九年级下期中测试卷(二) 一.选择题(共8小题,每题3分) 1.下列函数中,是二次函数的为() y=x(x+1)+1(1-2x2)B.y=x2C.y=2x2+x2+1D.y=3x 2.下列结论正确的是() A.二次函数中两个变量的值是非零实数 B.二次函数中变量x的值是所有实数 C.形如y=ax2+bx+c的函数叫二次函数 D.二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的值均不能为零 3二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象为( A B 4.抛物线y=(x-4)2+3的顶点坐标是() A.(4,-3)B.(-4,-3)C.(4,3)D.(-4,3) 5.直角三角形两直角边之和为定值,其面积S与一直角边x之间的函数关系大致图象是下列中的 B 6.如果抛物线y=x2-(k-1)x-k-1与x轴的交点为A、B,顶点C,那么三角形ABC的面积的最小值是( A.1B.2C.3D.4 7.如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点P,CD=10cm,AP:PB=1:5,那么⊙O的半径是() O A 6cm B 35m C 8cm D 53 8.下列叙述中,正确的是() A.垂直于弦的直径平分这条弦 B.三点确定一个圆 C.两点之间的线段叫两点间的距离 D.等腰三角形的高、角平分线、中线互相重合 填空题(共6小题,每题3分)
九年级下期中测试卷（二） 一．选择题（共 8 小题，每题 3 分） 1．下列函数中，是二次函数的为（ ） A．y=x（x+1）+ （1﹣2x2） B．y=x2 C．y=2x3+x2+1 D．y=33x﹣1 2．下列结论正确的是（ ） A．二次函数中两个变量的值是非零实数 B．二次函数中变量 x 的值是所有实数 C．形如 y=ax2+bx+c 的函数叫二次函数 D．二次函数 y=ax2+bx+c 中 a，b，c 的值均不能为零 3.二次函数 y=ax2 与一次函数 y=ax+a 在同一坐标系中的大致图象为（ ） A． B． C． D． 4．抛物线 y=（x﹣4）2+3 的顶点坐标是（ ） A．（4，﹣3） B．（﹣4，﹣3） C．（4，3） D．（﹣4，3） 5．直角三角形两直角边之和为定值，其面积 S 与一直角边 x 之间的函数关系大致图象是下列中的（ ） A． B． C． D． 6．如果抛物线 y=x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣1 与 x 轴的交点为 A、B，顶点 C，那么三角形 ABC 的面积的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 P，CD=10cm，AP：PB=1：5，那么⊙O 的半径是（ ） A．6cm B．3 m C．8cm D．5 8．下列叙述中，正确的是（ ） A．垂直于弦的直径平分这条弦[来源:学§科§网 Z§X§X§K] B．三点确定一个圆 C．两点之间的线段叫两点间的距离 D．等腰三角形的高、角平分线、中线互相重合 二．填空题（共 6 小题，每题 3 分）
9.如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,∠BOD=90°,则∠BCD= 10.如图,已知AB是⊙O的直径,ADOC,弧AD的度数为80°,则∠BOC=_ 1.如图,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,则∠ABO-1∠ABP= O 12.如图,AB切⊙O于C,AO交⊙O于D,AO的延长线交⊙O于E,若∠A=α,则∠ECB (用 B 13.如图:EB、EC是⊙O的两条切线,B、C是切点,A、D是⊙O上两点,如果∠E=46°,∠DCF=32°,则∠A 14.如图,将正方形ABCD中的ΔABP绕点B顺时针旋转能与△CBP重合,若BP=4,则点P所走过的路径长为 三.解答题(共10小题)
9．如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠BOD=90°，则∠BCD= _________ 度． 10．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AD∥OC，弧 AD 的度数为 80°，则∠BOC= _________ 度． 11．如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 为切点，则∠ABO﹣ ∠ABP= _________ ． 12．如图，AB 切⊙O 于 C，AO 交⊙O 于 D，AO 的延长线交⊙O 于 E，若∠A=α，则∠ECB= _________ （用 含 α 的式子表示）． 13．如图：EB、EC 是⊙O 的两条切线，B、C 是切点，A、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A 的度数是 _________ 度． 14．如图，将正方形 ABCD 中的△ABP 绕点 B 顺时针旋转能与△CBP′重合，若 BP=4，则点 P 所走过的路径长为 _________ ． 三．解答题（共 10 小题）
15.(6分)已知y=(m2+m)xm2m4+(m-3)x+m2是x的二次函数,求出它的解析式 6.(6分)如图所示,等边三角形ABC的边长为a,分别以点A,B,C为圆心,以三为半径的圆两两相切于点D E,F,求DE,EF,FD围成的图形面积S(图中阴影部分) ·C 17.(6分)如图,C、D是以AB为直径的半圆上的三等分点,且半径长为6,CD是弦,求图中阴影部分面积 18.(8分)已知在R△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的角平分线,⊙O经过A、D两点且圆心O在AB上.求 19.(8分)已知:△ABC内接于⊙O,过点B作直线EF,AB为非直径的弦,且∠CBF=∠A (1)求证:EF是⊙O的切线: (2)若/A=30°·BC=2,连接OC并延长交EF于点M,求由弧BC、线段BM和CM所围成的图形的面积 B 20(8分).如图,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆的直径,且AB=9,AC=6,AE=15,求AD的长 21.(8分)已知⊙O的半径为5,△ABC是⊙O的内接三角形,AD是△ABC的高,且AC=4
15．（6 分）已知 是 x 的二次函数，求出它的解析式． 16．（6 分）如图所示，等边三角形 ABC 的边长为 a，分别以点 A，B，C 为圆心，以 为半径的圆两两相切于点 D， E，F，求 ， ， 围成的图形面积 S（图中阴影部分）． 17．（6 分）如图，C、D 是以 AB 为直径的半圆上的三等分点，且半径长为 6，CD 是弦，求图中阴影部分面积． 18．（8 分）已知在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的角平分线，⊙O 经过 A、D 两点且圆心 O 在 AB 上．求 证：BC 为⊙O 的切线． 19．（8 分）已知：△ABC 内接于⊙O，过点 B 作直线 EF，AB 为非直径的弦，且∠CBF=∠A． （1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）若∠A=30°，BC=2，连接 OC 并延长交 EF 于点 M，求由弧 BC、线段 BM 和 CM 所围成的图形的面积． 20（8 分）．如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径，且 AB=9，AC=6，AE=15，求 AD 的长． 21．（8 分）已知⊙O 的半径为 5，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是△ABC 的高，且 AC=4．
(1)求sinB的值; (2)若AB=6,求AD的长 22.(8分)如图,设二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,若AC=8,BC=6,∠ACB=90°, 23.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AC向C以2mm/s 的速度移动,动点Q从点C开始沿边CB向B以4mm/s的速度移动.如果P、Q两点同时出发,那么△PCQ的面 写出函数关系式及t的取值范围. 24(10分).已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(2,0)、C(0,2)三点 (1)求这条抛物线的解析式; (2)如图,点P是第一象限内抛物线上的一个动点,若点P使四边形ABPC的面积最大,求点P的坐标
（1）求 sinB 的值； （2）若 AB=6，求 AD 的长． 22．（8 分）如图，设二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，若 AC=8，BC=6，∠ACB=90°， 求这个二次函数的解析式． 23．（10 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=12mm，BC=24mm，动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向 C 以 2mm/s 的速度移动，动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向 B 以 4mm/s 的速度移动．如果 P、Q 两点同时出发，那么△PCQ 的面 积 S 随出发时间 t 如何变化？写出函数关系式及 t 的取值范围． 24（10 分）．已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图，点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点，若点 P 使四边形 ABPC 的面积最大，求点 P 的坐标．
参考答案与试题解析 选择题(共8小题) 1.下列函数中,是二次函数的为() y=x(x+1)+(1 C.y=2x3+x2+1D.y=3x 考点 二次函数的定义 分析: 首先把二次函数整理成一般形式,再利用定义解答 解答: 解:A、y=(x+1)+1(1-2x2)=x+1,是一次函数,错误: B、y=x2是二次函数,正确 x3+x2+1,含x的三次方,不是二次函数,错误 D、y=3x-1,是一次函数,错误.故选B 点评: 解题关键是掌握二次函数的定义 2.下列结论正确的是() A.二次函数中两个变量的值是非零实数 B.二次函数中变量x的值是所有实数 C.形如y=ax2+bx+c的函数叫二次函数 D.二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的值均不能为零 考点 二次函数的定义 分析: 根据二次函数定义:形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a0)的函数叫做x的二次函数就可以解 答 解答: 解:A、例如y=x2,自变量取0,函数值是0,所以不对 B、二次函数中变量x的值可以取所有实数,正确 C、应强调当a≠0时,是二次函数,错误 D、要求a#0,b、c可以为0. 故选B 点评: 本题考査二次函数的概念和各系数的取值范围. 3.二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象为() 考点 二次函数的图象:一次函数的图象 分析 根据a的符号分类,a>0时,在A、B中判断一次函数的图象是否相符,a0时,二次函数y=ax2的开口向上,一次函数y=ax+a的图象经过第一、二、三象限, 排除A、B: ②当a<0时,二次函数y=ax2的开口向下,一次函数y=ax+a的图象经过第二、三、四象限,排除D 故选C
参考答案与试题解析 一．选择题（共 8 小题） 1．下列函数中，是二次函数的为（ ） A． y=x（x+1）+ （1﹣2x2） B．y=x2 C．y=2x3+x2+1 D． y=33x﹣1 考点： 二次函数的定义．菁优网版权所有 分析： 首先把二次函数整理成一般形式，再利用定义解答． 解答： 解：A、y=x（x+1）+ （1﹣2x2）=x+ ，是一次函数，错误： B、y=x2 是二次函数，正确；[来源:Zx x k.Co m] C、y=2x3+x2+1，含 x 的三次方，不是二次函数，错误； D、y=33x﹣1，是一次函数，错误．故选 B． 点评： 解题关键是掌握二次函数的定义． 2．下列结论正确的是（ ） A． 二次函数中两个变量的值是非零实数 B． 二次函数中变量 x 的值是所有实数 C． 形如 y=ax2+bx+c 的函数叫二次函数 D． 二次函数 y=ax2+bx+c 中 a，b，c 的值均不能为零 考点： 二次函数的定义．菁优网版权所有 分析： 根据二次函数定义：形如 y=ax2+bx+c （a、b、c 是常数，a≠0）的函数叫做 x 的二次函数就可以解 答． 解答： 解：A、例如 y=x2，自变量取 0，函数值是 0，所以不对； B、二次函数中变量 x 的值可以取所有实数，正确； C、应强调当 a≠0 时，是二次函数，错误； D、要求 a≠0，b、c 可以为 0． 故选 B． 点评： 本题考查二次函数的概念和各系数的取值范围． 3．二次函数 y=ax2 与一次函数 y=ax+a 在同一坐标系中的大致图象为（ ） A． B． C． D． 考点： 二次函数的图象；一次函数的图象．菁优网版权所有 分析： 根据 a 的符号分类，a＞0 时，在 A、B 中判断一次函数的图象是否相符，a＜0 时，在 C、D 中进行 判断． 解答： 解：①当 a＞0 时，二次函数 y=ax2 的开口向上，一次函数 y=ax+a 的图象经过第一、二、三象限， 排除 A、B； ②当 a＜0 时，二次函数 y=ax2 的开口向下，一次函数 y=ax+a 的图象经过第二、三、四象限，排除 D． 故选 C．
点评: 利用二次函数的图象和一次函数的图象的特点求解 4.抛物线y=(x-4)2+3的顶点坐标是() (4,-3)B.(-4,-3)C.(4,3) (-4,3) 考点 二次函数的性质 专题 常规题型 分析 二次函数的顶点式为:y=a(x-h)2+k,其顶点坐标是(h,k),根据二次函数的顶点式可以写出顶 点坐标 故远C-4)2+3的顶点坐标为(4(x-h)2+k,顶点坐标为(h,k), 解答 解:∵二次函数的顶点式 点评 本题考查的是二次函数的性质,利用二次函数的顶点式,写出二次函数的顶点坐标 5.直角三角形两直角边之和为定值,其面积S与一直角边x之间的函数关系大致图象是下列中的() 二次函数的应用;二次函数的图象 分析 设直角三角形两直角边之和为a,其中一直角边为x,则另一直角边为(a-x).根据三角形面积公 式即可得到关系式,观察形式即可解答 解答: 解:设直角三角形两直角边之和为a,其中一直角边为x,则另一直角边为(a-x) 根据三角形面积公式则有 以上是二次函数的表达式,图象是一条抛物线,故选B 点评 考查了现实中的二次函数问题,考查了学生的分析、解决实际问题的能力 6.如果抛物线y=x2-(k-1)x-k-1与x轴的交点为A、B,顶点C,那么三角形ABC的面积的最小值是( 考点: 抛物线与x轴的交点;三角形的面积 分析 根据一元二次方程根与系数的关系,可以求得AB s/<2+5,再根据顶点的纵坐标 公式求得点C的纵坐标,显然要求三角形ABC的面积的最小值,即求k2+2k+5的最小值,从而求解 b2-4ac 解答 解:∵AB a k+5,点C的纵坐标是-(k2+2k+5) 三角形ABC的面积+25425 又k2+2k+5的最小值是4, 则三角形ABC的面积的最小值是 故选A
点评： 利用二次函数的图象和一次函数的图象的特点求解． 4．抛物线 y=（x﹣4）2+3 的顶点坐标是（ ） A． （4，﹣3） B．（﹣4，﹣3） C．（4，3） D． （﹣4，3） 考点： 二次函数的性质．菁优网版权所有 专题： 常规题型． 分析： 二次函数的顶点式为：y=a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），根据二次函数的顶点式可以写出顶 点坐标． 解答： 解：∵二次函数的顶点式：y=（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k）， ∴y=（x﹣4）2+3 的顶点坐标为（4，3）． 故选 C． 点评： 本题考查的是二次函数的性质，利用二次函数的顶点式，写出二次函数的顶点坐标． 5．直角三角形两直角边之和为定值，其面积 S 与一直角边 x 之间的函数关系大致图象是下列中的（ ） A． B． C D． 考点： 二次函数的应用；二次函数的图象．菁优网版权所有 分析： 设直角三角形两直角边之和为 a，其中一直角边为 x，则另一直角边为（a﹣x）．根据三角形面积公 式即可得到关系式，观察形式即可解答． 解答： 解：设直角三角形两直角边之和为 a，其中一直角边为 x，则另一直角边为（a﹣x）． 根据三角形面积公式则有： y= ax﹣ x 2， 以上是二次函数的表达式，图象是一条抛物线，故选 B． 点评： 考查了现实中的二次函数问题，考查了学生的分析、解决实际问题的能力． 6．如果抛物线 y=x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣1 与 x 轴的交点为 A、B，顶点 C，那么三角形 ABC 的面积的最小值是（ ） A． 1 B．2 C．3 D． 4 考点： 抛物线与 x 轴的交点；三角形的面积．菁优网版权所有 分析： 根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得 AB= = ，再根据顶点的纵坐标 公式求得点 C 的纵坐标，显然要求三角形 ABC 的面积的最小值，即求 k 2+2k+5 的最小值，从而求解． 解答： 解：∵AB= = ，点 C 的纵坐标是﹣ （k 2+2k+5）， ∴三角形 ABC 的面积= × × （k 2+2k+5）， 又 k 2+2k+5 的最小值是 4， 则三角形 ABC 的面积的最小值是 1． 故选 A．
点评 此题综合运用了坐标轴上两点间的距离公式、一元二次方程根与系数之间的关系以及二次函数的最 值问题 7.如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点P,CD=10cm,AP:PB=1:5,那么⊙O的半径是() O A. 6cm B.3 D.53 考点 垂径定理:勾股定理 专题 压轴题 分析 利用相交弦定理列出方程求解即可 解答: 解:设AP=x,则PB=5x,那么⊙O的半径是1(x+5x)=3x 弦CD⊥AB于卡P,CD=10cm PC=PD=CD=×10=5cm 由相交弦定理得CPPD=APPB 即5×5=x·5x 解得x=√5或x=-√5(舍去) 救的半径是3x=3y5m, 点评 本题较简单,考查的是相交弦定理,即圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等 8.下列叙述中,正确的是() A.垂直于弦的直径平分这条弦 B.三点确定一个圆 C.两点之间的线段叫两点间的距离 D.等腰三角形的高、角平分线、中线互相重合 考点 垂径定理;线段的性质:两点之间线段最短;等腰三角形的性质;确定圆的条件 分析 根据相关知识点逐一判断.注意:等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线三线合 解答: 解:A、正确,符合垂径定理 B、错误,不在同一直线上的三点确定一个圆 C、错误,两点之间线段的长叫两点间的距离 D、错误,等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线互相重合 故选A 点评: 此题考查的是垂径定理,确定圆的条件,两点之间距离的定义及等腰三角形的性质,同学们需细心 解答 二.填空题(共6小题) 9.如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,∠BOD=90°,则∠BCD=135度
点评： 此题综合运用了坐标轴上两点间的距离公式、一元二次方程根与系数之间的关系以及二次函数的最 值问题． 7．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 P，CD=10cm，AP：PB=1：5，那么⊙O 的半径是（ ） A． 6cm B．3 m C．8cm D． 5 考点： 垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有 专题： 压轴题． 分析： 利用相交弦定理列出方程求解即可． 解答： 解：设 AP=x，则 PB=5x，那么⊙O 的半径是 （x+5x）=3x ∵弦 CD⊥AB 于点 P，CD=10cm ∴PC=PD= CD= ×10=5cm 由相交弦定理得 CP•PD=AP•PB 即 5×5=x•5x 解得 x= 或 x=﹣ （舍去） 故⊙O 的半径是 3x=3 cm， 故选 B． 点评： 本题较简单，考查的是相交弦定理，即圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 8．下列叙述中，正确的是（ ） A． 垂直于弦的直径平分这条弦 B． 三点确定一个圆 C． 两点之间的线段叫两点间的距离 D． 等腰三角形的高、角平分线、中线互相重合 考点： 垂径定理；线段的性质：两点之间线段最短；等腰三角形的性质；确定圆的条件．菁优网版权所有 分析： 根据相关知识点逐一判断．注意：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线三线合一． 解答： 解：A、正确，符合垂径定理； B、错误，不在同一直线上的三点确定一个圆； C、错误，两点之间线段的长叫两点间的距离； D、错误，等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线互相重合． 故选 A． 点评： 此题考查的是垂径定理，确定圆的条件，两点之间距离的定义及等腰三角形的性质，同学们需细心 解答． 二．填空题（共 6 小题） 9．如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠BOD=90°，则∠BCD= 135 度．
考点 圆周角定理:圆内接四边形的性质 专题 压轴题 分析 根据圆周角定理可求出∠A的度粉,由于圆内接四边形的对角互补,可求出∠BCD的度数 解答: 解:根据圆周角定理,得:∠A=∠BOD=45°, 四边形ABCD是⊙O的内接四边形, ∠A+∠BCD=180°, 点D180-案题禁考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理的应用 10.如图,已知AB是⊙O的直径,ADOC,弧AD的度数为80°,则∠BOC=50度 考点 圆周角定理:平行线的性质 专题 计算题 分析 已知弧AD的度数为80°,连接OD,则∠AOD=80°;在等腰三角形AOD中,已知了顶角∠AOD的 度数,易求得底角∠A的度数:由于ADOC,且∠A和∠BOC是同位角,因此∠BOC=∠A,由此可求出∠BOC 数D中,O解=0接OD,则AOD8 ∠A=∠D=(180°-80°)÷2=50° ADIIOC, 本题考查圆心角和弧的关系、平行线的性质、圆周角定理等知识的应用 1.如图,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,则∠ABO-1∠ABP=3∠P-4
考点： 圆周角定理；圆内接四边形的性质．菁优网版权所有 专题： 压轴题． 分析： 根据圆周角定理可求出∠A 的度数，由于圆内接四边形的对角互补，可求出∠BCD 的度数． 解答： 解：根据圆周角定理，得：∠A= ∠BOD=45 °， ∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∴∠BCD=180°﹣45°=135°． 点评： 本题综合考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理的应用． 10.如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AD∥OC，弧 AD 的度数为 80°，则∠BOC= 50 度． 考点： 圆周角定理；平行线的性质．菁优网版权所有 专题： 计算题． 分析： 已知弧 AD 的度数为 80°，连接 OD，则∠AOD=80°；在等腰三角形 AOD 中，已知了顶角∠AOD 的 度数，易求得底角∠A 的度数；由于 AD∥OC，且∠A 和∠BOC 是同位角，因此∠BOC=∠A，由此可求出∠BOC 的度数． 解答： 解：连接 OD，则∠AOD=80°； 在△AOD 中，OA=OD； ∴∠A=∠D=（180°﹣80°）÷2=50°； ∵AD∥OC， ∴∠BOC=∠A=50°． 故答案为：50． 点评： 本题考查圆心角和弧的关系、平行线的性质、圆周角定理等知识的应用． 11．如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 为切点，则∠ABO﹣ ∠ABP= ∠P﹣45° ．
考点 弦切角定理:等腰三角形的性质 分析: 连接OA,在等腰△AOB中,2∠ABO+∠AOB=180°:由切线的性质,得:∠OAP=∠OBP=90°,因 此四边形OAPB中,∠P+∠AOB=180°:联立两式可得∠ABO=∠P①:在等腰△PAB中,∠ABP=(180° 跡立①②即可求出∠ABO-1∠ABP的值 解:连接OA 根据切线的性质定理得OB⊥BP、OA⊥AP, 则∠AOB+∠P=180° 又∠ABO1OAB+∠AOB=180°,∠OAB=∠ABO ∠ABO=∠P, 根据切线长定理得PA=PB 则∠PBA=∠PAB= 180°-∠P 因此∠ABO-∠ABP==∠P-45° 点评 此题综合考查了切线长定理、等边对等角、三角形的内角和定理、切线的性质定理以及四边形的内 角和定理 12.如图,AB切⊙O于C,AO交⊙O于D,AO的延长线交⊙O于E,若∠A=a,则∠ECB=_45°(用含α 的式子表示) 考点 弦切角定理;圆周角定理 专题: 压轴题 分析 由弦切角定理知:∠ECB=∠EDC,因此需连接CD,求∠EDC的表达式是解决本题的关键 由圆周角定理知:∠ECD=90°,因此∠EDC+∠E=90① 由于∠EDC是△ADC的外角,所以∠EDC=∠A+∠ACD②
考点： 弦切角定理；等腰三角形的性质．菁优网版权所有 分析： 连接 OA，在等腰△AOB 中，2∠ABO+∠AOB=180°；由切线的性质，得：∠OAP=∠OBP=90°，因 此四边形 OAPB 中，∠P+∠AOB=180°；联立两式可得∠ABO= ∠P…①；在等腰△PAB 中，∠ABP= （180°﹣ ∠联立P）①②…②；即可求出∠ABO﹣ ∠ABP 的值． 解答： 解：连接 OA， 根据切线的性质定理得 OB⊥BP、OA⊥AP， 则∠AOB+∠P=180°； 又∠ABO+∠OAB+∠AOB=180°，∠OAB=∠ABO， ∴∠ABO= ∠P， 根据切线长定理得 PA=PB， 则∠PBA=∠PAB= ， 因此∠ABO﹣ ∠ABP= ∠P﹣45°． 点评： 此题综合考查了切线长定理、等边对等角、三角形的内角和定理、切线的性质定理以及四边形的内 角和定理． 12．如图，AB 切⊙O 于 C，AO 交⊙O 于 D，AO 的延长线交⊙O 于 E，若∠A=α，则∠ECB= 45°+ （用含 α 的式子表示）． 考点： 弦切角定理；圆周角定理．菁优网版权所有 专题： 压轴题． 分析： 由弦切角定理知：∠ECB=∠EDC，因此需连接 CD，求∠EDC 的表达式是解决本题的关键． 由圆周角定理知：∠ECD=90°，因此∠EDC+∠E=90°①； 由于∠EDC 是△ADC 的外角，所以∠EDC=∠A+∠ACD②；
而∠ACD=∠E③:联立①②③即可求得∠EDC的表达式,由此得解 解答: 解:连接CD:则∠BCE=∠CDE,∠CDE+∠E=90° ∠A+∠ACD=∠CDE, a+∠ACD=∠CDE 又∵:∠ACD=∠E ∠E=90°-∠CDE=∠CDE-a ∴∠CDE=45°+ 故∠CDE=∠ECB=45° 点评: 解答此题的关键是连接CD构造出直角三角形,利用弦切角与圆周角定理解答 13.如图:EB、EC是⊙O的两条切线,B、C是切点,A、D是⊙O上两点,如果∠E=46°,∠DCF=32°,则∠A C 考点: 切线长定理;圆内接四边形的性质. 分析 根据切线长定理得EC=EB,则∠ECB=∠EBC=67°,再根结合内接四边形的对角互补得 解簪∠ECB+∠D(解67BB2°9喔⊙O的切线, EB=ec, 又∵:∠E=46°, ∠ECB=∠EBC=67°, ∴∠BCD=180°-(∠BCE+∠DCF)=180°-99°=81 四边形ADCB内接于⊙O ∴∠A+∠BCD=180°, ∴∠A=180°-81°=99 点评: 此题综合考查了切线长定理、圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理等 知识
而∠ACD=∠E③；联立①②③即可求得∠EDC 的表达式，由此得解． 解答： 解：连接 CD；则∠BCE=∠CDE，∠CDE+∠E=90°； ∵∠A+∠ACD=∠CDE， ∴α+∠ACD=∠CDE； 又∵∠ACD=∠E， ∴∠E=90°﹣∠CDE=∠CDE﹣α； ∴∠CDE=45°+ ； 故∠CDE=∠ECB=45°+ ． [来源:学科网 ZXXK] 点评： 解答此题的关键是连接 CD 构造出直角三角形，利用弦切角与圆周角定理解答． 13．如图：EB、EC 是⊙O 的两条切线，B、C 是切点，A、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A 的度数是 99 度． 考点： 切线长定理；圆内接四边形的性质．菁优网版权所有 分析： 根据切线长定理得 EC=EB，则∠ECB=∠EBC=67°，再根结合内接四边形的对角互补得 ∠解答： A=∠ECB+∠DCF=67 解：∵°EB+32、°=99 EC°是．⊙O 的切线， ∴EB=EC， 又∵∠E=46°， ∴∠ECB=∠EBC=67°， ∴∠BCD=180°﹣（∠BCE+∠DCF）=180°﹣99°=81°； ∵四边形 ADCB 内接于⊙O， ∴∠A+∠BCD=180°， ∴∠A=180°﹣81°=99°． 点评： 此题综合考查了切线长定理、圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理等 知识．