1.4二次函数的应用 第1课时利用二次函数解决面积最大问题
1.4 二次函数的应用 第1课时 利用二次函数解决面积最大问题
1·(4分)二次函数y=x2+2x-5有(D) A·最大值-5B.最小值-5 C·最大值一6D.最小值-6 2·(4分)已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示.关于该函 数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是(9 A·有最小值0,有最大值3 B·有最小值-1,有最大值0 C·有最小值一1,有最大值3 D·有最小值-1,无最大值
1．(4分)二次函数y＝x 2＋2x－5有 ( ) A．最大值－5 B．最小值－5 C．最大值－6 D．最小值－6 D 2．(4分)已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示．关于该函 数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是 ( ) A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0 C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值 C
3·(4分)将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁 丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之 和的最小值是12.5cm 4·(12分)已知在△ABC中,边BC的长与BC边上的高的和为20 (1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式,并求出面积为48时 BC的长 (2)当BC多长时,△ABC的面积最大?最大面积是多少? 解:(1)y=2×(20-x)=-2x2+10x(0<x<20),当y=48时,-2x2+10x=48 解得x1=12,x2=8,即面积为48时,BC的长为12或8(2y=-2x2+10x=-2(x 10)2+50,当BC的长为10时,△ABC的面积最大,最大面积为50
3．(4分)将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁 丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之 和的最小值是____cm2 12.5 . 4．(12 分)已知在△ABC 中，边 BC 的长与 BC 边上的高的和为 20. (1)写出△ABC 的面积 y 与 BC 的长 x 之间的函数关系式，并求出面积为 48 时 BC 的长； (2)当 BC 多长时，△ABC 的面积最大？最大面积是多少？ 解：(1)y＝ 1 2 x(20－x)＝－ 1 2 x 2＋10x(0＜x＜20)，当 y＝48 时，－ 1 2 x 2＋10x＝48， 解得 x1＝12，x2＝8，即面积为 48 时，BC 的长为 12 或 8 (2)y＝－ 1 2 x 2＋10x＝－ 1 2 (x －10)2＋50，当 BC 的长为 10 时，△ABC 的面积最大，最大面积为 50
5·(12分)在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角 墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只 围AB,BC两边),设AB=xm (1)若花园的面积为192m2,求x的值 (2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这 树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值 解:(1)由AB=x,得BC=28-x,根据题意,得x(28 x)=192,解得x1=12x2=16.答:若花园的面积为192 m2,则x的值为12或16(2)S=x(28-x)=-x2+28x ≥6, (x-14)2+196,因为 所以6≤x≤13.因为 28-x≥15, 1<0,所以当6≤x≤13时,S随x的增大而增大,所 以当x=13时,S有最大值195m2
5．(12分)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角 墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只 围AB，BC两边)，设AB＝x m. (1)若花园的面积为192 m2，求x的值； (2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这 棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值． 解：(1)由 AB＝x，得 BC＝28－x，根据题意，得 x(28 －x)＝192，解得 x1＝12，x2＝16.答：若花园的面积为 192 m 2，则 x 的值为 12 或 16 (2)S＝x(28－x)＝－x 2＋28x＝ －(x－14)2＋196，因为 x≥6， 28－x≥15， 所以 6≤x≤13.因为 a ＝－1＜0，所以当 6≤x≤13 时，S 随 x 的增大而增大，所 以当 x＝13 时，S 有最大值 195 m 2
6·(14分)某农户计划利用现有的一面墙再修高为1.5m的四面墙,建造如图 所示的长方体水池,培育不同品种的鱼苗.他已备足可以修高1.5m、长18 m的墙的材料准备施工,设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm, 即AD=EF=BC=xm(不考虑墙的厚度) (1)求水池的总容积V与x的函数关系式,并直接写出x的取值范围; (2)若想使水池的总容积V最大,x应为多少?最大容积是多少? 解:(1)V=x(18-3x)×1.5=-4.5 +27x(0<X<6 (2)当x=3m时,V有最大值为 40.5m
6．(14分)某农户计划利用现有的一面墙再修高为1.5 m的四面墙，建造如图 所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗．他已备足可以修高1.5 m、长18 m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为x m， 即AD＝EF＝BC＝x m(不考虑墙的厚度)． (1)求水池的总容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (2)若想使水池的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？ 解：(1)V＝x(18－3x)×1.5＝－4.5x2 ＋27x(0＜x＜6) (2)当x＝3 m时，V有最大值为 40.5 m3
7·(6分)由长8m的铝合金条制成如图所示形状的矩形窗 框,使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是 4 64.4 m2 c8 m2 D 4m2
C 7．(6 分)由长 8 m 的铝合金条制成如图所示形状的矩形窗 框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是 ( ) A. 64 25 m 2 B. 4 3 m 2 C. 8 3 m 2 D．4 m 2
8.(6分)如图所示,线段AB=6,点C是AB上一点,点D是AC 的中点,分别以AD,DC,CB为边作正方形,则AC=4时, 三个正方形的面积之和最小
8．(6分)如图所示，线段AB＝6，点C是AB上一点，点D是AC 的中点，分别以AD，DC，CB为边作正方形，则AC＝____时， 三个正方形的面积之和最小． 4
9(6分)如图所示已知正方形ABCD的边长为1E F,G,H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设 小正方形EFGH的面积为S,AE为x则S关于x的函数 解析式为S=2x2-2x+1,当x=2时,S的值最小
9．(6 分)如图所示，已知正方形 ABCD 的边长为 1，E， F，G，H 分别为各边上的点，且 AE＝BF＝CG＝DH，设 小正方形 EFGH 的面积为 S，AE 为 x，则 S 关于 x 的函数 解析式为 S＝2x ，当 x＝____时，S 的值最小． 2－2x＋1 1 2
10·(12分)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽 屉部分是长方体形,抽屉底面周长为180cm,高为20cm请通 过计算说明,当底面的宽ⅹ为何值时,抽屉的体积y最大?最 大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计) 解:根据题意,得y=20x(-x)整理,得y=-20x2 +1800x∴y=-20x2+1800x=-20(x2-90x+2025)+40500 20(x-45)2+40500,又∵-20<0,∴当x=45时,函数 有最大值,y最大值=40500.即当底面的宽为45cm时,抽屉的体 积最大,最大为40500cm
10．(12 分)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽 屉部分是长方体形，抽屉底面周长为 180 cm，高为 20 cm.请通 过计算说明，当底面的宽 x 为何值时，抽屉的体积 y 最大？最 大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计) 解：根据题意，得 y＝20x(180 2 －x)，整理，得 y＝－20x2 ＋1800x.∵y＝ －20x2＋1800x＝ －20(x2－90x＋2025)＋40500 ＝－20(x－45)2＋40500，又∵－20＜0，∴当 x＝45 时，函数 有最大值，y 最大值＝40500.即当底面的宽为 45 cm 时，抽屉的体 积最大，最大为 40500 cm 3
11·(20分)如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12厘米,OB=6厘米, 点P从O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动;点Q从点B开始沿BO边 向点O以1厘米/秒的速度移动’如果P,Q同时出发,用t(秒)表示移动的时 间0≤≤6),那么 (1)设△POQ的面积为y,求y关于t的函数解析式; 2)当△POQ的面积最大时,将△POQ沿直线PQ翻折得到△PCQ,试判断 点C是否落在直线AB上?并说明理由
11．(20分)如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米， 点P从O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边 向点O以1厘米/秒的速度移动，如果P，Q同时出发，用t(秒)表示移动的时 间(0≤t≤6)，那么 (1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式； (2)当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折得到△PCQ，试判断 点C是否落在直线AB上？并说明理由．