一平面直 16.已知抛物线的对称轴为y轴,该函数的最大值为 角坐标系中的图象可能是【方法3】 (B) 3,且经过点(1,1) (1)求此抛物线对应的二次函数表达式; (2)若该抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交 B 于点C,求S△ABC 12若有二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2) 解:(1)根据题意设抛物线对应的二次函数表达式为y 时,函数值相等,则当x=x1+x2时,函数值为 =ax2+3,把(1,1)代入,得 (D) 1=a+3,解得a=-2 则抛物线对应的二次函数表达式为y=-2x2+3. B (2)令y=0,即-2x2+3=0 【解析】二次函数y=ax2+c的对称轴是y轴,当x取 解得x=士 AB=√6. x2(x1≠x2)时,函数值相等,即二次函数图象上以x1,x2 令x=0,则y=3,即OC=3 为横坐标的点关于y轴对称,则x1+x2=0,此时函数值 则S△=1AB.OC=36 13.如图,以矩形ABCD的两条对 称轴为坐标轴,点A的坐标为 (2,1).一张透明纸上画有一个 C思维拓展冲刺满分 点和一条抛物线,平移透明纸 使这个点与点A重合,此时抛物线的函数表达式 17.(泸州中考改编)已知抛物线y=x2+1具有如 为y=x2,再次平移透明纸,使这个点与点D重 下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距 合,则该抛物线的函数表达式变为y=x2 离与到x轴的距离始终相等.如图,点M的坐标 【解析】∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴,∴A点与D 为√3,3),P是抛物线y=4x2+1上一个动点 点关于x轴对称。又∵点A的坐标为(2,1),故点D的坐 标为(2,-1).∴透明纸上的点由A点平移至D点,向下 (1)若PF=5,求点P的坐标; 平移了2个单位,即抛物线向下平移了2个单位,∵透明 (2)求△PMF周长的最小值 纸上的点经过A点时,抛物线的函数表达式为y=x2 解:(1)∵PF=5,由题意可知点 该点经过D点时,抛物线的函数表达式为y=x2-2. P的纵坐标为5 14.★已知抛物线y=x2-k的顶点为P,与x轴交于 即+x2+1=5,解得x=±4 点A,B(点A在点B的左边),且△ABP是正 ∴点P的坐标为(4,5)或 角形,则k的值为3 (-4,5) 15.已知二次函数y=ax2+c的图象过点(-2,-3) (2)如图,过点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线y 和点(1,6) =1x2+1于点P (1)求二次函数的表达式; (2)当x取何值时,函数y随x的增大而增大? 由题意可知PF=PE,故此时△PMF的周长最小 (3)求这个函数图象与x轴的交点坐标 过点F作FN⊥MP于点N 解:(1)将(-2,-3)和(1,6)代入y=ax2+c,得 F(0,2),M(√3,3) ∴ME=3,FN=√3,MN=1 解得 6=a+c 3x2+9 △PMF周长的最小值为MF+FP+MP=ME (2)当x<0时,y随x的增大而增大 FM=3+2=5 (3)当y=0时,一3x2+9=0,解得x=±√3. 第26章二次函数9
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第2课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 A分点训练·打好基础 7.二次函数y=a(x-h)2的图象如图所示,已知a= 1,OA=OC,试求该抛物线对应的二次函数表达式 知识点一二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 1.二次函数y=-2(x+1)2的图象的对称轴是(B) 解:∵OA=OC ∴点A的坐标为(0,h) A.直线x=1 B.直线x=-1 C.y轴 D.x轴 又:a= 2.在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a≠ h=-(0-h)2 0)的图象可能是【方法2】 (D) h1=2,h2=0(舍去) ∴该抛物线对应的二次函数表达式为y=(x-2) 3抛物线y=3(x-1)2的顶点坐标是(1。0),对称知识点二二次函数y=a(x-h)与y=ax2图 轴是直线 1时,y最小值= 象之间的关系【易错1】 8.将抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x+2)2,则 4.已知函数y=-(x-1)2图象上两点A(2,y1) 这个平移过程正确的是 (A) B(a,y2),其中a>2,则y1与y的大小关系是yA向左平移2个单位B向右平移2个单位 >y2 或“=”).【方法4】 C.向上平移2个单位D.向下平移2个单位 5下列函数图象的顶点在x轴上的有②①,顶9.抛物线x=-8+向有平移3个单位得到抛物 点在y轴上的有①③(填序号) 线对应的二次函数表达式是y=-3(x-2)2 10.已知抛物线y=a(x+h)2的顶点是(-2,0),它是 ①y=-x2-1;②y=-(x+1)2;③y=1-x2; 由抛物线y=-6x2平移得到的,则a=-6, ④y=3(x-1) 6已知二次函数y=a(x-b)2图象的顶点坐标是1.已知二次函数y=1(x-2) (-5,0),且过点(0,-3) (1)求二次函数的表达式; (1)画出此函数的图象; (2)当x为何值时,函数值y随x的增大而增大 (2)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点 解:(1)∵二次函数y=a(x-h)2图象的顶点坐标是 坐标 (-5,0), (3)说明该函数图象与二次函数y=3x2的图象 h=-5,即二次函数的表达式为y=a(x+5)2 之间的关系 二次函数图象过点(0,-3), 解:(1)画图象略 ∴a(0+5)2=-3,解得a (2)该函数图象的开口方向向上,对称轴是直线x =2,顶点坐标为(2,0) 次函数的表达式为y=-25(x+5) (3)该函数图象与二次函数y=5x2的图象的形状 (2)∵抛物线的开口向下,对称轴为直线x=-5 ∴当x<-5时,函数值y随x的增大而增大 和开口方向都相同 把二次函数y=的图象向右平移2个单位可 (x-2)2的图象 10九年级数学下·HS
!* [\]9^_#!" 4"¨m 6789!%"%#,(&" <EI)Á '()* #$%&!%"!#,("" +56978 $&789:!%,"$#&$%" ;HI;0OPY$? % @:QR#%$ ?:QR#%,$ A:!P B:#P "&ÀíQ&UVj%'789:!%"$#,(%"$"" '%;HIçY'#$"( $B % +&¶·R!%+$#,$%" ;STUVY $$''% '0O PY Q R #%$ ' #% $ J'!E % ' & )&¤¥ 9 : !% , $#,$%" H I g T*$"'!$%' ,$"'!"%'N%"#"'¸!$ W!" ; wjY!$ # !"$Ë"$#"##¦"%#%&'#$)( -&´j9:HI;ST # P;[ "% 'S T!P;[ !# $ËÊ)%& !!%,$ +#",$&"!%,$#&$%"&#!%$,#"& %!%+$#,$%"& #&¤¥789:!%"$#,(%" HI;STUVY $,-''%'@¾T$'',+%& $$%}789:;D& $"%#BkJ'9:!O# ;â) è!$$%E7 8 9 : !%"$#,(%" H I ; S T U V Y $,-''%' D(%,-'\789:;DB!%"$#&-%"& E789:HI¾T$'',+%' D"$'&-%"%,+'èÂ"%,+ "-& D789:;DB!%,+ "-$#&-%"& $"%E¶·R;±²³´'0OPBQR#%,-' D#$,-J'9:!O# ;â& 1&789:!%"$#,(%" ;HI¢H'¤¥"% $ "'-*%-0'À}/¶·R01;789:D& è!E-*%-0' DT * ;UVB$''(%& ÔE"%$ "' D(%$ "$',(%"' D($%"'("%'$ÝÞ%& D/¶·R01;789:DB!%$ "$#,"%"& '()# #$%&!%"!#,("" 9!%"#" 5 6:;+-1'%&$( .&¶·R!%#" ÀÁ¶·R!%$#&"%"'¸ ¬?ÀÁ¾_#6;Y $@ % @:³ÅÀÁ"?à ?:³ÇÀÁ"?à A:³ÀÁ"?à B:³´ÀÁ"?à /&¶·R!%,+$#&$%" ³ÇÀÁ+?ö· R01;789:DY !%,+$#,"%" & $'&¤¥¶·R!%"$#&(%" ;STY$,"''%'¹Y Û¶·R!%,##" ÀÁÂ;'¸"% ,# ' (% " & $$&¤¥789:!%$ +$#,"%"& $$%29:;HI& $"%0/9:HI;±²+³(0OP1ST UV& $+%!"/9:HIW789:!%$ +#" ;HI no;wj& è!$$%HI÷& $"%/9:HI;±²+³³'0OPYQR# %"'STUVB$"''%& $+%/9:HIW789:!%$ +#" ;HI;»¼ 1±²+³Mvc' q789:!% $ +#" ;HI³ÇÀÁ"?à Â!%$ +$#,"%" ;HI&
(2)若(1)中的抛物线与OB交于点C,与y轴交 B综合运用·提升能力 于点D,求点D,C的坐标 12.将函数y=x2的图象用下列方法平移后,所得图 解:(1)由题意得点A的坐标y 象不经过点A(1,4)的方法是 (D) 为(1,0),点A1的坐标为 A.向左平移1个单位B.向右平移3个单位 (2,0),点B1的坐标为 C.向上平移3个单位D.向下平移1个单位 (2,1) 3.在平面直角坐标系中,函数y=-x+1与y= 设抛物线所对应的二次函O 数表达式为y=a(x-1)2 2(x-1)的图象大致是【方法3】(D) 将(2,1)代入该表达式,得1=a(2-1)2,解得a=1, 抛物线所对应的二次函数表达式为y=(x-1) (2)令x=0,得到y=(0-1)2=1, ∴D点的坐标为(0,1 由题意知,直线OB在第一、三象限的角平分线上 C ∴直线OB所对应的一次函数表达式为y=x. 14.已知二次函数y=2(x-h)2,当x>3时,y随x 的增大而增大,则h的取值范围是h≤3 根据题意得 y=(x-1) 15.如图所示是二次函数y=a(x+m)2的图象 √5 (1)求二次函数的表达式 √5 (2)请指出该抛物线的顶点坐标、对称轴及函数具 3+5 5 有的性质; (3)将(1)中所求抛物线绕顶点旋转180°,求旋转 1(舍去),∴x 5 后的抛物线对应的二次函数表达式 解:(1)由题图可知抛物线y=a(x+ ∴点C的坐标为(3,3-5 m)2的顶点坐标为(2,0),且经过 C思维拓展冲刺满分 y=a(x-2)2 将(0,-1)代人y=a(x-2)2,得4a=-1, 17.已知二次函数y=(x+2)2的图象与x轴交于点 A,与y轴交于点B,连接AB (1)求点A、点B的坐标; (2)顶点坐标为(2,0),对称轴是直线x=2. (2)求S△B; 当x2时,y随x的增大而减小 四点为顶点的四边形为平行四边形?若存在 当x=2时,y大面=0 (3)将抛物线绕顶点旋转180°,则新的抛物线与原 求出P点的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)A(-2,0),B(0,4) 抛物线关于x轴对称 (2)S△知=OA·OB=方X -y=-+(x-2)2,即y=(x-2)2 2X4=4 旋转后的抛物线所对应的二次函数表达式为y (3)存在 ∵点P为对称轴直线x=-2上的一点, ∴点P的横坐标为-2,且PA∥OB. 16.如图,Rt△OAB中,∠OAB=90°,O为坐标原点 若以点P,A,O,B为顶点的四边形为平行四边形 边OA在x轴上,OA=AB=1,把Rt△OAB沿x 则PA=OB=4 轴正方向平移1个单位后得到△AA1B1 点P的纵坐标为4或-4,即P点的坐标为 (1)求以点A为顶点,且经过点B1的抛物线所对 (-2,4)或(-2,-4 应的二次函数表达式; 第26章二次函数1
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第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 A分点训练·打好基础 知识点二二次函数y=a(x-h)2+k与 ax2的图象之间的关系【易错1】 知识点一二次函数y=a(x-h)2+k的图象与7.将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移1 性质 个单位,所得抛物线对应的函数表达式是(C) 1.(岳阳中考)抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是 1.y=(x+2)2+1 (C) C.y=(x-2)2+1 B.(-2,-5) 8.将如图所示的抛物线向右平移1个单位,再向上平 D.(2 移3个单位后,得到的抛物线对应的函数表达式是 2.二次函数y=(x+2)2-1的图象大致为【方法2】 (C) (D) A.y=(x-1)2+1 C.y=2(x-1)2+1 3已知二次函数y=(x-2)2+1,下列说法:①其图【变式题】将二次函数y=(x-1)2-2的图象先向 象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=2 右平移1个单位,再向上平移1个单位后顶点的坐 ③其图象顶点坐标为(,-1;④当x<2时,y随x标为 的增大而减小.则其中说法正确的有 (B) A.(1,3) 个B.2个 D.4个 D.(0,1) 4.设抛物线y=(x+3)2-4的对称轴为直线l,若点9.将抛物线=2(x+1)2-3向右平移1个单位,再 M在直线l上,则点M的坐标可能是 (C) 向上平移b个单位,所得抛物线与抛物线y=ax2 B.(3,0) 重合,则a+b C.(-3,0) D.(0,-4) 5.已知二次函数y=(x-2)2+3,当x<2时,y随x B综合运用·提升能力 的增大而减小 【变式题】若二次函数y=(x-m)2-1,当x≤1时,y10.如图,在平面直角坐标系中,点A是抛物线y 随x的增大而减小,则m的取值范围是m≥1 a(x-3)2+k与y轴的交点,点B是这条抛物线 6.已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2) 上的另一点,且AB∥x轴,则以AB为边的等边 (1)求a的值; 三角形ABC的周长为 (C) (2)若点A(m,y1),B(n,y2)(m<n<3)都在该抛物 线上,试比较y1与y2的大小 解:(1)把(1,-2)代入y=a(x-3)2+2,得 C.18 2=a(1-3)2+2,解得a=-1 (2)由(1)知a=-1, 则原抛物线为y=-(x-3)2+2 11.★(资阳雁江区模拟)当-2≤x≤1时,二次函数 其开口方向向下,对称轴为直线x=3, y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,则实数m的 ∴当x<3时,y随x的增大而增大 值为 (C) 又∵m<n<3, B.3或-√3 4 C.2或-√3 D.2或或-7 12九年级数学下·HS
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12.如图,抛物线 (x+1)2+1 点A'的坐标为(1,3) ∴点A为该函数图象的顶点 与y2=a(x-4)2-3交于点A (1,3),过点A作x轴的平行线 分别交两条抛物线于B,C两点 C思维拓展冲刺满分 且D,E分别为顶点.下列结论:①a=;②若连15.如图,已知抛物线y=a(x-1)2-3(a≠0)与y轴 接AE,则AC=AE;③若连接AD,BD,则△ABD 交于点A(0,-2),顶点为B 是等腰直角三角形;④当x>1时,y1>y2.其中正 (1)试确定a的值,并写出B点的坐标; 确的结论是①③(填序号) (2)若一次函数的图象经过A,B两点,试求出 13.如图所示是二次函数y=a(x+1)2+2图象的一 次函数的表达式; 部分,根据图象解答下列问题 (3)试在x轴上求一点P,使得△PAB的周长取 (1)抛物线与x轴的一个交点A的坐标为(-3, 最小值 0),则抛物线与x轴的另一个交点B的坐标 解:(1)把A(0,-2)代人y=a(x 为(1,0); -1)2-3,得-2=a(0-1)2 (2)确定a的值 3,解得a=1. ∵B为顶点, (3)设抛物线的顶点为P,试求△PAB的面积 ∵.B点的坐标为(1,-3) 解:(2)由(1)可知,当x=-3 (2)设一次函数的表达式为y 时,y=0,即a(-3+1)2+2 =kx+b,将A,B两点的坐标代入表达式,得 解得 3=k+b b=-2 (3)∵AB=1-(-3)=4,点 ∴一次函数的表达式为y=-x-2 P的坐标为(-1,2), (3)如图,将A点关于x轴的对称点记作E,则E △PAB的边AB上的高为2 点的坐标为(0,2).连接EB交x轴于点P,则P点 即为所求,连接PA,PB.设过E,B两点的直线所 S△BB=×4×2=4 对应的一次函数表达式为y=mx+n,代入E(0 2),B(1,-3),得 14.如图,已知二次函数y=a(x-h)2+3的图象经 ∴直线BE所对应的一次函数表达式为y=-5x 过O(0,0),A(2,0)两点 (1)写出该函数图象的对称轴; +2.当y=0时,x (2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA, ∴P点的坐标为(÷,0).这时△PAB的周长取最 试判断点A是否为该函数图象的顶点 小值 3的图象经过原点O(0,0) A(2,0), @错 ∴抛物线的对称轴为直线x=1. B (2)点A是该函数图象的顶 方法归纳 点,理由如下: 第11题考查利用二次函数的最值求字母系数 由(1)可知抛物线的对称轴为直线x=1, 的值,要求m的值应分三种情况讨论:①m ∴抛物线所对应的二次函数表达式为y=a(x- 1.应该特别注 1)2+3,将(0,0)代入,可得a=-√3, 意y=-(x-m)2+m2+1与y=-(x m)2+m2+1(-2≤x≤1)自变量的取值范 y=-3(x-1)2+3,顶点坐标为(1,3) 围不同,是两个不同的二次函数,在讨论函 作A'B⊥x轴于点 数的最值问题时,一定要注意函数自变量 线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA 的取值范围以及函数在这个取值范围内的 OA'=OA=2,∠AOA=60 增减性 在Rt△A'OB中,∠OA'B=30°, 错题序号 OB=÷OA=1, 易错笔记 A'B=√3OB= 第26章二次函数13
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