类比归纳专题:切线证明的常用方法 -弄清不同条件下证明方式,体会异同 ◆类型一有切点型:连半径,证垂直 、利用角度转换证垂直 1.(2017·肥城市二模)如图,等边△ABC中,点O在边AB上,⊙O过点B且分别与边 B、BC交于点D、E,F是AC上的点,下列说法错误的是() A.若EF⊥AC,则EF是⊙O的切线 B.若EF是⊙O的切线,则EF⊥AC C.若BE=EC,则AC是⊙O的切线 EC,则AC是⊙O的切线 2.(2017景德镇二模)如图,R△ABC中,∠C=90°,点O是AB边上一点,以OA为 半径作⊙O与边AC交于点D,连接BD,若∠DBC=∠A,求证:BD是⊙O的切线.【方 法10③】 3.如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,C两点且与BC边交于点 点D为CE的下半圆弧的中点,连接AD交线段EO于点F,若AB=BF求证:AB是⊙O 的切线.【方法10③】
类比归纳专题：切线证明的常用方法 ——弄清不同条件下证明方式，体会异同 ◆类型一 有切点型：连半径，证垂直 一、利用角度转换证垂直 1．(2017·肥城市二模)如图，等边△ABC 中，点 O 在边 AB 上，⊙O 过点 B 且分别与边 AB、BC 交于点 D、E，F 是 AC 上的点，下列说法错误的是( ) A．若 EF⊥AC，则 EF 是⊙O 的切线 B．若 EF 是⊙O 的切线，则 EF⊥AC C．若 BE＝EC，则 AC 是⊙O 的切线 D．若 BE＝ 3 2 EC，则 AC 是⊙O 的切线 2．(2017·景德镇二模)如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 O 是 AB 边上一点，以 OA 为 半径作⊙O 与边 AC 交于点 D，连接 BD，若∠DBC＝∠A，求证：BD 是⊙O 的切线．【方 法 10③】 3．如图，以△ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过 A，C 两点且与 BC 边交于点 E，点 D 为 CE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交线段 EO 于点 F，若 AB＝BF.求证：AB 是⊙O 的切线．【方法 10③】
利用全等证垂直 4.如图,AB是⊙O的直径,PB与⊙O相切于点B,弦AC∥OP,PC交BA的延长线 于点D,求证:PD是⊙O的切线.【方法10③】 ◆类型二无切点型:作垂直,证半径 5.如图,在R1△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线交BC于点O,OC=1,以 点O为圆心、OC为半径作半圆.求证:AB为⊙O的切线
二、利用全等证垂直 4．如图，AB 是⊙O 的直径，PB 与⊙O 相切于点 B，弦 AC∥OP，PC 交 BA 的延长线 于点 D，求证：PD 是⊙O 的切线．【方法 10③】 ◆类型二 无切点型：作垂直，证半径 5．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 O，OC＝1，以 点 O 为圆心、OC 为半径作半圆．求证：AB 为⊙O 的切线．
参考答案与解析 1.C解析:连接OE,则OB=OE∴∠B=60°,∴∠BOE=60°∠BAC=60°,∴∠BOE ∠BAC,∴OE∥AC.∴EF⊥AC,∴OE⊥EF,∴EF是⊙O的切线,∴A选项正确.∵EF 是⊙O的切线,OE⊥EF又OE∥AC,∴AC⊥EF,∴B选项正确.过O作OH⊥AC于H, ∠B=60°,OB=OE,∴BE=OB.∵BE=CE,∴BC=AB=2BO,∴AO=OB.∴∠BAC= 60°,∴OH=3A0≠OB,∴C选项错误.∵BE=YEC,∴CE=2yBE∴AB=BC,BO= BE,∴AO=CE 20=OB,∴AC是⊙O的切线,∴D选项正确.故选 2.证明:连接OD.∵OA=OD,∴∠A=∠ADO∵∠C=90°,∴∠CBD+∠CDB=90° 又∵∠CBD=∠A,∴∠ADO+∠CDB=90°,∴∠ODB=180°—(∠ADO+∠CDB)= 90°∴BD是⊙O的切线 3.证明:连接OA,OD点D为CE的下半圆弧的中点,∴∠EOD=90°,∴∠D+∠OFD 0°∵AB=BF,OA=OD,∴∠BAF=∠BEA,∠OAD=∠D又∵∠BFA=∠OFD,∴∠OAD +∠BAF=∠D+∠OFD=90°,即∠OAB=90°,∴OA⊥AB,∴AB是⊙O的切线. 4.证明:如图,连接OC∴AC∥OP,∴∠1=∠2,∠3=∠4∵OA=OC,∴∠1 OC=OB ∠3∴∠2=∠4∵在△POC与△POB中,1∠2=∠4,∴△POC≌△ POB(SAS),∠PCO =∠ PBO. PB切⊙O于点B,AB是⊙O的直径,∴∠PBO=90°,∴∠PCO=90°,∴PC 与⊙O相切. 5.证明:过点O作OM⊥AB于M∵∠ACB=90°,∴OC⊥AC又∵AO平分∠CAB, OM⊥AB,∴OM=OC,∴AB是⊙O的切线
参考答案与解析 1．C 解析：连接 OE，则 OB＝OE.∵∠B＝60°，∴∠BOE＝60°.∵∠BAC＝60°，∴∠BOE ＝∠BAC，∴OE∥AC.∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴EF 是⊙O 的切线，∴A 选项正确．∵EF 是⊙O 的切线，∴OE⊥EF.又 OE∥AC，∴AC⊥EF，∴B 选项正确．过 O 作 OH⊥AC 于 H， ∵∠B＝60°，OB＝OE，∴BE＝OB.∵BE＝CE，∴BC＝AB＝2BO，∴AO＝OB.∵∠BAC＝ 60°，∴OH＝ 3 2 AO≠OB，∴C 选项错误．∵BE＝ 3 2 EC，∴CE＝ 2 3 3 BE.∵AB＝BC，BO＝ BE，∴AO＝CE＝ 2 3 3 OB，∴OH＝ 3 2 AO＝OB，∴AC 是⊙O 的切线，∴D 选项正确．故选 C. 2．证明：连接 OD.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO.∵∠C＝90°，∴∠CBD＋∠CDB＝90°. 又∵∠CBD＝∠A ，∴∠ADO＋∠CDB ＝90°，∴∠ODB ＝180°－(∠ADO＋∠CDB) ＝ 90°.∴BD 是⊙O 的切线． 3．证明：连接 OA，OD.∵点 D 为 CE 的下半圆弧的中点，∴∠EOD＝90°，∴∠D＋∠OFD ＝90°.∵AB＝BF，OA＝OD，∴∠BAF＝∠BFA，∠OAD＝∠D.又∵∠BFA＝∠OFD，∴∠OAD ＋∠BAF＝∠D＋∠OFD＝90°，即∠OAB＝90°，∴OA⊥AB，∴AB 是⊙O 的切线． 4．证明：如图，连接 OC.∵AC∥OP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵OA＝OC，∴∠1＝ ∠3.∴∠2＝∠4.∵在△POC 与△POB 中， OC＝OB， ∠2＝∠4， OP＝OP， ∴△POC≌△POB(SAS)，∴∠PCO ＝∠PBO.∵PB 切⊙O 于点 B，AB 是⊙O 的直径，∴∠PBO＝90°，∴∠PCO＝90°，∴PC 与⊙O 相切． 5．证明：过点 O 作 OM⊥AB 于 M.∵∠ACB＝90°，∴OC⊥AC.又∵AO 平分∠CAB， OM⊥AB，∴OM＝OC，∴AB 是⊙O 的切线．