人教版九年级上数学知识点总结 21一元二次方程 设未,列方程 数学问题 实际问题 ax2+bx+e=0(a≠0) 解开平 方配方法 分解因式法 学问题的解 21.1一元二次方程 易错点:①a≠0和a=0②方程两个根的取舍 知识点 一元二次方程的定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程, 叫做一元二次方程。 注意已下几点 ①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。 知识点 一元二次方程的一般形式:一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是 次项,b是一次项系数;c是常数项。 知识点三 元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方 程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2降次一解一元二次方程 21.2.1配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 (1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如 x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x;=√a,x2=-√a (2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=pⅷm≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。 (3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数 零的平方根是零;负数没有平方根 (4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1 ③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程
1 人教版九年级上数学知识点总结 21 一元二次方程 21.1 一元二次方程 易错点： a≠0 和 a=0 方程两个根的取舍 知识点一 一元二次方程的定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程， 叫做一元二次方程。 注意已下几点： ① 只含有一个未知数； ②未知数的最高次数是 2； ③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一 次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 知识点三 一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方 程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如 x 2 =a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得 x1= a ,x2= − a . （2） 直接开平方法适用于解形如 x 2 =p 或(mx+a)2 =p(m≠0)形式的方程，如果 p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数； 零的平方根是零；负数没有平方根。 （4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1； ③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为 两个一元一次方程来解 配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。 (1)把常数项移到等号的右边 (2)方程两边都除以二次项系数; (3)方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式;4)若等号右边为非负数,直接开平方 求出方程的解。 21.2.2公式法 知识点一公式法解一元二次方程 1)一般地,对于一元二次方程ax+bx+6=0(≠0,如果的40≥0,那么方程的两个根为x=V), 这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方 程的解,这种解方程的方法叫做公式法。 (2)一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 (3)公式法解一元二次方程的具体步骤 ①方程化为一般形式:ax2+bx+c=0(a丰0),一般a化为正值 ②确定公式中a,b,c的值,注意符号 ③求出b2-4ac的值 ④若b2-4ac≥0,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,若b2-4ac0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 根的 判别式 △=0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 △<0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根 21.2.3因式分解法 知识点一因式分解法解一元二次方程 (1)把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求两个求一元一次方程的解 这种解方程的方法叫做因式分解法。 (2)因式分解法的详细步骤 ①移项,将所有的项都移到左边,右边化为0 ②把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式 ③令每一个因式分别为零,得到一元一次方程; ⑨解一元一次方程即可得到原方程的解 知识点二用合适的方法解一元一次方程 方法名称 2
2 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为 两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1） 把常数项移到等号的右边； （2） 方程两边都除以二次项系数； （3） 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； ⑷ 若等号右边为非负数，直接开平方 求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一 公式法解一元二次方程 （1） 一般地，对于一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)，如果 b 2 -4ac≥0，那么方程的两个根为 x= a b b ac 2 4 2 − − ， 这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方 程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的过程。 （3） 公式法解一元二次方程的具体步骤： ① 方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0(a≠0)，一般 a 化为正值 ② 确定公式中 a,b,c 的值，注意符号； ③ 求出 b2-4ac 的值； ④ 若 b2-4ac≥0，则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解，若 b2-4ac＜0，则方程无实数根。 知识点二 一元二次方程根的判别式 式子 b 2 -4ac 叫做方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2 -4ac. △＞0，方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 △=0，方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 △＜0，方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)无实数根 21.2．3 因式分解法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 （1） 把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解， 这种解方程的方法叫做因式分解法。 （2） 因式分解法的详细步骤： ① 移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0； ② 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； ③ 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。 知识点二 用合适的方法解一元一次方程 方法名称 理论依据 适用范围 根的 判别式
直接开平方法 方根的意义 形如x2=p或(mx+n)=p(p≥0) 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 当ab=0,则a=0或b=0 边为0,另一边易于分解成两个一次因式的 积的一元二次方程。 21.24一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x,x2,则有x+x2=-p,x1×2=q. 若一元二次方程ax+bx+=0(a≠0)有两个实数根x,x,则有x+x,b,x 21.3实际问题与一元二次方程 知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤: (1)审:是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的等量关系。 (2)设:是指设元,也就是设出未知数。 (3)列:就是列方程,这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义,然后列代数式表示这 个相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程 (4)解:就是解方程,求出未知数的值 (5)验:是指检验方程的解是否保证实际问题有意义,符合题意。 (6)答:写出答案。 知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型 (1)数字问题 三个连续整数:若设中间的一个数为x,则另两个数分别为x-1,x+1。 三个连续偶数(奇数):若中间的一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2。 三位数的表示方法:设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数是100a+10b+c. (2)增长率问题 设初始量为a,终止量为b,平均增长率或平均降低率为κ,则经过两次的增长或降低 后的等量关系为a(1±x)2=b (3)利润问题 利润问题常用的相等关系式有:①总利润=总销售价-总成本;②总利润=单位利润×总销 售量;③利润=成本×利润率 (4)图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代数 式表示出来,建立一元二次方程 22.二次函数知识点归纳 次亟数 标 「买示题的答素 利用二次函数的图 象与性质求解
3 直接开平方法 平方根的意义 形如 x 2 =p 或（mx+n）2 =p(p≥0) 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 当 ab=0，则 a=0 或 b=0 一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的 积的一元二次方程。 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程 x 2 +px+q=0 的两个根为 x1,x2,则有 x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程 a 2 x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根 x1,x2,则有 x1+x2=， a b − ,x1x2= a c 21.3 实际问题与一元二次方程 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。 （2） 设：是指设元，也就是设出未知数。 （3） 列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这 个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。 （4） 解：就是解方程，求出未知数的值。 （5） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 （6） 答：写出答案。 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1） 数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-1，x+1。 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-2,x+2。 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c，则这个三位数是 100a+10b+c. （2） 增长率问题 设初始量为 a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为 x，则经过两次的增长或降低 后的等量关系为 a（1 x ）2 =b。 （3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销 售量；③利润=成本×利润率 （4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数 式表示出来，建立一元二次方程。 22. 二次函数知识点归纳
看图象能口述性质 抛物线与X 元二次 轴的交点方程的根 公式[化为 直接 开方 有两交点 图象(x10)(x0 合△0 有两个不等根 公公 1开口方向 2顶点坐标 因式配 3,对称轴 法方 4增减性 5.极值 队()钟(燃 式法 法 趣 直接开平方法 ①y=aDx 型②y=ax2+k 无白△0合无实 能③y=aix-h 解法 日④y=ax-h2+k类型 传播问题 性⑤y=ax2+bx+c2 关系 行程问题 磁道阿题 元二次方程 一应用 利润问题 用 次函数 效率问题 拱桥题 与y交点位置 解析式 次 异口方向 c>0在正半轴 定义 a>0向上 c0在原点 函数 a<0向下 c<0在负半轴 与 一元 ax2+bx+c=0 相关概念及定义 1二次函数的概念:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,ε是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调】:和一元二次方程类似,二次项系数α≠0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数 2二次函数y=ax2+bx+c的结构特征 (1)等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2 (2)a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,C是常数项 、二次函数各种形式之间的变换 1二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成:y=a(x-h)+k的形式,其中h=b 2a’ks-b2 4 2二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式: ①y=ax2;②y=ax2+k;③y=a(x-h)2:④y=a(x-h)2+k:⑤y=ax2+bx+c 、二次函数解析式的表示方法 般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 2顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0) 3两根式:y=a(x-x1)x-x2)(a≠0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标) 4注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有拋物线
4 一、相关概念及定义 1 二次函数的概念：一般地，形如 2 y ax bx c = + + （ abc ， ， 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。 【这里需要强调】：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而 b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2 二次函数 2 y ax bx c = + + 的结构特征： （1）等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． （2） abc ， ， 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项． 二、二次函数各种形式之间的变换 1 二次函数 y = ax + bx + c 2 用配方法可化成： y = a(x − h) + k 2 的形式，其中 a ac b k a b h 4 4 2 2 − = − ， = . 2 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ① 2 y = ax ；② y = ax + k 2 ；③ ( ) 2 y = a x − h ；④ y = a(x − h) + k 2 ；⑤ y = ax + bx + c 2 . 三、二次函数解析式的表示方法 1 一般式： 2 y ax bx c = + + （ a ，b ， c 为常数， a 0 ）； 2 顶点式： 2 y a x h k = − + ( ) （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）； 3 两根式： 1 2 y a x x x x = − − ( )( ) （ a 0 ， 1 x ， 2 x 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）. 4 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线
与x轴有交点,即b2-4ac≥0时,拋物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化 四、二次函数y=a2+bx+c图象的画法 1五点绘图法:利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐 标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y轴的交点(0,c)、以及(0,c)关于 对称轴对称的点(2h,C)、与x轴的交点(x,0),(x2,0)(若与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点) 2画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点 五、二次函数y=ax2的性质 a的符号开口方向顶点坐标|对称轴 性质 0时,y随x的增大而增大;x0 向上 (0,0) 小;x=0时,y有最小值0 a0时,y随x的增大而减小;x0时,y随x的增大而增大;xh时,y随x的增大而增大;xh时,ν随x的增大而减小;xh时,y随x的增大而增大;x<h时,y随x的 向上 XEh 增大而减小;x=h时,y有最小值k
5 与 x 轴有交点，即 2 b ac − 4 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 四、二次函数 2 y ax bx c = + + 图象的画法 1 五点绘图法：利用配方法将二次函数 2 y ax bx c = + + 化为顶点式 2 y a x h k = − + ( ) ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐 标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 (0，c) 、以及 (0，c) 关于 对称轴对称的点 (2h c ， ) 、与 x 轴的交点 ( x1，0) ，( x2 ，0) （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 2 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点. 五、二次函数 2 y = ax 的性质 六、二次函数 2 y ax c = + 的性质 七、二次函数 ( ) 2 y a x h = − 的性质： 八、二次函数 ( ) 2 y a x h k = − + 的性质 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 0 向上 (0 0 ， ) y 轴 x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的增大而减 小； x = 0 时， y 有最小值 0 ． a 0 向下 (0 0 ， ) y 轴 x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大而增 大； x = 0 时， y 有最大值 0 ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 0 向上 (0，c) y 轴 x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的增大 而减小； x = 0 时， y 有最小值 c ． a 0 向下 (0，c) y 轴 x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大 而增大； x = 0 时， y 有最大值 c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 0 向上 (h，0) X=h x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的增 大而减小； x h = 时， y 有最小值 0 ． a 0 向下 (h，0) X=h x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随 x 的增 大而增大； x h = 时， y 有最大值 0 ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 0 向上 (h k ， ) X=h x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的 增大而减小； x h = 时， y 有最小值 k ．
h时,y随x的增大而减小;x0时,开口向 (2)当a0时,拋物线开口向上,a越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大; (2)当a0的前提下 当b>0时,-b 0,即抛物线的对称轴在y轴左侧; 当b=0时, b =0,即抛物线的对称轴就是y轴 当b0,即抛物线对称轴在y轴的右侧 (2)在a0时, 0,即抛物线的对称轴在y轴右侧 当b=0时,-=0,即拋物线的对称轴就是y轴 当b<0时 <0,即抛物线对称轴在y轴的左侧
6 九、抛物线 2 y ax bx c = + + 的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 1 a 的符号决定抛物线的开口方向： （1）当 a 0 时，开口向上； （2）当 a 0 时，开口向下； （3） a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. 2 对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作 2 b x a = − .特别地， y 轴记作直线 x = 0. 3 顶点坐标： （ ， ） a ac b a b 4 4 2 2 − − 4 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同， 只是顶点的位置不同. 十、抛物线 y = ax + bx + c 2 中， a,b, c 与函数图像的关系 1 二次项系数 a 二次函数 2 y ax bx c = + + 中， a 作为二次项系数，显然 a 0 ． ⑴ 当 a 0 时，抛物线开口向上， a 越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当 a 0 时，抛物线开口向下， a 越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大． 总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小． 2 一次项系数 b 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在 a 0 的前提下， 当 b 0 时， 0 2 b a − ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧； 当 b = 0 时， 0 2 b a − = ，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 当 b 0 时， 0 2 b a − ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧． ⑵ 在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即 当 b 0 时， 0 2 b a − ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧； 当 b = 0 时， 0 2 b a − = ，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 当 b 0 时， 0 2 b a − ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧． a 0 向下 (h k ， ) X=h x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随 x 的 增大而增大； x h = 时， y 有最大值 k ．
总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置 3常数项c (1)当c>0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正 (2)当c=0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0 3)当c0分抛物线与x轴相交 ②有一个交点(顶点在x轴上)分Δ=0◇抛物线与x轴相切 ③没有交点Δ<0分抛物线与x轴相离 4平行于X轴的直线与拋物线的交点 可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是 ax2+bx+c=k的两个实数根 5一次函数y=kx+k≠0)的图像l与二次画数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像G的交点,由方程组 y=kr+n 的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时◇l与G有两个交点 y=ax+bx+c ②方程组只有一组解时◇l与G只有一个交点;③方程组无解时◇→l与G没有交点 6抛物线与x轴两交点之间的距离:若地物线y=ax2+bx+c与x轴两交点为A(x,0)B(x2,O),由于x、x2是方程 ax2+bx+C=0的两个根,故:x1+x2=--,x1·x2= -F=-)-( b)4c√b2-4ac√A 十四、二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1关于x轴对称 y=ax2+bx+c关于x轴对称后,得到的解析式是y=-ax2-bx-c y=a(x-h)+k关于x轴对称后,得到的解析式是y=-a(x-h)-k 2关于y轴对称 y=ax2+bx+c关于y轴对称后,得到的解析式是y=ax2-bx+c
7 总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置． 3 常数项 c ⑴ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当 c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ； ⑶ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置． 总之，只要 abc ， ， 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法 1 公式法： a ac b a b y ax bx c a x 4 4 2 2 2 2 − + = + + = + ，∴顶点是 （ ， ） a ac b a b 4 4 2 2 − − ，对称轴是直线 a b x 2 = − . 2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y = a(x − h) + k 2 的形式，得到顶点为( h , k )，对称轴是直线 x = h . 3 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴， 对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 十二、用待定系数法求二次函数的解析式 1 一般式： y = ax + bx + c 2 .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式. 2 顶点式： y = a(x − h) + k 2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 3 交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 1 x 、 2 x ，通常选用交点式： ( )( ) 1 2 y = a x − x x − x . 十三、直线与抛物线的交点 1 y 轴与抛物线 y = ax + bx + c 2 得交点为(0, c ). 2 与 y 轴平行的直线 x = h 与抛物线 y = ax + bx + c 2 有且只有一个交点( h , ah + bh + c 2 ). 3 抛物线与 x 轴的交点:二次函数 y = ax + bx + c 2 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 1 x 、 2 x ，是对应一元二次方程 0 2 ax + bx + c = 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交； ②有一个交点（顶点在 x 轴上） = 0 抛物线与 x 轴相切； ③没有交点 0 抛物线与 x 轴相离. 4 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点 可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是 ax + bx + c = k 2 的两个实数根. 5 一 次 函 数 y = kx+ n(k 0) 的 图 像 l 与 二 次 函 数 ( 0) 2 y = ax + bx + c a 的 图 像 G 的 交 点 ， 由 方 程 组 2 y kx n y ax bx c = + = + + 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 l 与 G 有两个交点; ②方程组只有一组解时 l 与 G 只有一个交点；③方程组无解时 l 与 G 没有交点. 6 抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 y = ax + bx + c 2 与 x 轴两交点为 ( 0) ( 0) A x1，，B x2， ，由于 1 x 、 2 x 是方程 0 2 ax + bx + c = 的两个根，故： a c x x a b x1 + x2 = − , 1 2 = ( ) ( ) a a b ac a c a b AB x x x x x x x x = − − = = − = − = − − = − 4 4 4 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 十四、二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1 关于 x 轴对称 2 y ax bx c = + + 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 2 y ax bx c = − − − ； ( ) 2 y a x h k = − + 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 ( ) 2 y a x h k = − − − ； 2 关于 y 轴对称 2 y ax bx c = + + 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 2 y ax bx c = − + ；
y=a(x-b)2+k关于y轴对称后,得到的解析式是y=a(x+h)+k; 3关于原点对称 y=ax2+bx+c关于原点对称后,得到的解析式是y=-ax2+bx-c =a(x-h)2+k关于原点对称后,得到的解析式是y=-a(x+h)2-k 4关于顶点对称 y=ax2+bx+c关于顶点对称后,得到的解析式是y=-ar-br+c、b2 y=a(x-h)+k关于顶点对称后,得到的解析式是y=-a(x-h)2+k 5关于点(m,n)对称 y=a(x-h)2+k关于点(m,n)对称后,得到的解析式是y=-a(x+h-2m)2+2n-k 总结:根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此园永远不变。求抛物线 的对称拋物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原拋物线(或表达式 已知的拋物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称拋物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表 达式 十五、二次函数图象的平移 1.平移步骤 (1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)+k,确定其顶点坐标(h,k) (2)保持抛物线y=ax的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,具体平移方法如下 向上k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k<0)】平移个单位 2平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减 十六、根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路 1.三点式。 1)已知抛物线y=ax2地bx+。经过A(√3,0),B(2√3,o),c(0,-3)三点,求抛物线的解析式。 (2)已知抛物线y=a(x-1)2+4,经过点A(2,3),求抛物线的解析式。 2.顶点式。 (1)已知抛物线y=x2-2ax+a2+b顶点为A(2,1),求抛物线的解析式 (1)已知抛物线y=4(x+a)2-2a的顶点为(3,1),求拋物线的解析式。 3.交点式。 (1)已知抛物线与ⅹ轴两个交点分别为(3,0),(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。 (2)已知抛物线线与x轴两个文点(4,0),(,0)求抱物线y2a(x-2)(xb)的解析式。 4.定点式。 5 (1)在直角坐标系中,不论a取何值,抛物线y=-x x+2a-2经过x轴上一定点Q,直线y=(a-2)x+2 经过点Q,求拋物线的解析式。 (2)拋物线y=x2+(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4,求抛物线的解析式。 (3)抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A,求抛物线的解析式。 5.平移式
8 ( ) 2 y a x h k = − + 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 ( ) 2 y a x h k = + + ； 3 关于原点对称 2 y ax bx c = + + 关于原点对称后，得到的解析式是 2 y ax bx c = − + − ； ( ) 2 y a x h k = − + 关于原点对称后，得到的解析式是 ( ) 2 y a x h k = − + − ； 4 关于顶点对称 2 y ax bx c = + + 关于顶点对称后，得到的解析式是 2 2 2 b y ax bx c a = − − + − ； ( ) 2 y a x h k = − + 关于顶点对称后，得到的解析式是 ( ) 2 y a x h k = − − + ． 5 关于点 (m n ， ) 对称 ( ) 2 y a x h k = − + 关于点 (m n ， ) 对称后，得到的解析式是 ( ) 2 y a x h m n k = − + − + − 2 2 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线 的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式 已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表 达式． 十五、二次函数图象的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ( ) 2 y a x h k = − + ，确定其顶点坐标 (h k ， ) ； ⑵ 保持抛物线 2 y ax = 的形状不变，将其顶点平移到 (h k ， ) 处，具体平移方法如下： 向右(h>0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位 y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2 y=ax y=ax 2+k 2 2 平移规律 在原有函数的基础上 “ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成八个字 “左加右减，上加下减”． 十六、根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。 1.三点式。 （1）已知抛物线 y=ax2 +bx+c 经过 A（ 3 ，0），B（ 2 3 ，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。 （2）已知抛物线 y=a(x-1)２ +4 ， 经过点 A（2，3），求抛物线的解析式。 2.顶点式。 （1）已知抛物线 y=x2 -2ax+a2 +b 顶点为 A（2，1），求抛物线的解析式。 （1）已知抛物线 y=4(x+a)2 -2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 3.交点式。 （1）已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线 y=(x-a)(x-b)的解析式。 （2）已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线 y= 2 1 a(x-2a)(x-b)的解析式。 4.定点式。 （1）在直角坐标系中，不论 a 取何值，抛物线 2 2 2 5 2 1 2 + − − = − + x a a y x 经过 x 轴上一定点 Q，直线 y = (a − 2)x + 2 经过点 Q,求抛物线的解析式。 （2）抛物线 y= x2 +(2m-1)x-2m 与 x 轴的一定交点经过直线 y=mx+m+4，求抛物线的解析式。 （3） 抛物线 y=ax2 +ax-2 过直线 y=mx-2m+2 上的定点 A，求抛物线的解析式。 5.平移式
(1)把拋物线y=-2x2向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到拋物线y=a(x-h)2*k,求此拋物线解 析式 (2)抛物线y=-x2+x-3向上平移,使拋物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式 6.距离式 (1)抛物线y=ax2+4ax+1(a>0)与ⅹ轴的两个交点间的距离为2,求抛物线的解析式 2)已知抛物线y=mx2+3mx-4m(m>0)与x轴交于A、B两点,与轴交于C点,且AB=BC,求此抛物线的解析式。 7.对称轴式。 (1)抛物线y=×2-2x+(m2-4m4)与ⅹ轴有两个交点,这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍,求抛物线的解 析式 (2)已知把物线y=-x+ax+4,交x轴于AB(点A在点B左边)两点,交y轴于点C,且OB-0A=0C,求此抱物线的 解析式。 8.对称式 (1)平行四边形ABCD对角线AC在ⅹ轴上,且A(-10,0),AC=16,D(2,6)。AD交y轴于E,将三角形AB0沿x轴 折叠,点B到B1的位置,求经过A,B,E三点的拋物线的解析式。 (2)求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴(或ⅹ轴)对称的抛物线的解析式。 9.切点式 (1)已知直线y=ax-a2(a≠0)与抛物线y=mx2有唯一公共点,求抛物线的解析式。 (2)直线y=x+a与拋物线y=ax2+k的唯一公共点A(2,1),求抛物线的解析式 10.判别式式。 (1)已知关于X的一元二次方程(m+1)x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根,求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式 (2)已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。 23旋转 中心对称图形 [中 中心对称 图案设计 平移及其性质 关于原点对称的点的坐标 :[轴对称及其性质」 23.1图形的旋转 知识点一旋转的定义 在平面内,把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一个角度,就叫做图形的旋转,点0叫做旋转中心,转动的 角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素
9 （1）把抛物线 y= -2x2 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到抛物线 y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解 析式。 （2）抛物线 3 2 y = −x + x − 向上平移,使抛物线经过点 C(0,2),求抛物线的解析式. 6.距离式。 （1）抛物线 y=ax2 +4ax+1(a﹥0)与 x 轴的两个交点间的距离为 2，求抛物线的解析式。 （2）已知抛物线 y=m x2 +3mx-4m(m﹥0)与 x 轴交于 A、B 两点，与 轴交于 C 点，且 AB=BC,求此抛物线的解析式。 7.对称轴式。 （1）抛物线 y=x2 -2x+(m2 -4m+4)与 x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到 y 轴距离的 2 倍，求抛物线的解 析式。 （2）已知抛物线 y=-x 2 +ax+4, 交 x 轴于 A,B（点 A 在点 B 左边）两点，交 y 轴于点 C,且 OB-OA= 4 3 OC，求此抛物线的 解析式。 8.对称式。 （1）平行四边形 ABCD 对角线 AC 在 x 轴上，且 A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD 交 y 轴于 E，将三角形 ABC 沿 x 轴 折叠，点 B 到 B1 的位置，求经过 A,B,E 三点的抛物线的解析式。 （2）求与抛物线 y=x2 +4x+3 关于 y 轴（或 x 轴）对称的抛物线的解析式。 9.切点式。 （1）已知直线 y=ax-a 2 (a≠0) 与抛物线 y=mx2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。 （2） 直线 y=x+a 与抛物线 y=ax2 +k 的唯一公共点 A（2，1）,求抛物线的解析式。 10.判别式式。 （1）已知关于 X 的一元二次方程（m+1）x 2 +2(m+1)x+2=0 有两个相等的实数根，求抛物线 y=-x 2 +(m+1)x+3 解析式。 （2）已知抛物线 y=(a+2)x2 -(a+1)x+2a 的顶点在 x 轴上,求抛物线的解析式。 23 旋转 23.1 图形的旋转 知识点一 旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度，就叫做图形的旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的 角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素
知识点二旋转的性质 旋转的特征: (1)对应点到旋转中心的距离相等 (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 (3)旋转前后的图形全等 理解以下几点: (1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。 (2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等 (3)图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了图形的位置。 知识点三利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质: (1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 (2)对应点到旋转中心的距离相等,它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为: ①连:即连接图形中每一个关键点与旋转中心 ②转:即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角) ③截:即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点 ④接:即连接到所连接的各点。 23.2中心对称 知识点一中心对称的定义 中心对称:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点 对称或中心对称,这个点叫做对称中心。 注意以下几点 中心对称指的是两个图形的位置关系;只有一个对称中心;绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。 知识点二作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形,关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对 称点按照原图形的形状连接起来,即可得出成中心对称图形 知识点三中心对称的性质 有以下几点 (1)关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心,并且都被对称中心平分 (2)关于中心对称的两个图形能够互相重合,是全等形; (3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或共线)且相等。 知识点四中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图 形,这个点就是它的对称中心 知识点五关于原点对称的点的坐标 面直角坐标系中,如果两个点关于原点对称,它们的坐标符号相反,即点p(x,y)关于原点对称点为(-x,-y) 24圆
10 知识点二 旋转的性质 旋转的特征： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。 （2） 对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。 （3） 图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 知识点三 利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质： （1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为： ①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） ③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。 23.2 中心对称 知识点一 中心对称的定义 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点 对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 注意以下几点： 中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转 180°两个图形能够完全重合。 知识点二 作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对 称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。 知识点三 中心对称的性质 有以下几点： （1） 关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分； （2） 关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形； （3） 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 知识点四 中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图 形，这个点就是它的对称中心。 知识点五 关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点 p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。 24 圆