华东师大版九年级数学下册期中测试卷 、选择题(每小题3分,共30分) 1·下列二次函数:①y=2:②y=-2x2:③y=3x2+x+1:④y=-2x2-1,其中 开口向下且开口最大的是(D) 2·若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点的坐标是(-1,0),(5,0),则这条抛物线的 对称轴是直线(B) A 2 C.x=3 3·△ABC为⊙O的内接三角形,AB=AC,∠A=30°,则∠B为(B A·150 4·在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=80°,点O是△ABC的内心,则∠BOC的度数 是(B) A·105 B.115° D.130° 5将抛物线y=(x-1)2+3向左平移1个单位得到的抛物线与y轴的交点坐标是(B) B.(0,3) D.(0,7) 6·已知⊙O的周长等于8cm,则圆内接正方边形ABCD的边长为(C) 3 E 3 7·无论m为何实数,二次函数y=x2+(2-m)x+m的图象总过的点是(A) A·(1,3) B.(1,0) 8·如图,物体由两个圆锥组成,其主视图中,∠A=90°,∠ABC=105°,若上面圆锥的 侧面积为1,则下面圆锥的侧面积为(C) B 2 D C 第8题图 第9题图 9.如图,在矩形ABCD中,AB=2,点E在边AD上,∠ABE=45°,BE=DE,连结 BD,点P在线段DE上,过点P作PQ∥BD交BE于点Q,连结QD,设PD=x,△PQD的 面积为y,则能表示y与x函数关系的图象大致是(C) 22x C 10·如图所示,AB是⊙O的直径,⊙O交BC的中点于点D,DE⊥AC于点E,连结AD
华东师大版九年级数学下册期中测试卷 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列二次函数：①y＝ 1 3 x 2 ；②y＝－2x 2 ；③y＝3 3x 2＋x＋1；④y＝－ 2 4 x 2－1，其中 开口向下且开口最大的是( D ) A．① B．② C．③ D．④ 2．若抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴的公共点的坐标是(－1，0)，(5，0)，则这条抛物线的 对称轴是直线( B ) A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝－2 3．△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB ︵ ＝AC ︵ ，∠A＝30°，则∠B 为( B ) A．150° B．75° C．60° D．15 4．在△ABC 中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，点 O 是△ABC 的内心，则∠BOC 的度数 是( B ) A．105° B．115° C．120° D．130° 5．将抛物线 y＝(x－1)2＋3 向左平移 1 个单位，得到的抛物线与 y 轴的交点坐标是( B ) A．(0，2) B．(0，3) C．(0，4) D．(0，7) 6．已知⊙O 的周长等于 8π cm，则圆内接正方边形 ABCD 的边长为( C ) A．2 cm B．2 3 cm C．4 2 cm D．4 3 cm 7．无论 m 为何实数，二次函数 y＝x 2＋(2－m)x＋m 的图象总过的点是( A ) A．(1，3) B．(1，0) C．(－1，3) D．(－1，0) 8．如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的 侧面积为 1，则下面圆锥的侧面积为( C ) A．2 B. 3 C. 2 D.3 2 9．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，点 E 在边 AD 上，∠ABE＝45°，BE＝DE，连结 BD，点 P 在线段 DE 上，过点 P 作 PQ∥BD 交 BE 于点 Q，连结 QD，设 PD＝x，△PQD 的 面积为 y，则能表示 y 与 x 函数关系的图象大致是( C ) 10．如图所示，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交 BC 的中点于点 D，DE⊥AC 于点 E，连结 AD
则下列结论:①AD⊥BC;②∠EDA=∠B:③OA=AC;④DE是⊙O的切线正确的有(D 个 B.2个 C.3个 D.4个 D E 第10题图 第12题图 第14题图 二、填空题(每小题3分,共24分) 11二次函数y=2-x-3的图象的开口向上,对称轴是直线x=4,顶点坐标 是(,-3) 12·如图,在⊙O中,AB为直径,CD为弦,已知∠ACD=35°,则∠BAD=55度 13·飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间单位:s)的函数表达式是y=60 一2,在飞机着陆滑行中,最后4s滑行的距离是 14·如图,在残破的圆形工件上量得一条弦BC=8,BC的中点D到BC的距离ED=2 则这个圆形工件的半径是5 15·若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为V10 16·如图,BC是半圆O的直径,点D是半圆上一点,过点D作⊙O的切线AD,BA⊥ DA于A,BA交半圆于点E,已知BC=10,AD=4,那么直线CE与以点O为圆心,为半 径的圆的位置关系是相离_ D C C 第16题图 第17题图 第18题图 17·(河南中考)如图,在矩形ABCD中,BC=2,CD=5,以点B为圆心,BC的长为 半径作CE交AD于点E:以点A为圆心,AE的长为半径作EF交AB于点F,则图中阴影部分 的面积为S 18·如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标(1,n),与y轴的
则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝ 1 2 AC；④DE 是⊙O 的切线，正确的有( D ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题(每小题 3 分，共 24 分) 11．二次函数 y＝2x 2－x－3 的图象的开口向 上 ，对称轴是直线 x＝ 1 4 ，顶点坐标 是 1 4 ，－ 25 8 . 12．如图，在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，已知∠ACD＝35°，则∠BAD＝ 55 度． 13．飞机着陆后滑行的距离 y(单位：m)关于滑行时间 t(单位：s)的函数表达式是 y＝60t － 3 2 t 2，在飞机着陆滑行中，最后 4 s 滑行的距离是 24 m. 14．如图，在残破的圆形工件上量得一条弦 BC＝8，BC ︵ 的中点 D 到 BC 的距离 ED＝2， 则这个圆形工件的半径是 5 ． 15．若抛物线 y＝ax2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为 10 . 16．如图，BC 是半圆 O 的直径，点 D 是半圆上一点，过点 D 作⊙O 的切线 AD，BA⊥ DA 于 A，BA 交半圆于点 E，已知 BC＝10，AD＝4，那么直线 CE 与以点 O 为圆心， 5 2 为半 径的圆的位置关系是 相离 ． 17．(河南中考)如图，在矩形 ABCD 中，BC＝2，CD＝ 3，以点 B 为圆心，BC 的长为 半径作CE ︵ 交 AD 于点 E；以点 A 为圆心，AE 的长为半径作EF ︵ 交 AB 于点 F，则图中阴影部分 的面积为 5π 12 ＋ 3 2 . 18．如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于点 A(－1，0)，顶点坐标(1，n)，与 y 轴的
交点在(0,2),(0,3)之间包含端点),则下列结论:①3a+b>0:②-1≤a≤ 3③对于任 意实数m,a+b≥am2+bm总成立:④关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数 根.其中正确的结论为②③④(只填序号) 三、解答题(共66 19·(8分)如图,在平面直角坐标系中,⊙P与x轴分别交于A,B两点,点P的坐标为 (3,-1),AB=23 (1)求⊙P的半径 (2)将⊙P向下平移,求⊙P与x轴相切时平移的距离 解:(1)⊙P的半径是2. (2)⊙P向下平移与x轴相切时需向下平移1个单位 20·(8分)已知二次函数y=am2+bx+ca≠0)的图象经过一次函数y=-x+3的图象与 x轴,y轴的交点,并且也经过(1,1)点,求这个二次函数的表达式,并求x为何值时,函数 有最大(最小)值?这个值是多少? 解:y=-x+3与x轴交点(2,0),与y轴交点(0,3) 将(2,0(0·31,1代入y=ax2+bx+c可得:a,b2c=3, 3= ∵>0,∴当x=时,函数有最小值 21·(9分)如图,已知四边形ABCD内接于圆O,连结BD,∠BAD=100°,∠DBC=80° (1)求证:BD=CD (2)若圆O的半径为9,求BC的长(结果保留π) O (1)证明:∵四边形ABCD内接于圆O, ∠DCB+∠BAD=180°,∠BAD=100°
交点在(0，2)，(0，3)之间(包含端点)，则下列结论：①3a＋b＞0；②－1≤a≤－ 2 3 ；③对于任 意实数 m，a＋b≥am2＋bm 总成立；④关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝n－1 有两个不相等的实数 根．其中正确的结论为 ②③④ (只填序号)． 三、解答题(共 66 分) 19．(8 分)如图，在平面直角坐标系中，⊙P 与 x 轴分别交于 A，B 两点，点 P 的坐标为 (3，－1)，AB＝2 3. (1)求⊙P 的半径； (2)将⊙P 向下平移，求⊙P 与 x 轴相切时平移的距离． 解：(1)⊙P 的半径是 2. (2)⊙P 向下平移与 x 轴相切时需向下平移 1 个单位． 20．(8 分)已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过一次函数 y＝－ 3 2 x＋3 的图象与 x 轴，y 轴的交点，并且也经过(1，1)点，求这个二次函数的表达式，并求 x 为何值时，函数 有最大(最小)值？这个值是多少？ 解：y＝－ 3 2 x＋3 与 x 轴交点(2，0)，与 y 轴交点(0，3) 将(2，0)(0，3)(1，1)代入 y＝ax2＋bx＋c 可得：a＝ 1 2 ，b＝－ 5 2 ，c＝3， ∴y＝ 1 2 x 2－ 5 2 x＋3＝ 1 2 x－ 5 2 2 － 1 8 ∵ 1 2 ＞0，∴当 x＝ 5 2 时，函数有最小值－1 8 . 21．(9 分)如图，已知四边形 ABCD 内接于圆 O，连结 BD，∠BAD＝100°，∠DBC＝80°. (1)求证：BD＝CD； (2)若圆 O 的半径为 9，求BC ︵ 的长(结果保留π)． (1)证明：∵四边形 ABCD 内接于圆 O， ∵∠DCB＋∠BAD＝180°，∵∠BAD＝100°
∠DCB=180°—100°=80°,∠DBC=80° ∠DCB=∠DBC=80°,·BD=CD (2)解:∵∠DCB=∠DBC=80°,∴∠BDC=20° 由圆周角定理,得,B的所对的圆心角的度数为40°, 故BC的长= 40x×9 =2 180 ∴BC的长为2π 22·(9分)如图,抛物线y=(x+m)+k与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其顶点 的坐标为(1,-4) (1)求A,B,C三点的坐标 (2)若点P在第一象限的抛物线上,S△PAB=6,求点P的坐标 解:(1)∵抛物线y=(x+m)2+k的顶点 为M1:-4) 1)-4,令y=0 得(x-1)2-4=0,解得x=3,x2=-1 A(-1:0)·B(3:0),C(0:-3) (2过点P作⊥x轴于点N,1ABPN=6, ∴PN=3,令(x-12-4=3 ∴x=1+,x2=1-(舍,∴P1+,3) 23·(10分宜昌中考)如图,已知四边形ABCD为平行四边形,以CD为直径作⊙O,⊙ O与边BC相交于点F,⊙O的切线DE与AB相交于点E,且AE=3EB (1)求证:△ADE∽△CDF; (2)当CF:FB=1:2时,求⊙O与ABCD的面积之比 (1)证明:∵CD为oO的直径, ∠DFC=90°,∵DE为⊙O的切线 ∴ED⊥DC∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠A=∠C,AB∥CD ED⊥AB,·∠AED=90°,·∠AED=∠DFC 又∵∠A=∠C,∴△ADE∽△CDF
∴∠DCB＝180°－100°＝80°，∵∠DBC＝80°， ∴∠DCB＝∠DBC＝80°，∴BD＝CD. (2)解：∵∠DCB＝∠DBC＝80°，∴∠BDC＝20°， 由圆周角定理，得，BC ︵ 的所对的圆心角的度数为 40°， 故BC ︵ 的长＝40π×9 180 ＝2π， ∴BC ︵ 的长为 2π . 22．(9 分)如图，抛物线 y＝(x＋m) 2＋k 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，其顶点 M 的坐标为(1，－4)． (1)求 A，B，C 三点的坐标； (2)若点 P 在第一象限的抛物线上，S△PAB＝6，求点 P 的坐标． 解：(1)∵抛物线 y＝(x＋m) 2＋k 的顶点 为 M(1，－4)，∴y＝(x－1)2－4，令 y＝0， 得(x－1)2－4＝0，解得 x1＝3，x2＝－1， ∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)． (2)过点 P 作 PN⊥x 轴于点 N， 1 2 ·AB·PN＝6， ∴PN＝3，令(x－1)2－4＝3， ∴x1＝1＋ 7，x2＝1－ 7(舍)，∴P(1＋ 7，3)． 23．(10 分)(宜昌中考)如图，已知四边形 ABCD 为平行四边形，以 CD 为直径作⊙O，⊙ O 与边 BC 相交于点 F，⊙O 的切线 DE 与 AB 相交于点 E，且 AE＝3EB. (1)求证：△ADE∽△CDF； (2)当 CF∶FB＝1∶2 时，求⊙O 与▱ABCD 的面积之比． (1)证明：∵CD 为⊙O 的直径， ∴∠DFC＝90°，∵DE 为⊙O 的切线， ∴ED⊥DC.∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD， ∴ED⊥AB，∴∠AED＝90°.∴∠AED＝∠DFC. 又∵∠A＝∠C，∴△ADE∽△CDF
(2)解:∵CF:FB=1:2,∴设CF=x,则FB=2x,BC=3x AE=3EB,∴设EB=y则AE=3y,AB=4y ∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD=BC=3x,AB=DC=4y △ADE∽△CDF…∴AD,,33,∴x=2 CF CD BC=6y,CF=2y,在Rt△DCF中,∠DFC=90°, 由勾股定理得DF=√C-FC=√(4)2-(2y)2=2y ⊙O的面积为孤 π(DC)2=元×(4y)2=4xy2 PABCD的面积为BCDF=6y23y=12y ∴0与 DABCD的面积之比为4xy2:123y2=m:33 24(10分)如图,斜坡AB长10米,按图中的直角坐标系可用y3++5表示,点A, B分别在x轴和y轴上·在坡上的A处有喷灌设备·喷出的水柱呈抛物线形落到B处·抛物 线可用y=-3+bx+c表示 (1)求抛物线的函数关系式(不必写自变量取值范围) (2)求水柱离坡面AB的最大高度 (3)在斜坡上距离A点2米的C处有一棵35米高的树,水柱能否越过这棵树? 解:(1)4B=10,∠OAB=30° ∴OB=AB=5,OA=AB0s∠OAB=10×3=s, 则A(53,0),B(0,5) 将A,B坐标代入=-32+bx+c ×75+53b+c=0 得 解得 ∴抛物线表达式为y=-2+-x+5. (2)水柱离坡面的距离在2f++5 4 十5 2+53x=-1x2-553= √3
(2)解：∵CF∶FB＝1∶2，∴设 CF＝x，则 FB＝2x，BC＝3x， ∵AE＝3EB，∴设 EB＝y，则 AE＝3y，AB＝4y. ∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AD＝BC＝3x，AB＝DC＝4y. ∵△ADE∽△CDF，∴ AE CF＝ AD CD，∴ 3y x ＝ 3x 4y，∴x＝2y， ∴BC＝6y，CF＝2y，在 Rt△DCF 中，∠DFC＝90°， 由勾股定理得 DF＝ DC2－FC2＝ （4y）2－（2y）2＝2 3y. ∴⊙O 的面积为π DC 2 2 ＝ 1 4 π(DC)2＝ 1 4 π×(4y)2＝4π y 2， ▱ABCD 的面积为 BC·DF＝6y·2 3y＝12 3y 2， ∴⊙O 与▱ABCD 的面积之比为 4π y 2∶12 3y 2＝π∶3 3. 24.(10 分)如图，斜坡 AB 长 10 米，按图中的直角坐标系可用 y＝－ 3 3 x＋5 表示，点 A， B 分别在 x 轴和 y 轴上，在坡上的 A 处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到 B 处，抛物 线可用 y＝－ 1 3 x 2＋bx＋c 表示． (1)求抛物线的函数关系式(不必写自变量取值范围)； (2)求水柱离坡面 AB 的最大高度； (3)在斜坡上距离 A 点 2 米的 C 处有一棵 3.5 米高的树，水柱能否越过这棵树？ 解：(1)AB＝10，∠OAB＝30°， ∴OB＝ 1 2 AB＝5，OA＝ABcos∠OAB＝10× 3 2 ＝5 3， 则 A(5 3，0)，B(0，5)， 将 A，B 坐标代入 y＝－ 1 3 x 2＋bx＋c， 得 － 1 3 ×75＋5 3b＋c＝0， c＝5， 解得 b＝ 4 3 3 ， c＝5. ∴抛物线表达式为 y＝－ 1 3 x 2＋ 4 3 3 x＋5. (2)水柱离坡面的距离 d＝－ 1 3 x 2＋ 4 3 3 x＋5－ － 3 3 x＋5 ＝－ 1 3 x 2＋ 5 3 3 x＝－ 1 3 (x 2－5 3x)＝－ 1 3 x－ 5 3 2 2 ＋ 25 4
∴当x=S8n 时,水柱离坡面的距离最大,最大距离为米 (3)如图,过点C作CD⊥OA于点D, B AC=2·∠OAB=30° ∴CD=1,AD=√3 则OD=43 当x=43时 y=-x(4+×43+5=5>1+35 所以水柱能越过这棵树 5:(12分)如图,⊙E的圆心(3,0),半径为5,⊙E与y轴相交于A,B两点(点A在点 B的上方),与x轴的正半轴相交于点C:直线对应的函数表达式为y=3+4,与x轴相交 于点D;以C为顶点的抛物线经过点B (1)求抛物线对应的函数表达式 (2)判断直线l与⊙E的位置关系,并说明理由 (3)动点P在抛物线上,当点P到直线l的距离最小时,求出点P的坐标及最小距离 解:(1)连结AE ∵抛物线的顶点为C8:0·设抛物线的表达式为y=a(x-8)2·将B(0,-4代入抛物线 (2)直线与OE相切理由:点D16 ,点A(0,4)在直线l上, 在Rt△AOE和Rt△DOA中, 3.OA3..OE04 OA4OD4O40D<AOE=∠DOA=90°, △AOE∽△DOA,:∠AEO=∠DAO ∠AEO+∠EAO=90°,:∠D40+∠E1O=90°, 即∠DAE=90°,直线l与⊙E相切于点A (3过点P作直线l的垂线段PQ,垂足为Q,过点P作直线PM垂直于x轴,交直线l
∴当 x＝ 5 3 2 时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为25 4 米． (3)如图，过点 C 作 CD⊥OA 于点 D， ∵AC＝2，∠OAB＝30°， ∴CD＝1，AD＝ 3， 则 OD＝4 3， 当 x＝4 3时， y＝－ 1 3 ×(4 3) 2＋ 4 3 3 ×4 3＋5＝5＞1＋3.5. 所以水柱能越过这棵树． 25．(12 分)如图，⊙E 的圆心(3，0)，半径为 5，⊙E 与 y 轴相交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的上方)，与 x 轴的正半轴相交于点 C；直线 l 对应的函数表达式为 y＝ 3 4 x＋4，与 x 轴相交 于点 D；以 C 为顶点的抛物线经过点 B. (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)判断直线 l 与⊙E 的位置关系，并说明理由； (3)动点 P 在抛物线上，当点 P 到直线 l 的距离最小时，求出点 P 的坐标及最小距离． 解：(1)连结 AE， ∵抛物线的顶点为 C(8，0)，设抛物线的表达式为 y＝a(x－8)2，将 B(0，－4)代入抛物线， 得 y＝－ 1 16 x 2＋x－4. (2)直线 l 与 OE 相切，理由：点 D － 16 3 ，0 ，点 A(0，4)在直线 l 上， 在 Rt△AOE 和 Rt△DOA 中， OE OA＝ 3 4 ， OA OD＝ 3 4 ，∴ OE OA＝ OA OD，∠AOE＝∠DOA＝90°， ∴△AOE∽△DOA，∴∠AEO＝∠DAO， ∵∠AEO＋∠EAO＝90°，∴∠DAO＋∠EAO＝90°， 即∠DAE＝90°，∴直线 l 与⊙E 相切于点 A. (3)过点 P 作直线 l 的垂线段 PQ，垂足为 Q，过点 P 作直线 PM 垂直于 x 轴，交直线 l
于 点M 设Mm,:m+ 则PM=m+4 =16m-m+8=1(m-2) 当m=2时,PM取得最小值,此时戊2 对于△PQM,∵PM⊥x轴,∴∠OMP=∠DAO=∠AEO 又∠PQM=90°,∴△PQM的三个内角固定不变 ∴在动点P运动的过程中,△PQM的三边的比例关系不变, ∴当PM取得最小值时,PQ也取得最小值, P兼=PMS∠QMP=PM数sn∠AEO=3水” 当抛物线上的动点P的坐标为2,-时,点P到直线l的距离最小,其最小距离为
于点 M， 设 M m， 3 4 m＋4 ，P m，－ 1 16 m2＋m－4 ， 则 PM＝ 3 4 m＋4－ － 1 16 m2＋m－4 ＝ 1 16 m2－ 1 4 m＋8＝ 1 16 (m－2)2＋ 31 4 ， 当 m＝2 时，PM 取得最小值31 4 ，此时 P 2，－ 9 4 ， 对于△PQM，∵PM⊥x 轴，∴∠QMP＝∠DAO＝∠AEO， 又∠PQM＝90°，∴△PQM 的三个内角固定不变， ∴在动点 P 运动的过程中，△PQM 的三边的比例关系不变， ∴当 PM 取得最小值时，PQ 也取得最小值， PQ 最小＝PM 最小 sin∠QMP＝PM 最小·sin∠AEO＝ 31 4 × 4 5 ＝ 31 5 ， ∴当抛物线上的动点 P 的坐标为 2，－ 9 4 时，点 P 到直线 l 的距离最小，其最小距离为 31 5