九年级月考(数学)试卷 选择题(共12小题,共36分) 1.-3的倒数的相反数是() 2新型冠状病毒非常小,其半径约为0.0000010m,用科学记数法可以表示为() A.16×10°m B.16×10-m D.16×10-8m 3桌面放着一个长方体和一个圆柱体,按如图所示的方式摆放在一起,其左视图是() B 4.下列图形中,为轴对称图形的是( G 5.一个袋子中装有6个黑球和3个白球这些球除颜色外,形状、大小、质地等完全相同,在看不到球的条 件下,随机从这个袋子中摸出一个球,摸到白球的概率为( 6.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉当它醒来时,发
九年级月考(数学)试卷 一、选择题(共 12 小题，共 36 分) 1. −3 的倒数的相反数是（ ） A． 1 3 B．3 C． −3 D． 1 3 − 2.新型冠状病毒非常小，其半径约为 0.00000016 m ，用科学记数法可以表示为( ) A． 6 1.6 10 m B． 6 1.6 10 m − C． 7 1.6 10 m − D． 8 1.6 10 m − 3.桌面放着一个长方体和一个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（ ） A． B． C． D． 4.下列图形中，为轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 5.一个袋子中装有 6 个黑球和 3 个白球.这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条 件下，随机从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为( ) A． 1 9 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 6.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发
现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点…用S1、S2分别表示乌龟和兔 子所行的路程,t为时间,则下列图像中与故事情节相吻合的是( 7若4(a,).B(b)是反比例函数y=-x图像上的两个点,且ab D.大小不确定 8如果圆锥的母线长为10cm,高为8cm,那么它的侧面积等于( A. 80cm" B. 60cm C. 40cm D. 30cm2 9函数y=-2x,y=,y=-x2的共同性质是() A.它们的图像都经过原点 B.它们的图像都不经过第二象限 C.在x>0的条件下,y都随x的增大而增大 D.在x>0的条件下,y都随x的增大而减小 10.如图,在等边△ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,点P是AB上一动点,连接OP,将线 段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD,要使点D恰好落在BC上,则AP的长是(
现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用 1 s 、 2 s 分别表示乌龟和兔 子所行的路程， t 为时间，则下列图像中与故事情节相吻合的是( ) A． B． C． D． 7.若 A a b ( 1 1 , ) ， B a b ( 2 2 , ) 是反比例函数 2 y x = − 图像上的两个点，且 1 2 a a ，则 1 b 与 2 b 的大小关系是 （ ） A． 1 2 b b B． 1 2 b b = C． 1 2 b b D．大小不确定 8.如果圆锥的母线长为 10 cm ，高为 8 cm ，那么它的侧面积等于（ ） A． 2 80cm B． 2 60cm C． 2 40cm D． 2 30cm 9.函数 y x = −2 ， 1 y x = ， 2 y x = − 的共同性质是（ ） A．它们的图像都经过原点 B．它们的图像都不经过第二象限 C．在 x 0 的条件下， y 都随 x 的增大而增大 D．在 x 0 的条件下， y 都随 x 的增大而减小 10.如图，在等边 ABC 中， AC = 9 ，点 O 在 AC 上，且 AO = 3 ，点 P 是 AB 上一动点，连接 OP ，将线 段 OP 绕点 O 逆时针旋转 60 得到线段 OD ，要使点 D 恰好落在 BC 上，则 AP 的长是( )
B.5 C.6 D.8 ll花园内有一块边长为a的正方形土地,园艺师设计了四种不同的图案,其中阴影部分用于种植花草,种 植花草面积最大的是() 12.下列结论正确的是() A.对任意实数a,a=1 B.1≥1 C.两个正无理数之和一定是个正无理数 D.x2+x+—=x+1+—是整式方程 、填空题(共4小题,共12分) 13.√l6的平方根是 的自变量x的取值范围是 15请你仔细观察下面-组图形,依据其变化规律推断第(5)个图形中所有正方形面积之和为 (其中图 中出现的三角形均是直角三角形,四边形均是正方形) 16有一边长为2的正方形纸片ABCD,先将正方形ABCD对折,设折痕为EF(如图①);再沿过D的折
A．4 B．5 C．6 D．8 11.花园内有一块边长为 a 的正方形土地，园艺师设计了四种不同的图案，其中阴影部分用于种植花草，种 植花草面积最大的是( ) A． B． C． D． 12.下列结论正确的是（ ） A．对任意实数 a， 0 a =1 B．1 1 C．两个正无理数之和一定是个正无理数 D． 2 1 1 1 1 1 x x x x x + + = + + − − 是整式方程 二、填空题(共 4 小题，共 12 分). 13. 16 的平方根是 ． 14.函数 2 5 x y − = 的自变量 x 的取值范围是 ． 15.请你仔细观察下面-组图形，依据其变化规律推断第(5)个图形中所有正方形面积之和为 ( 其中图 中出现的三角形均是直角三角形，四边形均是正方形). 16.有一边长为 2 的正方形纸片 ABCD ，先将正方形 ABCD 对折，设折痕为 EF ( 如图①)；再沿过 D 的折
痕将角A反折,使得点A落在EF上的H处(如图②),折痕交AE于点G,则EG的长度为 解答题(共7小题,共52分) 计算: +3tan60°-22-√48 18著名台湾魔术师刘谦发明了一个道具,他把下图①中的正方形,分割成两个全等的直角三角形和直角梯 形然后拼成图②中的长方形 通过计算这两个图形的面积,证明了64=65请你用学过的数学知识,找到刘谦的破绽 19某大型超市元旦假期举行促销活动规定一次购物不超过100元的不给优惠:超过100元而不超过300元, 按该次购物全额9折优惠:超过300元的其中300元仍按9折优惠,超过部分按8折优惠小美两次购物分别 用了94.5元和2828元现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品那么小丽应该付款多少元? 20.设x是x1 x的平均数,即x=x++…+x 即方差 S2=-[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)],它反映了这组数的波动性 (1)证明:对任意实数a,x1-a,x2-a,…,xn-a与x,x2,…,x方差相同 (2)证明:S2=-(x2 X+· (3)以下是我校初三(1)班10位同学的身高(单位厘米) 169172163173 168170167170171
痕将角 A 反折，使得点 A 落在 EF 上的 H 处( 如图②)，折痕交 AE 于点 G ，则 EG 的长度为 ． 三、解答题(共 7 小题，共 52 分) 17.计算： ( ) 0 2 5 1 |1 3 | 3tan 60 2 48 − + − + − − 18.著名台湾魔术师刘谦发明了一个道具，他把下图①中的正方形，分割成两个全等的直角三角形和直角梯 形.然后拼成图②中的长方形. 通过计算这两个图形的面积，证明了 64 65 = .请你用学过的数学知识，找到刘谦的破绽. 19.某大型超市元旦假期举行促销活动规定一次购物不超过 100 元的不给优惠；超过 100 元而不超过 300 元， 按该次购物全额 9 折优惠:超过 300 元的其中 300 元仍按 9 折优惠，超过部分按 8 折优惠小美两次购物分别 用了 94 .5 元和 282.8 元.现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品.那么小丽应该付款多少元? 20. 设 x 是 1 x ， 2 x ，…， n x 的平均数，即 1 2 n x x x x n + + + = ，即方差 2 2 2 2 1 2 1 [( ) ( ) ( ) ] n S x x x x x x n = − + − + + − ，它反映了这组数的波动性. （1）证明：对任意实数 a， 1 x a − ， 2 x a − ，…， n x a − 与 1 x ， 2 x ，…， n x 方差相同. （2）证明： ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 n S x x x x n = + + + − . （3）以下是我校初三(1)班 10 位同学的身高(单位:厘米) : 169 172 163 173 175 168 170 167 170 171
计算这组数的方差 21已知如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC和BD相交于E,BC=CD=4,AE=6,且BE和DE 的长是正整数,求BD的长 22.某同学在研究二次函数及其图像性质的问题时,发现了两个重要结论 ①抛物线y=ax2-2x+3(a≠0),不论a为何值时,它的顶点都在某条直线上; ②抛物线y=a2-2x+3(a≠0),其顶点的横坐标减少1,纵坐标增加,得到A点若把顶点的横 坐标增加一,纵坐标增加一,得到B点则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2-2x+3上 (1)请你帮忙求出抛物线y=ax2-2x+3的项点所在直线的解析式,并证明结论②是正确的 (2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?并说明理由; (3)你能把结论①或②(选择其中之一)推广到一般情况吗?请用数学语言表述你的成果,并给予严格的证明 23如图,在平面直角坐标系中,四边形△BC为菱形点C的坐标为(4.0),∠AOC=60°,垂直于x轴 的直线从y轴出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线/与菱形OABC的两边分别交 与点M、N(点M在点N的上方) (1)求A、B两点的坐标; (2)设OM的面积为S,直线l运动时间为t秒(0≤t≤6),试求S与t的函数表达式 (3)在题(2)的条件下,t为何值时,S的面积最大?最大面积是多少?
计算这组数的方差. 21.已知:如图，四边形 ABCD 内接于 O ， AC 和 BD 相交于 E ，BC CD = = 4 ， AE = 6 ，且 BE 和 DE 的长是正整数，求 BD 的长. 22.某同学在研究二次函数及其图像性质的问题时，发现了两个重要结论： ①抛物线 2 y ax x = − + 2 3 （ a 0 ），不论 a 为何值时，它的顶点都在某条直线上； ②抛物线 2 y ax x = − + 2 3 （ a 0 ），其顶点的横坐标减少 1 a ，纵坐标增加 1 a ，得到 A 点；若把顶点的横 坐标增加 1 a ，纵坐标增加 1 a ，得到 B 点.则 A 、 B 两点一定仍在抛物线 2 y ax x = − + 2 3 上. (1)请你帮忙求出抛物线 2 y ax x = − + 2 3 的顶点所在直线的解析式，并证明结论②是正确的； (2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗?并说明理由； (3)你能把结论①或②(选择其中之一)推广到一般情况吗?请用数学语言表述你的成果，并给予严格的证明. 23.如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABC 为菱形.点 C 的坐标为 (4,0) ， = AOC 60 ，垂直于 x 轴 的直线 l 从 y 轴出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线 l 与菱形 OABC 的两边分别交 与点 M 、 N (点 M 在点 N 的上方). (1)求 A 、 B 两点的坐标； (2)设 OMN 的面积为 S ，直线 l 运动时间为 t 秒( 0 6 t )，试求 S 与 t 的函数表达式: (3)在题(2)的条件下， t 为何值时， S 的面积最大?最大面积是多少?
试卷答案 选择题 1-5 ACCDB 6-10: ADBDC ll、12:AB 二、填空题 4.x≥2 23-3 三、解答题 17.原式=1+(√3-1)+3√3-4-43 18.如图,过C作CF⊥AB垂足为F,则 BF5-32 tan∠BCF CD 而tan∠E= 即tan∠BCF>tan∠E ∴∠BCF>∠E ∴B、C、E三点不共线,事实上,∠BCD+∠DCE>180°,因而图②中间有一条缝,它实际 上是个平行四边形,其面积为1 F
试卷答案 一、选择题 1-5:ACCDB 6-10:ADBDC 11、12：AB 二、填空题 13. 2 14. x 2 15.5 16. 2 3 -3 三、解答题 17. 原式 = + + 1 3-1 3 3-4-4 3 （ ） x =−4 18. 如图，过 C 作 CF AB ⊥ 垂足为 F ，则 5 2 5 5 3 ∠ = = = - CF BF tan BCF ， 而 8 3 ∠ = = DE CD tan E ， 即 tan∠BCF > tan∠E. ∴ ∠BCF >∠E. ∴ B 、C、E 三点不共线，事实上， ∠BCD +∠DCE > 180° ，因而图②中间有一条缝，它实际 上是个平行四边形，其面积为 1
19.注意到100×0.9=90<945<100,300×0.9=270<2828.设小美第二次购物的原价为x元, 则 (x-300)×08+300×09=2828,解之,得:x=316 下面分两种情况讨论 (1)小美第一次购物没有优惠,第二次购物原价超过300元,则小丽应付: (316+945-300×0.8+300×0.9=3584(元); (2)小美第一次购物原价超过100元,第二次购物原价超过300元,则第一次购物原用去 945÷0.9=105(元).所以小丽应付: (316+105-300)×08+300×0.9=3668(元) 即小丽应付款3584元或366.8元 20(1)证明:设x1,x2,…,xn的平均数为x,方差为S2;x-a,x2-a,…,xn-a的平均数为x 方差为S.则: r=1-a)+(x2-a)+··+(x如=+x2+·+a=xa ∴S2=-{(x1a)-x]+[(x2a)-x]+·+[(xna)x]} {[(x1a)(xa)2+(x2a)(xa)2++[(xna)(x-a))} (xx)2+(x2x)++(x,-x) (x1-x)2+(x2-x)2+···+(x1-x)2] (2) x2+x2+…+x2)-2(x1+x2+…+x,)x+nx
19. 注意到 ， . 设小美第二次购物的原价为 元， 则： ( x − + = 300 0.8 300 0.9 282.8 ) ，解之，得： x = 316 . 下面分两种情况讨论： （1） 小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过 300 元，则小丽应付： (316 94.5 300 0.8 300 0.9 358.4 + − + = ) （元）； （2）小美第一次购物原价超过 100 元，第二次购物原价超过 300 元，则第一次购物原用去 94.5 0.9 105 = （元）. 所以小丽应付： (316 105 300 0.8 300 0.9 366.8 + − + = ) （元）. 即小丽应付款 358.4 元或 366.8 元. 20.（1）证明：设 x1 ，x2 ，…， xn 的平均数为 x ，方差为 2 S ； 1 x -a ，x - a 2 ，…， x - a n 的平均数为 ' x ， 方差为 '2 S . 则： ' 1 2 1 2 ( - ) ( - ) ( - ) - - n n x a x a x a x x x x a x a n n + + • • • + + + • • • + = = = ∴ '2 ' 2 ' 2 ' 2 1 2 n 1 {[( - )- ] [( - )- ] [( - )- ] } n S x a x x a x x a x = + + ••• + 2 2 2 1 2 1 {[( - )-( - )] [( - )-( - )] [( - )-( - )] } n x a x a x a x a x a x a n = + + ••• + 2 2 2 1 2 n 1 [( - ) ( - ) ( - ) ] x x x x x x n = + + • • • + 2 = S （2） 2 2 2 2 1 2 n 1 S x x x x x x [( - ) ( - ) ( - ) ] n = + + • • • + 2 2 2 2 1 2 1 2 1 [( ) 2( ) ] n n x x x x x x x nx n = + + + − + + + + 100 0.9 90 94.5 100 = < < 300 0.9 270 282.8 = < x
·X+x n (x2+x2+…+x2) (3)由(1),将这10个数都减去170,得 则x=02,再由(2)得: s2=10.16 21.解:设CE=x,BE=y,DE=,则BD=y+2 BC=CD 又∵∠2=∠3 从而△CDE~△CAD CD CE AC CD 即AC·CE=CD (x+6)x=4 解这个方程,取正整数解,得x=2 即:CE=2 再由相交弦定理 ∴BE·DE=AE·CE=6×2=12,即y·2=12
1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 x x n x x x (x x x )- n n n • + + + ••• + = + + ••• + • 2 2 2 2 2 2 1 2 1 (x x x ) - x x n = + + ••• + n + 2 2 2 2 1 2 1 ( ) n x x x x n = + + + − （3）由（1），将这 10 个数都减去 170，得： -1 2 -7 3 5 -2 0 -3 0 1 则 x=-0.2 ，再由（2）得： 10 16 2 S = . 21.解：设 CE x = ， BE y = ， DE z = ，则 BD y z = + ∵ BC CD = ∴ = 1 2 又∵ ∠2 =∠3 ∴ ∠1 =∠3 从而 CDE CAD ∴ CD CE AC CD = 即 2 AC CE CD • = ∴ 2 ( 6) 4 x x + = 解这个方程，取正整数解，得 x = 2 即： CE = 2 再由相交弦定理 ∴ BE DE AE CE • = • = = 6 2 12 ，即 y z • =12
在△BCD中,BD<BC+CD=8,即y+2<8 ∴当y+二<8时,方程y·=12的正整数解是 3 12=4 4 BD=7 2.(1)方法 当a=时,y=ax2-2x+3的顶点坐标为(2) 当a=-1时,y=ax2x+3的顶点坐标为(-14) 设抛物线y=ax2-2x+3的顶点在直线y=kx+m上 将(12)、(-1,4)代入,得: ∫2=k+m 解得 4=-k+m 所以y=-x+3 即抛物线y=ax2-2x+3的顶点在直线y=x+3 方法二:易知y=ax 的顶点是x a,消去得x+y=3 即抛物y=ax2-2x+3的顶点在直线y=-x+3 证明:抛物线y=ax2-2x+3(a≠O)的项点为(,3-)则4(0.3),B(,3),分别把它们代入抛抛 物线y=ax2-2x+3中验证即可.得A、B点一定仍在抛物线上 (2)直线y=-X+3上有一点(0,3)不是该抛物线的顶点 抛物线y=ax2-2x+3的顶点是(,3-2)
∵在 BCD 中， BD BC CD + =8 ，即 y z + 8 ∴当 y z + 8 时，方程 y z • =12 的正整数解是 1 1 3 4 y z = = 2 2 4 3 y z = = ∴ BD = 7 22.（1）方法一： 当 a =1 时， 2 y ax x = + -2 3 的顶点坐标为 (1,2) ， 当 a =−1 时， 2 y ax x = + -2 3 的顶点坐标为 (−1,4). 设抛物线 2 y ax x = + -2 3 的顶点在直线 y kx m = + 上. 将 (1,2) 、(−1,4) 代入，得： 2 4 k m k m = + = − + 解得： 1 3 k m = − = 所以 y x = − + 3 即抛物线 2 y ax x = − + 2 3 的顶点在直线 y = -x +3. 方法二：易知 2 y ax x = − + 2 3 的顶点是 1 a x = ， 1 y 3 a = − ，消去 a 得 x y + = 3 即抛物 2 y ax x = − + 2 3 的顶点在直线 y x = − + 3 . 证明：抛物线 2 y ax x = − + 2 3 ( 0) a 的顶点为 1 1 3 a a （ , − ） ， 则 A(0,3) ， 3 2 B( ) , a ，分别把它们代入抛抛 物线 2 y ax x = − + 2 3 中验证即可. 得 A 、 B 点一定仍在抛物线上. （2）直线 y = -x +3 上有一点（0，3）不是该抛物线的顶点. 抛物线 2 3 2 y = ax - x + 的顶点是 （ ， ） a - a 1 3 1
当a≠0时,横坐标一≠0,即(0,3)不是抛物线的顶点 (3)①的推广 若b、c是常数,对任意的实数a≠0,抛物线y=ax2+bx+c的顶点在,bx+C上 当a=1时,则y=x2+bx+c的顶点为/、b4c-b2 当a=-1时,则y=-x2+bx+c的顶点为(b,4c+b 将它们代入y=kx+m得: 4C-6 b 解得: -k+m m=c 则直线为y=x+C 事实上,当x=-b时 y=·(-)+C= 即抛物线顶点(-b,4acb)在直线y=2x+c上 ②的推广 猜想:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),将其顶点的横坐标增加或减少一,纵坐标增加一,所得到的两个 点一定仍在抛物线上 证明:抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(-b,4c-b 将其横坐标增加或减少一,纵坐标增加一,得到
当 a ≠0 时，横坐标 0 1 ≠ a ，即（0，3）不是抛物线的顶点. （3）①的推广 若 b 、 c 是常数，对任意的实数 a 0 ，抛物线 2 y ax bx c = + + 的顶点在直线 2 b y x c = + 上. 当 a =1 时，则 2 y x bx c = + + 的顶点为 2 4 , 2 4 b c b − − 当 a =−1 时，则 2 y x bx c = − + + 的顶点为 2 4 b , 2 4 b c + 将它们代入 y kx m = + 得： 2 2 4 4 2 4 4 2 c b b k m c b b k m − = − + + = + 解得： 2 b k m c = = 则直线为 2 b y c = + . 事实上，当 2 b x a = − 时 2 2 4 ( ) 2 2 4 4 b b b ac b y c c a a a − = • − + = − + = 即抛物线顶点 2 4 - ) 2 4 b ac b a a （- ， 在直线 2 b y x c = + 上. ②的推广 猜想：抛物线 y = ax + bx + c 2 （a ≠0) ，将其顶点的横坐标增加或减少 a 1 ，纵坐标增加 a 1 ，所得到的两个 点一定仍在抛物线上. 证明：抛物线 2 y ax bx c = + + 的顶点坐标为 2 4 ) 2 4 b ac b a a − （- ， . 将其横坐标增加或减少 1 a ，纵坐标增加 1 a ，得到