第2课时圆锥的侧面积和全面积 课前预习(5分钟训练) 1圆锥的底面积为25π,母线长为13cm,这个圆锥的底面圆的半径为 cm,高为 cm,侧面积为 2圆锥的轴截面是一个边长为10cm的正三角形,则这个圆锥的侧面积为 角为 高为 3已知Rt△ABC的两直角边AC=5cm,BC=12cm,则以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积 cm2,这个圆锥的侧面展开图的弧长为 cm,面积为 4如图244-2-1,已知圆锥的底面直径为4,母线长为6,则它的全面积为 O 图24-4-2-1 图24-4-2 、课中强化(10分钟训练) 1粮仓的顶部是圆锥形,这个圆锥的底面直径是4m,母线长为3m,为防雨需在粮仓的顶 部铺上油毡,那么这块油毡的面积至少为(。) A. 6m B 6 m2 C.12m2 2若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆,则圆锥的高为( A C 3a 3用一张半径为9cm、圆心角为120°的扇形纸片,做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝) 那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是 4如图244-2-2,已知圆锥的母线长OA=8,地面圆的半径r=2若一只小虫从A点出发,绕 圆锥的侧面爬行一周后又回到A点,则小虫爬行的最短路线的长是(结果保留根式) 5一个圆锥的高为3√3cm,侧面展开图是半圆, 求:(1)圆锥母线与底面半径的比:(2)锥角的大小;(3)圆锥的全面积 三、课后巩固(30分钟训练) 1.已知圆锥的母线与高的夹角为30°,母线长为4cm,则它的侧面积为 cm?(结果
第 2 课时 圆锥的侧面积和全面积 一、课前预习 (5 分钟训练) 1.圆锥的底面积为 25π，母线长为 13 cm，这个圆锥的底面圆的半径为________ cm，高为 ________ cm，侧面积为________ cm2 . 2.圆锥的轴截面是一个边长为 10 cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积为________ cm2，锥 角为_________，高为________ cm. 3.已知 Rt△ABC 的两直角边 AC=5 cm，BC=12 cm，则以 BC 为轴旋转所得的圆锥的侧面积 为_________ cm2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为_________ cm，面积为_________ cm2 . 4.如图 24-4-2-1，已知圆锥的底面直径为 4，母线长为 6，则它的全面积为__________. 图 24-4-2-1 图 24-4-2-2 二、课中强化(10 分钟训练) 1.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是 4 m，母线长为 3 m，为防雨需在粮仓的顶 部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为( ) A.6 m2 B.6π m2 C.12 m2 D.12π m2 2.若圆锥的侧面展开图是一个半径为 a 的半圆，则圆锥的高为( ) A.a B. 3 3 a C.3a D. 2 3 a 3.用一张半径为 9 cm、圆心角为 120°的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)， 那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是_________ cm. 4.如图 24-4-2-2，已知圆锥的母线长 OA=8，地面圆的半径 r=2.若一只小虫从 A 点出发，绕 圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是______(结果保留根式). 5.一个圆锥的高为 3 3 cm，侧面展开图是半圆， 求：(1)圆锥母线与底面半径的比；(2)锥角的大小；(3)圆锥的全面积. 三、课后巩固(30 分钟训练) 1.已知圆锥的母线与高的夹角为 30°，母线长为 4 cm，则它的侧面积为_________ cm2 (结果
保留π) 2如图24-42-3,有一圆锥形粮堆,其主视图是边长为6m的正三角形ABC,母线AC的中 点P处有一老鼠正在偷吃粮食,小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠,则小猫经过的最短 路程是 m(结果不取近似数) 20c 图24-42-3 图24-4-2-4 3若圆锥的底面直径为6cm,母线长为5cm,则它的侧面积为 (结果保留π) 4在Rt△ABC中,已知AB=6,AC=8,∠A=90°.如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到 个圆锥,其全面积为S1:把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥,其全面积 为S2那么S1:S2等于() A.2:3 B.3:4 C4:9 D.5:12 5如图24-42-4是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图,则围成这个灯罩的铁皮的面 积为cm2(不考虑接缝等因素,计算结果用表示) 6制作一个底面直径为30cm、高为40cm的圆柱形无盖铁桶所需铁皮至少为( A.1425xcm2 B.1650rcm2 7t cm D.2625xcm2 7在半径为27m的广场中央,点O的上空安装了一个照明光源S,S射向地面的光束呈圆 锥形,其轴截面SAB的顶角为120°(如图24-4-2-5),求光源离地面的垂直高度SO(精确 到01m:√2=1.414,√3=1.732,√5=236,以上数据供参考) 参考答案 课前预习(5分钟训练) 1圆锥的底面积为25π,母线长为13cm,这个圆锥的底面圆的半径为 高为
保留 π). 2.如图 24-4-2-3，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为 6 m 的正三角形 ABC，母线 AC 的中 点 P 处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从 B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短 路程是___________ m.(结果不取近似数) 图 24-4-2-3 图 24-4-2-4 3.若圆锥的底面直径为 6 cm，母线长为 5 cm，则它的侧面积为___________ .(结果保留 π) 4.在 Rt△ABC 中，已知 AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把 Rt△ABC 绕直线 AC 旋转一周得到 一个圆锥，其全面积为 S1；把 Rt△ABC 绕直线 AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积 为 S2.那么 S1∶S2 等于( ) A.2∶3 B.3∶4 C.4∶9 D.5∶12 5.如图 24-4-2-4 是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面 积为____________ cm2 (不考虑接缝等因素，计算结果用 π 表示). 6.制作一个底面直径为 30 cm、高为 40 cm 的圆柱形无盖铁桶,所需铁皮至少为( ) A.1 425π cm2 B.1 650π cm2 C.2 100π cm2 D.2 625π cm2 7.在半径为 27 m 的广场中央，点 O 的上空安装了一个照明光源 S，S 射向地面的光束呈圆 锥形，其轴截面 SAB 的顶角为 120°(如图 24-4-2-5)，求光源离地面的垂直高度 SO.(精确 到 0.1 m； 2 =1.414， 3 =1.732， 5 =2.236，以上数据供参考) 参考答案 一、课前预习 (5 分钟训练) 1.圆锥的底面积为 25π，母线长为 13 cm，这个圆锥的底面圆的半径为________ cm，高为
cm,侧面积为 思路解析:圆的面积为S=m,所以=1325m0圆锥的高为32-52=2m 丌 侧面积为×10π13=65m(cm2) 答案:51265兀 2圆锥的轴截面是一个边长为10cm的正三角形,则这个圆锥的侧面积为 角为 高为cm 思路解析:S侧面积=×10m×10=50m(cm2):锥角为正三角形的内角,高为正三角形的高 答案:50r60°5√3 3已知Rt△ABC的两直角边AC=5cm,BC=12cm,则以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积 为 cm2,这个圆锥的侧面展开图的弧长为 cm,面积为 思路解析:以BC为轴旋转所得圆锥的底面半径为5cm,高为12cm,母线长为13cm. 利用公式计算 答案:65π10π65π 4如图24-4-2-1,已知圆锥的底面直径为4,母线长为6,则它的全面积为 图24-42-1 思路解析:圆锥的全面积为侧面积加底面积 答案:16π 二、课中强化(10分钟训练) 1粮仓的顶部是圆锥形,这个圆锥的底面直径是4m,母线长为3m,为防雨需在粮仓的顶 部铺上油毡,那么这块油毡的面积至少为(-) A.6 B 6 mt C.12m2 思路解析:侧面积=底面直径π母线长==×4×x×3=6m(m2)
________ cm，侧面积为________ cm2 . 思路解析：圆的面积为 S=πr2，所以 r= 25 =5(cm)；圆锥的高为 2 2 13 −5 =12(cm)； 侧面积为 2 1 ×10π·13=65π(cm2 ). 答案：5 12 65π 2.圆锥的轴截面是一个边长为 10 cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积为________ cm2，锥 角为_________，高为________ cm. 思路解析：S 侧面积= 2 1 ×10π×10=50π(cm2 )；锥角为正三角形的内角，高为正三角形的高. 答案：50π 60° 5 3 3.已知 Rt△ABC 的两直角边 AC=5 cm，BC=12 cm，则以 BC 为轴旋转所得的圆锥的侧面积 为__________ cm2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为__________ cm，面积为___________ cm2 . 思路解析：以 BC 为轴旋转所得圆锥的底面半径为 5 cm，高为 12 cm，母线长为 13 cm. 利用公式计算. 答案：65π 10π 65π 4.如图 24-4-2-1，已知圆锥的底面直径为 4，母线长为 6，则它的全面积为__________. 图 24-4-2-1 思路解析：圆锥的全面积为侧面积加底面积. 答案：16π 二、课中强化(10 分钟训练) 1.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是 4 m，母线长为 3 m，为防雨需在粮仓的顶 部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为( ) A.6 m2 B.6π m2 C.12 m2 D.12π m2 思路解析：侧面积= 2 1 底面直径·π·母线长= 2 1 ×4×π×3=6π(m2 )
答案:B 2若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆,则圆锥的高为() B 思路解析:展开图的弧长是aπ,故底面半径是一,这时母线长、底面半径和高构成直角 角形 答案:D 3用一张半径为9cm、圆心角为120°的扇形纸片,做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝) 那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是 思路解析:扇形的弧长为 120×x×9 =6m(cm),所以圆锥底面圆的半径为=3(cm) 答案:3 4如图244-2-2,已知圆锥的母线长OA=8,地面圆的半径r=2若一只小虫从A点出发,绕 圆锥的侧面爬行一周后又回到A点,则小虫爬行的最短路线的长是 (结果保留 根式) 一一- 图24-422 思路解析:如图,圆锥的侧面展开图是扇形,它的圆心角是2×2×x×180-90,连结 8x AB,则△AOB是等腰直角三角形,OA=OB=8,所以AB=√82+82=√2 答案:8√2 5.一个圆锥的高为3√3cm,侧面展开图是半圆 求:(1)圆锥母线与底面半径的比
答案：B 2.若圆锥的侧面展开图是一个半径为 a 的半圆，则圆锥的高为( ) A.a B. 3 3 a C.3a D. 2 3 a 思路解析：展开图的弧长是 aπ，故底面半径是 2 a ，这时母线长、底面半径和高构成直角 三角形. 答案：D 3.用一张半径为 9 cm、圆心角为 120°的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)， 那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是_________ cm. 思路解析：扇形的弧长为 180 120 9 =6π(cm)，所以圆锥底面圆的半径为 2 6 =3(cm). 答案：3 4.如图 24-4-2-2，已知圆锥的母线长 OA=8，地面圆的半径 r=2.若一只小虫从 A 点出发，绕 圆锥的侧面爬行一周后又回到 A 点，则小虫爬行的最短路线的长是_________(结果保留 根式). 图 24-4-2-2 思路解析：如图，圆锥的侧面展开图是扇形，它的圆心角是 8 2 2 180 =90°，连结 AB，则△AOB 是等腰直角三角形，OA=OB=8，所以 AB= 2 2 8 + 8 =8 2 . 答案：8 2 5.一个圆锥的高为 3 3 cm，侧面展开图是半圆， 求：(1)圆锥母线与底面半径的比；
(2)锥角的大小 (3)圆锥的全面积 思路分析:圆锥的母线在侧面展开图中是扇形的半径,底面周长是展开扇形的弧长锥角 是轴截面的等腰三角形的顶角知道圆锥母线和底面半径,就可由扇形面积公式求侧面 积,底面积加侧面积就得圆锥全面积. 解:如图,AO为圆锥的高,经过AO的截面是等腰△ABC,则AB为圆锥母线1,BO 为底面半径r (1)因圆锥的侧面展开图是半圆,所以2=rl,则-=2 (2)因=2,则有AB=2OB,∠BAO=30°,所以∠BAC=60°,即锥角为60° (3)因圆锥的母线1,高h和底面半径r构成直角三角形,所以P2=h2+r:又l=2r,h=3√3 cm,则r=3cm,l=6cm 所以S表=S侧+Sk=l+m2=36+32x=27(cm2) 三、课后巩固(30分钟训练) 1已知圆锥的母线与高的夹角为30°,母线长为4cm,则它的侧面积为 cm2(结果 保留π) 思路解析:S國×2×π×-×4×4=8π 答案:8π 2如图24-42-3,有一圆锥形粮堆,其主视图是边长为6m的正三角形ABC,母线AC的中 点P处有一老鼠正在偷吃粮食,小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠,则小猫经过的最短 路程是 m(结果不取近似数) 图24-42-3 思路解析:小猫经过的最短路程是圆锥侧面展开图中的PB(如图)
(2)锥角的大小； (3)圆锥的全面积. 思路分析：圆锥的母线在侧面展开图中是扇形的半径，底面周长是展开扇形的弧长.锥角 是轴截面的等腰三角形的顶角.知道圆锥母线和底面半径，就可由扇形面积公式求侧面 积，底面积加侧面积就得圆锥全面积. 解：如图，AO 为圆锥的高，经过 AO 的截面是等腰△ABC，则 AB 为圆锥母线 l，BO 为底面半径 r. (1)因圆锥的侧面展开图是半圆，所以 2πr=πl，则 r l =2. (2)因 r l =2，则有 AB=2OB，∠BAO=30°，所以∠BAC=60°，即锥角为 60°. (3)因圆锥的母线 l，高 h 和底面半径 r 构成直角三角形，所以 l 2=h2＋r 2；又 l=2r，h=3 3 cm，则 r=3 cm，l=6 cm. 所以 S 表=S 侧＋S 底=πrl＋πr2=3·6π＋3 2π=27π(cm2 ). 三、课后巩固(30 分钟训练) 1.已知圆锥的母线与高的夹角为 30°，母线长为 4 cm，则它的侧面积为_________ cm2 (结果 保留 π). 思路解析：S 圆锥侧= 2 1 ×2×π× 2 1 ×4×4=8π. 答案：8π 2.如图 24-4-2-3，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为 6 m 的正三角形 ABC，母线 AC 的中 点 P 处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从 B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短 路程是___________ m.(结果不取近似数) 图 24-4-2-3 思路解析：小猫经过的最短路程是圆锥侧面展开图中的 PB(如图)
X丌X 则扇形的圆心角为 =180°,因为P在AC的中点上 所以∠PAB=90°在Rt△PAB中,PA=3,AB=6, 则PB=√62+3 答案:3√5 3若圆锥的底面直径为6cm,母线长为5cm,则它的侧面积为 (结果保留π) 思路解析:已知底面直径和母线长直接代入圆锥侧面积公式即可 设圆锥底面半径为r,母线为1,则r=3cm,l=5cm,∴Sm=πrl=π×3×5=15mcm2) 答案:15cm2 4在Rt△ABC中,已知AB=6,AC=8,∠A=90°如果把R△ABC绕直线AC旋转一周得到 个圆锥,其全面积为S1:把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥,其全面积 为S2那么S1:S2等于() B.3:4 C4:9 D.5:12 思路解析:根据题意分别计算出S1和S2即得答案在求S1和S2时,应分清圆锥侧面展 开图(扇形)的半径是斜边BC,弧长是以AB(或AC)为半径的圆的周长 ∴∠A=90°,.AC=8,AB=6,∴BC=√AC2+AB2=82+62=10 当以AC为轴时,AB为底面半径,S1=S侧+S底=ABBC+兀AB2=x×6×10+x×36=96兀 当以AB为轴时,AC为底面半径,S2=S侧+S=80+xx82=144 S1:S2=96π:144x=2:3,故选A 答案:A 5如图24-42-4是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图,则围成这个灯罩的铁皮的面 积为 cm3(不考虑接缝等因素,计算结果用兀表示)
则扇形的圆心角为 6 180 6 =180°,因为 P 在 AC 的中点上， 所以∠PAB=90°.在 Rt△PAB 中，PA=3，AB=6， 则 PB= 2 2 6 + 3 =3 5 . 答案：3 5 3.若圆锥的底面直径为 6 cm，母线长为 5 cm，则它的侧面积为___________ .(结果保留 π) 思路解析：已知底面直径和母线长直接代入圆锥侧面积公式即可. 设圆锥底面半径为 r，母线为 l，则 r=3 cm，l=5 cm，∴S 侧=πr·l=π×3×5=15π(cm2 ). 答案：15π cm2 4.在 Rt△ABC 中，已知 AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把 Rt△ABC 绕直线 AC 旋转一周得到 一个圆锥，其全面积为 S1；把 Rt△ABC 绕直线 AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积 为 S2.那么 S1∶S2 等于( ) A.2∶3 B.3∶4 C.4∶9 D.5∶12 思路解析：根据题意分别计算出 S1 和 S2 即得答案.在求 S1 和 S2 时，应分清圆锥侧面展 开图(扇形)的半径是斜边 BC，弧长是以 AB(或 AC)为半径的圆的周长. ∵∠A=90°，AC=8，AB=6，∴BC= 2 2 AC + AB = 2 2 8 + 6 =10. 当以 AC 为轴时，AB 为底面半径，S1=S 侧＋S 底=πAB·BC＋πAB2=π×6×10＋π×36=96π. 当以 AB 为轴时，AC 为底面半径，S2=S 侧＋S 底=80π＋π×82=144π. ∴S1∶S2=96π∶144π=2∶3，故选 A. 答案:A 5.如图 24-4-2-4 是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面 积为____________ cm2 (不考虑接缝等因素，计算结果用 π 表示)
30cm 图244-24 思路解析:由题意知:S侧面=×30m×20=300m(cm2) 答案:300m 6制作一个底面直径为30cm、高为40cm的圆柱形无盖铁桶所需铁皮至少为( A.1425cm B.1650rcm2 C.2100rcm2 D.2625rcm2 思路解析:由题意知S铁皮=底面积+侧面积=π×152+40×2π×15=15×95x-=1425π 答案:A 7在半径为27m的广场中央,点O的上空安装了一个照明光源S,S射向地面的光束呈圆 锥形,其轴截面SAB的顶角为120°(如图24-4-2-5),求光源离地面的垂直高度SO(精确 到01m;√2=1414,3=1.732,√5=2,236,以上数据供参考) B 图24-4-2-5 思路分析:利用勾股定理和30°的角所对的直角边等于斜边的一半解题 解:在△SAB中,SA=SB,∠ASB=120° SO⊥AB,∴O为AB的中点,且∠ASO=∠BSO=60°,∠SAO=30° 在R△ASO中,OA=27m,设SO=x,则AS=2x,∴272+x2=(2x)2.∴x=9√3≈156(m) 答:光源离地面的垂直高度SO为15.6m
图 24-4-2-4 思路解析：由题意知：S 侧面积= 2 1 ×30π×20=300π(cm2 ). 答案：300π 6.制作一个底面直径为 30 cm、高为 40 cm 的圆柱形无盖铁桶,所需铁皮至少为( ) A.1 425π cm2 B.1 650π cm2 C.2 100π cm2 D.2 625π cm2 思路解析:由题意知 S 铁皮=底面积+侧面积=π×152+40×2π×15=15×95π=1 425π. 答案:A 7.在半径为 27 m 的广场中央，点 O 的上空安装了一个照明光源 S，S 射向地面的光束呈圆 锥形，其轴截面 SAB 的顶角为 120°(如图 24-4-2-5)，求光源离地面的垂直高度 SO.(精确 到 0.1 m； 2 =1.414， 3 =1.732， 5 =2.236，以上数据供参考) 图 24-4-2-5 思路分析：利用勾股定理和 30°的角所对的直角边等于斜边的一半解题. 解：在△SAB 中，SA=SB，∠ASB=120°. ∵SO⊥AB，∴O 为 AB 的中点，且∠ASO=∠BSO=60°，∠SAO=30°. 在 Rt△ASO 中，OA=27 m，设 SO=x，则 AS=2x，∴272+x2=(2x)2 .∴x=9 3 ≈15.6(m). 答：光源离地面的垂直高度 SO 为 15.6 m