第1章直角三角形的边角关系 选择题(共10小题) 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8.下列四个选项,不正确的是() A.sinA=生 C. tanA D.cotA=生 2.在△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=1,则sinB的值是() C 2 3.已知a>45°,下列各式:tana、sina、cosa由小到大排列为 A.tana<sina<cosα B.cosa<tana<sinα C.cosa<sina<tanα D. sin a <cos a <tan a 4.在R△ABC中,∠C=90°,tanA=5,则cosA等于() 5 B C 12 13 5.如果sinA 那么锐角∠A的度数为() B.45 C.60° 6.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=1,c=√2,则∠A的废数为 A.30° C.50° 7.如图所示,在数轴上点A所表示献数x的范圈是 A.sin30°<xsin60° B.cos30° cos C.二tan30°<x<tan45° D,=cot45°<x<cot30° 8.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△AB的三个顶点均在格点上,则tnA的 值为 B C 9.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么cosa的值是()
第 1 章 直角三角形的边角关系 一．选择题（共 10 小题） 1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．下列四个选项，不正确的是（ ） A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝ 2．在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝1，则 sinB 的值是（ ） A． B． C． D． 3．已知 α＞45°，下列各式：tanα、sinα、cosα 由小到大排列为（ ） A．tanα＜sinα＜cosα B．cosα＜tanα＜sinα C．cosα＜sinα＜tanα D．sinα＜cosα＜tanα 4．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tanA＝ ，则 cosA 等于（ ） A． B． C． D． 5．如果 ，那么锐角∠A 的度数为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 6．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a＝1，c＝ ，则∠A 的度数为（ ） A．30° B．45° C．50° D．60° 7．如图所示，在数轴上点 A 所表示的数 x 的范围是（ ） A． sin30°＜x＜sin60° B．cos30°＜x＜ cos45° C． tan30°＜x＜tan45° D． cot45°＜x＜cot30° 8．如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则 tanA 的 值为（ ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，4），那么 cosα 的值是（ ）
3 B.生 C 生 10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,BC=3,AC=4,tan∠BCD的值为 C 3 生 5 4 二.填空题(共5小题) 1l1在R△AC中,∠C=90°,如果cos}=2,BC=4,那么AB的长为 12.在Rt△ABC中,∠C=90°,A=210,tan=1,那么BC= 13.在△ABC中,∠C=90°,如果sinA>cosA,那么∠A的度数范圈是 14.若30·<a<B<90·,则√(B-e09a)2-1csB-y31+1-a 15.在△ABC中,∠C=90°,已知tnA √5 则cosB的值等于 三.解答题(共5小题) 16.(1)在△AB中,∠B=45°,cos=1.求∠C的度数 2)在直角三角形ABC中,已知sinA=生,求tanA的值. 17.如图,点A(t,4)在第一象限,DA与x轴所夹的锐角为a,sina=2,求t的值
A． B． C． D． 10．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，BC＝3，AC＝4，tan∠BCD 的值为 （ ） A． B． C． D． 二．填空题（共 5 小题） 11．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，如果 cosB＝ ，BC＝4，那么 AB 的长为 ． 12．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2 ，tanA＝ ，那么 BC＝ ． 13．在△ABC 中，∠C＝90°，如果 sinA＞cosA，那么∠A 的度数范围是 ． 14 ．若 30 °＜α＜ β＜90 °，则 ﹣ +|1﹣cosα| ＝ ． 15．在△ABC 中，∠C＝90°，已知 tanA＝ ，则 cosB 的值等于 ． 三．解答题（共 5 小题） 16．（1）在△ABC 中，∠B＝45°，cosA＝ ．求∠C 的度数． （2）在直角三角形 ABC 中，已知 sinA＝ ，求 tanA 的值． 17．如图，点 A（t，4）在第一象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为 α，sinα＝ ，求 t 的值．
18.如图示,在△ABC中,AC=8,∠A=30°,∠B=45°,求△ABC的面积 19.图,直升飞机在隧道B上方A点处测得B、D两点的俯角分别为45°和31°,若飞机 此时飞行高度AC为1208m,且点CB、D在同一条直线上,求隧道BD的长,(精确到1m) (参考数据:sin31°≈0.52,co31°≈0.86,tan31°≈0.60) 20.速滑运动受到许多年轻人的喜爱.如图,四边形BCG是某速滑场馆建造的滑台,已知 CD∥BG,滑台的高DG为5米,且坡面BC的坡度为1:1.后来为了提高安全性,决定降 低坡度,改邊后的新坡面AC的坡度为1:√3. (1)求新坡面AC的坡角及AC的长; (2)原坡面底部BG的正前方10米处(BB=10)是护墙B,为保证安全,体育管理部 门规定,披面底部至少距护墙7米.请问新的设计方案能否通过,试说明理由(参考数 据:√3≈1.73)
18．如图示，在△ABC 中，AC＝8，∠A＝30°，∠B＝45°，求△ABC 的面积． 19．图，直升飞机在隧道 BD 上方 A 点处测得 B、D 两点的俯角分别为 45°和 31°．若飞机 此时飞行高度 AC 为 1208m，且点 C、B、D 在同一条直线上，求隧道 BD 的长．（精确到 1m） （参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60） 20．速滑运动受到许多年轻人的喜爱．如图，四边形 BCDG 是某速滑场馆建造的滑台，已知 CD∥EG，滑台的高 DG 为 5 米，且坡面 BC 的坡度为 1：1．后来为了提高安全性，决定降 低坡度，改造后的新坡面 AC 的坡度为 ． （1）求新坡面 AC 的坡角及 AC 的长； （2）原坡面底部 BG 的正前方 10 米处（EB＝10）是护墙 EF，为保证安全，体育管理部 门规定，坡面底部至少距护墙 7 米．请问新的设计方案能否通过，试说明理由（参考数 据： ）
参考答案 选择题(共10小题) 1.解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8, cosA= 4 ..S1 故不正确的是选项A 故选:A. 2.解:根据勾殷定理可得: VAC+BC s 5 故选:B 3.解:设∠A=a>45°,∠C=90°, ∴∠B=90°-∠Ab tan a >sin a >cos a, 故选:C 4.解:如图 设BC=5 tand=_5 AC=12X. AB-
参考答案 一．选择题（共 10 小题） 1．解：∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8， ∴BC＝6， ∴sinA＝ ，cosA＝ ，tanA＝ ，cotA＝ ． 故不正确的是选项 A． 故选：A． 2．解：根据勾股定理可得：AB＝ ＝ ＝ ， ∴sinB＝ ＝ ＝ ． 故选：B． 3．解：设∠A＝α＞45°，∠C＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠A＜45°＜∠A， ∴b＜a＜c， ∵tanα＝tanA＝ ，sinα＝sinA＝ ，cosα＝cosA＝ ， ∵ ＞ ＞ ， tanα＞sinα＞cosα， 故选：C． 4．解：如图： 设 BC＝5x， ∵tanA＝ ， ∴AC＝12x，AB＝ ＝13x
c4=AC=12x=12 AB 13x 13 故选:D 5.解:∵sin60 √3 ∠A=60°, 故选:C 6.解;∵Rt△ABC中,∠C=90 ∴∠A为锐角 在=1=√2, 故选:B 7.解:由数轴上A点的位置可知,三<A<2 A、由351500<x<sim0°可知,3×1<x√3,即3<x<3,故本透项错误 B.由c030·<x<36可知,<x<3x,即<x3,故本造项借 误 C、由三tan30°<x<tan45°可知,x3<x<1,即3<x<1,故本选项错误 D、由3t45·<x<cot80°可知,31<x<√3,即3<x<√3,故本选项正确 故选:D 8.解:如图所示: 由勾股定理得:AC=√32+42=5, 故选:D 9.解:作AB⊥x轴于B,如图
∴cosA＝ ＝ ＝ ． 故选：D． 5．解：∵sin60°＝ ， ∴∠A＝60°， 故选：C． 6．解：∵Rt△ABC 中，∠C＝90°， ∴∠A 为锐角． ∵sinA＝ ， ∴A＝45°． 故选：B． 7．解：由数轴上 A 点的位置可知， ＜A＜2． A、由 sin30°＜x＜sin60°可知， × ＜x＜ ，即 ＜x＜ ，故本选项错误； B、由 cos30°＜x＜ cos45°可知， ＜x＜ × ，即 ＜x＜ ，故本选项错 误； C、由 tan30°＜x＜tan45°可知， × ＜x＜1，即 ＜x＜1，故本选项错误； D、由 cot45°＜x＜cot30°可知， ×1＜x＜ ，即 ＜x＜ ，故本选项正确． 故选：D． 8．解：如图所示： 由勾股定理得：AC＝ ＝5， ∴tanA＝ ＝ ； 故选：D． 9．解：作 AB⊥x 轴于 B，如图
∵点A的坐标为(3,4), ∴OB=3,AB=4, 04=√32+42=5 在Rt△AOB中,cosa=0B=3 OA 5 故选:C 10.解:∵∠ACB=90°, ∠A∠B=90°, CD⊥AB ∴∠BC∠B=90° ∠BCD=∠A, tan∠BC=tan∠A= 故选:A 二.填空题(共5小题) 11.解:如图: ∵在Rt△ABC中,cosB=BC=2,且BC=4, ∴AB=BC=4=6, osB 故答案为:6 12.解:∵Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=, 可设BC=a,AC=3a
∵点 A 的坐标为（3，4）， ∴OB＝3，AB＝4， ∴OA＝ ＝5， 在 Rt△AOB 中，cosα＝ ＝ ． 故选：C． 10．解：∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD+∠B＝90°， ∴∠BCD＝∠A， ∴tan∠BCD＝tan∠A＝ ＝ ， 故选：A． 二．填空题（共 5 小题） 11．解：如图： ∵在 Rt△ABC 中，cosB＝ ＝ ，且 BC＝4， ∴AB＝ ＝ ＝6， 故答案为：6． 12．解：∵Rt△ABC 中，∠C＝90°，tanA＝ ， ∴可设 BC＝a，AC＝3a
∴a2+(3a)2=(210)2, 解得a=2 故答案为:2 13.解:在△ABC中,∠C=90°, sinA>cosA, ∴∠A的度数范围是45°<∠A<90°, 故答案为:45°<∠A<90° 14.解:∵30°<α<B<90°, ∴cosB<cosα,cosβ √3 ∴原式=|cosB-cosa|+osB-y5+1-cosa=-cosB+osa+cosB cos a 故答案为:1 15.解:如图 设AC=2x, tand= √5 BC ∴AB=3, CosB==V5 ab 3 故答案为:y5 三.解答题(共5小题)
∵BC 2 +AC 2＝AB 2， ∴a 2 +（3a） 2＝（2 ） 2， 解得 a＝2， ∴BC＝2， 故答案为：2． 13．解：在△ABC 中，∠C＝90°， ∵sinA＞cosA， ∴∠A 的度数范围是 45°＜∠A＜90°． 故答案为：45°＜∠A＜90°． 14．解：∵30°＜α＜β＜90°， ∴cosβ＜cosα，cosβ＜ ． ∴原式＝|cosβ﹣cosα|+cosβ﹣ +1﹣cosα＝﹣cosβ+cosα+cosβ﹣ +1﹣ cosα＝1﹣ ． 故答案为：1﹣ ． 15．解：如图， 设 AC＝2x， ∵tanA＝ ，∴BC＝ x， ∴AB＝3， ∴cosB＝ ＝ ， 故答案为： ． 三．解答题（共 5 小题）
16.解:(1)∵在△ABC中,cosA= ∠A=60 ∵∠B=45°, ∠C=180°-∠B-∠A=75°; (2):sin=BC=4, 设BC=4x,AB=5x, ∴AC=3x, BC 4x4 AC 3x 3 17.解:过A作AB⊥x轴于B sin d sina=≤, OA ∵A(t,4), AB=4, ∴OA=6, t=2√5 18.解:如图, B 过点C作CD⊥AB垂足为D 在Rt△ACD中,AC=8,∠A=30°, ∵C=4,AD
16．解：（1）∵在△ABC 中，cosA＝ ， ∴∠A＝60°， ∵∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝75°； （2）∵sinA＝ ＝ ， 设 BC＝4x，AB＝5x， ∴AC＝3x， ∴tanA＝ ＝ ＝ ． 17．解：过 A 作 AB⊥x 轴于 B． ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵A（t，4）， ∴AB＝4， ∴OA＝6， ∴ ． 18．解：如图， 过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D， 在 Rt△ACD 中，AC＝8，∠A＝30°， ∴CD＝4，AD＝4 ．
在Rt△BCD中,CD=4,∠B=45°, AB=4+43, =1×4x(4+3 答:△ABC的面积为8+83 19.解:∵∠BAD=31°,∠B=45 ∠ABC=45°,∠ADC=31 在Rt△ACD中,∵∠ACD=90°,∠ADC=31°,AC=1208m AC 1208 2013.3m tan∠PA0tan31 在Rt△ACB中,∵∠ACD=90°,∠ABC=45°,AC=1208 ∴BC=AC=1208m ∴BD=CD-BC≈2013.3-1208≈805(m) 答:隧道BD的长约为805m 20.解:(1)如图,过点C作O⊥BG垂足为B, ∵新坡面AC的坡度为1:√3, tan∠CA= ∠CAF=30°,即新坡面AC的坡角为30 ∴AC=2CF=10米; (2)新的设计方案不能通过, 理由如下:∵披面BC的坡度为1:1, BHECi=5 tan∠cAH √3, AB=53- AB=B-AB=10-(5√3-5)=15-53≈6.35<7, 新的设计方案不能通过
在 Rt△BCD 中，CD＝4，∠B＝45°， ∴BD＝CD＝4， ∴AB＝4+4 ， ∴S△ABC＝ AB•CD ＝ ×4×（4+4 ） ＝8+8 ． 答：△ABC 的面积为 8+8 ． 19．解：∵∠EAD＝31°，∠β＝45°， ∴∠ABC＝45°，∠ADC＝31°． 在 Rt△ACD 中，∵∠ACD＝90°，∠ADC＝31°，AC＝1208m， ∴CD＝ ＝ ≈2013.3m， 在 Rt△ACB 中，∵∠ACD＝90°，∠ABC＝45°，AC＝1208m， ∴BC＝AC＝1208m， ∴BD＝CD﹣BC≈2013.3﹣1208≈805（m）． 答：隧道 BD 的长约为 805m． 20．解：（1）如图，过点 C 作 CH⊥BG，垂足为 H， ∵新坡面 AC 的坡度为 1： ， ∴tan∠CAH＝ ＝ ， ∴∠CAH＝30°，即新坡面 AC 的坡角为 30°， ∴AC＝2CH＝10 米； （2）新的设计方案不能通过． 理由如下：∵坡面 BC 的坡度为 1：1， ∴BH＝CH＝5， ∵tan∠CAH＝ ， ∴AH＝ CH＝5 ， ∴AB＝5 ﹣5， ∴AE＝EB﹣AB＝10﹣（5 ﹣5）＝15﹣5 ≈6.35＜7， ∴新的设计方案不能通过．
A H