解题技巧专题:圆中辅助线的作法 -形成思维模式,快速解题 ◆类型一遇弦添加弦心距或半径 1.如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB于点E若AB=24,OE=5,则⊙O的半 径为() A.15B.13C.12D.10 48 第1题图第2题图 2.如图,一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动,当刻度尺的一边与光盘相切时, 另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10(单位:cm),那么该光盘的直径是 3.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠B=60°,⊙O的半径为4,求AC的长 ◆类型二遇直径添加直径所对的圆周角 4如图,CD是⊙O的直径,已知∠1=30°,则∠2的度数为() C.60°D.70 第4题图 第5题图 5.如图,BC为半圆O的直径,A,D为半圆上两点,AB=√3,BC=2,则∠D的度 数为度 6.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交AB于点D,交BC于点E (1)求证:BE=CE;
解题技巧专题：圆中辅助线的作法 ——形成思维模式，快速解题 ◆类型一 遇弦添加弦心距或半径 1．如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD⊥AB 于点 E.若 AB＝24，OE＝5，则⊙O 的半 径为( ) A．15 B．13 C．12 D．10 第 1 题图 第 2 题图 2．如图，一个宽为 2cm 的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时， 另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位：cm)，那么该光盘的直径是 ________cm. 3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B＝60°，⊙O 的半径为 4，求 AC 的长． ◆类型二 遇直径添加直径所对的圆周角 4．如图，CD 是⊙O 的直径，已知∠1＝30°，则∠2 的度数为( ) A．30° B．45° C．60° D．70° 第 4 题图 第 5 题图 5．如图，BC 为半圆 O 的直径，A，D 为半圆上两点，AB＝ 3，BC＝2，则∠D 的度 数为________度． 6．如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E. (1)求证：BE＝CE；
(2)若∠B=70°,求DE的度数 (3)若BD=2,BE=3,求AC的长 ◆类型三遇切线连接圆心和切点 7.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,过C点的切线与AB的延长线交于P 点,若∠P=40°,则∠D的度数为 8.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F G三点,过点D作⊙O的切线交BC于点M,切点为N,求DM的长
(2)若∠B＝70°，求DE ︵ 的度数； (3)若 BD＝2，BE＝3，求 AC 的长． ◆类型三 遇切线连接圆心和切点 7．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 是直径，过 C 点的切线与 AB 的延长线交于 P 点，若∠P＝40°，则∠D 的度数为________． 8．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC 分别与⊙O 相切于 E，F， G 三点，过点 D 作⊙O 的切线交 BC 于点 M，切点为 N，求 DM 的长．
参考答案与解析 1.B2.10 3.解:连接OA,OC,过点O作OD⊥AC于点D.OA=OC,OD⊥AC,∴∠AOD ∠COD=∠AOC又∵∠AOC=2∠B,∴∠COD=∠B=60°在Rt△COD中,OC=4,∠COD =60°,∴CD= OC.sin∠COD=23,∴AC=2CD=43 4.C5.150 6.(1)证明:连接AE∴AC为⊙O的直径,∴∠AEC=90°,∴AE⊥BC∴AB=AC,∴BE CE (2)解:连接OD,OE在Rt△ABE中,∠BAE=90°∠B=90-70°=20°,∴∠DOE= 2∠DAE=40°,∴DE的度数为40° (3)解:连接CD由(1)可知BE=CE,∴BC=2BE=6设AB=AC=x,则AD=AB-BD x-2.∵C为⊙O的直径,∴∠ADC=90°在R△BCD中,CD2=BC2一BD2=62-22=32 在Rt△ADC中,AD2+CD2=AC,即(x-2)2+32=x2,解得x=9,即AC的长为9 8.解:连接OE,OF,ON,OG.∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=90°,CD=AB 4∴∵AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点,∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO 90°,OE=OF=OG,∴四边形AFOE,FBCO是正方形,∴AF=BF=AE=BG=2,∴DE 3∴DM是⊙O的切线,∴DN=DE=3,MN=MG,∴CM=BC-BG-MG=5-2-MN 3-MN在R△DMC中,DM=CD2+CM,∴(3+MN)2=42+(3-MN)2,∴MN=,∴DM
参考答案与解析 1．B 2.10 3．解：连接 OA，OC，过点 O 作 OD⊥AC 于点 D.∵OA＝OC，OD⊥AC，∴∠AOD＝ ∠COD＝ 1 2 ∠AOC.又∵∠AOC＝2∠B，∴∠COD＝∠B＝60°.在 Rt△COD 中，OC＝4，∠COD ＝60°，∴CD＝OC·sin∠COD＝2 3，∴AC＝2CD＝4 3. 4．C 5.150 6．(1)证明：连接 AE.∵AC 为⊙O 的直径，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC.∵AB＝AC，∴BE ＝CE. (2)解：连接 OD，OE.在 Rt△ABE 中，∠BAE＝90°－∠B＝90°－70°＝20°，∴∠DOE＝ 2∠DAE＝40°，∴DE ︵ 的度数为 40°. (3)解：连接 CD.由(1)可知 BE＝CE，∴BC＝2BE＝6.设 AB＝AC＝x，则 AD＝AB－BD ＝x－2.∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC＝90°.在 Rt△BCD 中，CD2＝BC2－BD2＝6 2－2 2＝32. 在 Rt△ADC 中，AD2＋CD2＝AC2，即(x－2)2＋32＝x 2，解得 x＝9，即 AC 的长为 9. 7．115° 8．解：连接 OE，OF，ON，OG.∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，CD＝AB ＝4.∵AD，AB，BC 分别与⊙O 相切于 E，F，G 三点，∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO ＝90°，OE＝OF＝OG，∴四边形 AFOE，FBGO 是正方形，∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，∴DE ＝3.∵DM 是⊙O 的切线，∴DN＝DE＝3，MN＝MG，∴CM＝BC－BG－MG＝5－2－MN ＝3－MN.在 Rt△DMC 中，DM2＝CD2＋CM2，∴(3＋MN) 2＝4 2＋(3－MN) 2，∴MN＝ 4 3 ，∴DM ＝3＋ 4 3 ＝ 13 3