33整式 教学目标 1.理解单项式、多项式及整式的概念,会判断单项式及整式 2掌握单项式的系数与次数、多项式的次数与项的概念,明确它们之间的关系,并能灵 活运用 教学过程 、情境导入 方方和圆圆的房间窗帘的装饰物如图所示,它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成 (半径都分别相同),现在方方和圆圆想算出窗帘的装饰物的面积分别是多少?窗户能射进 阳光的面积分别是多少(窗框面积不计)?要解决这些问题,我们来学习下面的内容,就会 知道答案 二、合作探究 探究点一:单项式、多项式与整式的识别 指出下列各式中哪些是单项式?哪些是多项式?哪些是整式? x'+y, -x a+b 310,6x+1 mn,2x2-x-5 2,a7 解析:根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断 的分母中含有字母,既不是单项式,也不是多项式,更不是整式 单项式有:-x,10, 多项式有:x2+12a+b.60+1,2x2-x-5 整式有:x2+y2,一x atb ,10,6xy+1,m2n,2x2-x-5,a7 方法总结:(1)分母中含有字母的式子不是整式;(2)单项式和多项式都是整式 (3)单项式不含加、减运算,多项式必含加、减运算 探究点二:单项式与多项式 【类型一】确定单项式的系数和次数 囹2分别写出下列单项式的系数和次数 (1)-ab2;(2)qb52 (3)
3.3 整 式 1.理解单项式、多项式及整式的概念，会判断单项式及整式. 2.掌握单项式的系数与次数、多项式的次数与项的概念，明确它们之间的关系，并能灵 活运用. 一、情境导入 方方和圆圆的房间窗帘的装饰物如图所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成 （半径都分别相同），现在方方和圆圆想算出窗帘的装饰物的面积分别是多少？窗户能射进 阳光的面积分别是多少（窗框面积不计）？要解决这些问题，我们来学习下面的内容，就会 知道答案. 二、合作探究 探究点一：单项式、多项式与整式的识别 指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ x 2＋y 2，－x， a＋b 3 ，10，6xy＋1， 1 x ， 1 7 m2n，2x 2－x－5， 2 x 2＋x ，a 7 . 解析：根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断. 解： 2 x 2＋x ， 1 x 的分母中含有字母，既不是单项式，也不是多项式，更不是整式. 单项式有：－x，10， 1 7 m2n，a 7； 多项式有：x 2＋y 2， a＋b 3 ，6xy＋1，2x 2－x－5； 整式有：x 2＋y 2，－x， a＋b 3 ，10，6xy＋1， 1 7 m2n，2x 2－x－5，a 7 . 方法总结：（1）分母中含有字母的式子不是整式；（2）单项式和多项式都是整式； （3）单项式不含加、减运算，多项式必含加、减运算. 探究点二：单项式与多项式 【类型一】 确定单项式的系数和次数 分别写出下列单项式的系数和次数. （1）－ab2；（2） 5ab3 c 2 7 ；（3） 2πxy2 3
解析:单项式的系数就是单项式中的数字因数;单项式的次数就是单项式中所有字母指 数的和,只要将这些字母的指数相加即可 解:(1)单项式的系数是一1,次数是3: (2)单项式的系数是,次数是6 (3)单项式的系数是,次数是3 方法总结:(1)当单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写;单项式的系 数是带分数时,通常写成假分数单项式的系数包括前面的符号.(2)我们把常数项的次数看 做0确定单项式的次数时,单项式中单独一个字母的指数1不能忽略,如-3xy,它的指数 是4而不是3.(3)π是圆周率,是一个确定的数,不是字母 【类型二】确定多项式的项和次数 例3写出下列各多项式的项数和次数,并指出是几次几项式 3x+5 (2)a+b+c-d (3)-a2+a2b+2a2b2 解析:根据多项式的项数是多项式中单项式的个数,多项式的次数是多项式中次数最高 的单项式的次数,可得答案 解:(1)3-3x+5的项数为3,次数为2,是二次三项式: (2)a+b+c-d的项数为4,次数为1,是一次四项式; (3)-a2+a2b+2a2b2的项数为3,次数为4,是四次三项式 方法总结:(1)多项式的项包括它的符号;(2)多项式的次数是多项式里次数最高 的项的次数,而不是各项次数的和;(3)几次项是指多项式中次数是几的项 探究点三:与多项式有关的探究性问题 【类型一】根据次数确定未知字母的值 4已知-5x+10x-4xy2是关于x、y的六次多项式,求m的值,并写出该多项 式 解析:根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得m+2=6,解得m=4, 进而可得此多项式 解:由题意得m+2=6
解析：单项式的系数就是单项式中的数字因数；单项式的次数就是单项式中所有字母指 数的和，只要将这些字母的指数相加即可. 解：（1）单项式的系数是－1，次数是 3； （2）单项式的系数是5 7 ，次数是 6； （3）单项式的系数是2π 3 ，次数是 3. 方法总结：（1）当单项式的系数是 1 或－1 时，“1”通常省略不写；单项式的系 数是带分数时，通常写成假分数.单项式的系数包括前面的符号.（2）我们把常数项的次数看 做 0.确定单项式的次数时，单项式中单独一个字母的指数 1 不能忽略，如－3x 3 y，它的指数 是 4 而不是 3.（3）π 是圆周率，是一个确定的数，不是字母. 【类型二】 确定多项式的项和次数 写出下列各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式. （1） 2 3 x 2－3x＋5； （2）a＋b＋c－d； （3）－a 2＋a 2b＋2a 2b 2 . 解析：根据多项式的项数是多项式中单项式的个数，多项式的次数是多项式中次数最高 的单项式的次数，可得答案. 解：（1） 2 3 x 2－3x＋5 的项数为 3，次数为 2，是二次三项式； （2）a＋b＋c－d 的项数为 4，次数为 1，是一次四项式； （3）－a 2＋a 2b＋2a 2b 2 的项数为 3，次数为 4，是四次三项式. 方法总结：（1）多项式的项包括它的符号；（2）多项式的次数是多项式里次数最高 的项的次数，而不是各项次数的和；（3）几次项是指多项式中次数是几的项. 探究点三：与多项式有关的探究性问题 【类型一】 根据次数确定未知字母的值 已知－5x m＋104 x m－4x m y 2 是关于 x、y 的六次多项式，求 m 的值，并写出该多项 式. 解析：根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得 m＋2＝6，解得 m＝4， 进而可得此多项式. 解：由题意得 m＋2＝6
解得m=4, 此多项式是-5x4+104x2-4x5y 方法总结:此题考查了多项式,解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高 的项的次数 【类型二】根据不含某项确定未知字母的值 5若关于x的多项式-5x3-mx2+(n-1)x-1不含二次项和一次项,求m、n的值 解析:多项式不含二次项和一次项,则二次项和一次项系数为0 解:∵关于x的多项式-5x3-mx2+(n-1)x-1不含二次项和一次项 ∴m=0,n-1=0,则m=0,n 方法总结:多项式不含哪一项,则哪一项的系数为0 探究点四:多项式的应用 例6如图,某居民小区有一块宽为2a米,长为b米的长方形空地,为了美化环境,准 备在此空地的四个顶点处各修建一个半径为a米的扇形花台,在花台内种花,其余种草如 果建造花台及种花费用每平方米为100元,种草费用每平方米为50元那么美化这块空地共 需多少元? 解析:四个角围成一个半径为a米的圆,阴影部分面积是长方形面积减去一个圆面积 解:花台面积和为na2平方米,草地面积为(2ab-xa2)平方米所以需资金为[00a2 +50(2ab-a2)]元 方法总结:用式子表示实际问题中的数量关系时,首先要分清语言叙述中关键词的 含义,理清它们之间的数量关系和运算顺序 探究点五:规律探究问题 囹7如图所示,这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形,按这种方式摆下去, 则第n个图形的周长是 解析:第(1)个图形的周长为3,第(2)个图形的周长为4=3+1;第(3)个图形 的周长为5=3+1×2;第(4)个图形的周长为6=3+1×3故第(n)个图形的周长为3+1 n-1)=2+n 方法总结:解答此类问题应采用比较归纳的方法和由特殊到一般的方法通过探究
解得 m＝4， 此多项式是－5x 4＋104 x 4－4x 4 y 2 . 方法总结：此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高 的项的次数. 【类型二】 根据不含某项确定未知字母的值 若关于 x 的多项式－5x 3－mx2＋（n－1）x－1 不含二次项和一次项，求 m、n 的值. 解析：多项式不含二次项和一次项，则二次项和一次项系数为 0. 解：∵关于 x 的多项式－5x 3－mx2＋（n－1）x－1 不含二次项和一次项， ∴m＝0，n－1＝0，则 m＝0，n＝1. 方法总结：多项式不含哪一项，则哪一项的系数为 0. 探究点四：多项式的应用 如图，某居民小区有一块宽为 2a 米，长为 b 米的长方形空地，为了美化环境，准 备在此空地的四个顶点处各修建一个半径为 a 米的扇形花台，在花台内种花，其余种草.如 果建造花台及种花费用每平方米为 100 元，种草费用每平方米为 50 元.那么美化这块空地共 需多少元？ 解析：四个角围成一个半径为 a 米的圆，阴影部分面积是长方形面积减去一个圆面积. 解：花台面积和为 πa 2 平方米，草地面积为（2ab－πa 2）平方米.所以需资金为[100πa 2 ＋50（2ab－πa 2）]元. 方法总结：用式子表示实际问题中的数量关系时，首先要分清语言叙述中关键词的 含义，理清它们之间的数量关系和运算顺序. 探究点五：规律探究问题 如图所示，这是由边长为 1 的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去， 则第 n 个图形的周长是 Ｗ. 解析：第（1）个图形的周长为 3，；第（2）个图形的周长为 4＝3＋1；第（3）个图形 的周长为 5＝3＋1×2；第（4）个图形的周长为 6＝3＋1×3.故第（n）个图形的周长为 3＋1 （n－1）＝2＋n. 方法总结：解答此类问题应采用比较归纳的方法和由特殊到一般的方法.通过探究
特例,从中发现一些基本规律,然后推广到一般情况 板书设计 整乙/单项式/系数:单项式中的数字因数 次数:所有字母的指数和 多项式/项数:单项式的个数 次数:次数最高的项的次数 教学反思 教学过程中,应通过丰富的现实情景,使学生经历从具体问题中抽象出数量关系,在解 决问题中了解数学的价值,发展“用数学”的信心,培养学生认识从特殊与一般的辩证关系
特例，从中发现一些基本规律，然后推广到一般情况. 三、板书设计 教学过程中，应通过丰富的现实情景，使学生经历从具体问题中抽象出数量关系，在解 决问题中了解数学的价值，发展“用数学”的信心，培养学生认识从特殊与一般的辩证关系