10远程教育网 21.1二次根式(2) 教学内容 本节课主要学习二次根式的性质√G(a≥0)是一个非负数与(√G)2=a及其运用 教学目标 、知识技能 理解√G(a≥0)是一个非负数和(G)2=a(a≥0),并利用它们进行计算和化 简 、数学思考 乘方与开方互为逆运算在推导结论(√a)2=a(a≥0)中的应用 三、解决问题 利用二次根式的非负性和(√a)2=a(a≥0)解题 四、情感态度 通过利用乘方与开方互为逆运算推导结论(√a)=a(a≥0),使学生感受到数 学知识的内在联系 重难点、关键 重点:√a(a≥0)是一个非负数:(√a)2=a(a≥0)及其运用 难点:理解二次根式√a(a≥0)是一个非负数与(√a)2=a 关键:用分类思想的方法导出√a(a≥0)是一个非负数: 用探究的方法导出(√a)2=a(a≥0) 教学准备 教师准备:制作课件,精选习题 学生准备:复习有关知识,预习本节课内容 教学过程 复习引入 【提出问题】 1.什么叫二次根式? 2.当a≥0时,园a表示什么?当a<0时,√a有意义吗? 【活动方略】 教师演示课件,给出题目 学生根据所学知识回答问题 【设计意图】 复习二次根式的概念及算术平方根的基本形式为二次根式的性质引入作好铺垫. 二、探索新知 【问题】 a(a≥0)有没有可能小于零?为什么? 【活动方略】 教师提出问题 学生总结出二次根式的性质1 a(a≥0)是一个非负数 【设计意图】
1 Www.chinaedu.com 21．1 二次根式（2） 教学内容 本节课主要学习二次根式的性质 a （a≥0）是一个非负数与（ a ）2=a 及其运用 教学目标 一、知识技能 理解 a （a≥0）是一个非负数和（ a ）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化 简． 二、数学思考 乘方与开方互为逆运算在推导结论（ a ）2= a （ a ≥0）中的应用. 三、解决问题 利用二次根式的非负性和（ a ）2 = a （ a ≥0）解题. 四、情感态度 通过利用乘方与开方互为逆运算推导结论（ a ）2 =a （ a ≥0）,使学生感受到数 学知识的内在联系. 重难点、关键 重点： a （a≥0）是一个非负数；（ a ）2=a（a≥0）及其运用． 难点：理解二次根式 a （a≥0）是一个非负数与（ a ）2=a。 关键：用分类思想的方法导出 a （a≥0）是一个非负数；• 用探究的方法导出（ a ）2=a（a≥0）． 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容 教学过程 一、复习引入 【提出问题】 1．什么叫二次根式？ 2．当 a≥0 时， a 表示什么？当 a<0 时， a 有意义吗？ 【活动方略】 教师演示课件，给出题目． 学生根据所学知识回答问题． 【设计意图】 复习二次根式的概念及算术平方根的基本形式.为二次根式的性质引入作好铺垫． 二、探索新知 【问题】 a ( a ≥0）有没有可能小于零？为什么？ 【活动方略】 教师提出问题 学生总结出二次根式的性质 1： a （a≥0）是一个非负数． 【设计意图】
10远程教育网 使学生归纳出二次根式的性质1:√a(a≥0)是一个非负数 【探究】 根据算术平方根的意义填空: (√4)2= (√2)2= 【活动方略】 教师演示课件,给出题目 学生口答结果后总结有何规律 老师点评 √4是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,√4是一个平方等于4的非负数,因 此有(√4)2=4 同理可得:(√2)=2,(,)=1.(5)=,所以 √a)2=a(a≥0) 【设计意图】 归纳出二次根式的性质2:(√a)2=a(a≥0) 三、范例点击 例1已知|x+3+√y-5=0,求x的值是多少? 解::|x+3+√y x+3|≥0且y-5≥0 |x+3|=0且y-5=0 即x+3=0且y5=0 解得x=-3,y=5 ∴x=-15 【设计意图】 使学生掌握二次根式的性质1,理解非负式的应用 例2计算 (1)(7)2; (2)(2√5)2 21 【设计意图】 使学生掌握二次根式的性质2:(√a)2=a(a≥0),并有较深刻的理解 【活动方略】 教师活动:操作投影,分别将例1、例2显示,组织学生讨论 学生活动:合作交流,讨论解答。 四、反馈练习 课本P7练习第1题 补充练习 1.已知√1-a+b+7=0
2 Www.chinaedu.com 使学生归纳出二次根式的性质 1： a （a≥0）是一个非负数。 【探究】 根据算术平方根的意义填空： （ 4 ）2=_______；（ 2 ）2=_______； （ 1 3 ）2=______；（ 0 ）2=_______． 【活动方略】 教师演示课件，给出题目． 学生口答结果后总结有何规律. 老师点评： 4 是 4 的算术平方根，根据算术平方根的意义， 4 是一个平方等于 4 的非负数，因 此有（ 4 ）2=4． 同理可得：（ 2 ）2=2，（ 1 3 ）2= 1 3 ，（ 0 ）2=0，所以 （ a ）2=a（a≥0） 【设计意图】 归纳出二次根式的性质 2：（ a ）2=a（a≥0） 三、范例点击 例 1 已知 x + 3 + y − 5 =0，求 xy 的值是多少？ 解：∵ x + 3 + y − 5 =0， ∴ x + 3 ≥0 且 y − 5 ≥0， ∴ x + 3 =0 且 y − 5 =0； 即 x+3=0 且 y-5=0 解得 x=-3,y=5 ∴xy=-15. 【设计意图】 使学生掌握二次根式的性质 1，理解非负式的应用. 例 2 计算: （1）（ 1.7 ） 2； （2）（2 5 ）2； （3）（ 1 2 a + ）2 . 【设计意图】 使学生掌握二次根式的性质 2：（ a ）2=a（a≥0），并有较深刻的理解. 【活动方略】 教师活动：操作投影，分别将例 1、例 2 显示，组织学生讨论． 学生活动：合作交流，讨论解答。 四、反馈练习 课本 P7 练习 第 1 题 补充练习 1.已知 1− a + b + 7 =0
10远程教育网 求a-b的值 2.计算: (1)(√05)2; b2) 【活动方略】 学生独立思考、独立解题 教师巡视、指导,并选取两名学生上台书写解答过程(或用投影仪展示学生的解答过程) 【设计意图】 检查学生对二次根式性质1、2的掌握情况. 五、应用拓展 例3计算 1.(√x+1)2(x≥0)2.(√a2)2 3.(√a2+2a+1) 4.(√4x2-12x+9 分析 (1)因为x≥0,所以x+1>0 (2)a≥0 (3)a2+2a+1=(a+1)≥0 (4)4x2-12x+9=(2x)22·2x·3+32=(2x-3)2≥0. 所以上面的4题都可以运用(√a)2=a(a≥0)的重要结论解题 解:(1)因为x≥0,所以x+1>0 (√x+1)2=x+1 (2)∵a2≥0,∴(√la2)2=a2 (3)∵a2+2a+1=(a+1)2 又∵(a+1)2≥0,∴a2+2a+1≥0,√a2+2a+1=a2+2a+1 (4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2 又∵(2x-3)2≥0 ∴4x212x+9≥0,∴(√4x2-12x+9)2=4x2-12x+9 例4在实数范围内分解下列因式 (1)x2-3 (2)x4-4 【活动方略】 教师活动:操作投影,将例3、例4显示,组织学生讨论 学生活动:合作交流,讨论解答。 【设计意图】 使学生进一步理解二次根式的性质1、2. 六、小结作业 1.小结 问题:本节课主要学习些什么呢?谈一谈自己的收获以及自己对本节课的体会 本节课应掌握:
3 Www.chinaedu.com 求 a -b 的值. 2. 计算： （1）（ 0.5 ）2； （2）（ 3 7 2 ）2； （3）（ 2 2 a + b ）2 . 【活动方略】 学生独立思考、独立解题． 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程） 【设计意图】 检查学生对二次根式性质 1、2 的掌握情况. 五、应用拓展 例 3 计算 1．（ x +1 ）2（x≥0） 2．（ 2 a ）2 3．（ 2 a a + + 2 1 ）2 4．（ 2 4 12 9 x x − + ）2 分析： （1）因为 x≥0，所以 x+1>0； （2）a 2≥0； （3）a 2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x2 -12x+9=（2x）2 -2·2x·3+32=（2x-3）2≥0． 所以上面的 4 题都可以运用（ a ）2=a（a≥0）的重要结论解题． 解：（1）因为 x≥0，所以 x+1>0 （ x +1 ）2=x+1 （2）∵a 2≥0，∴（ 2 a ）2=a2 （3）∵a 2+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）2≥0，∴a 2+2a+1≥0 ，∴ 2 a a + + 2 1 =a2+2a+1 （4）∵4x2 -12x+9=（2x）2 -2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0 ∴4x2 -12x+9≥0，∴（ 2 4 12 9 x x − + ）2=4x2 -12x+9 例 4 在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3 【活动方略】 教师活动：操作投影，将例 3、例 4 显示，组织学生讨论． 学生活动：合作交流，讨论解答。 【设计意图】 使学生进一步理解二次根式的性质 1、2. 六、小结作业 1. 小结 问题：本节课主要学习些什么呢？谈一谈自己的收获以及自己对本节课的体会; 本节课应掌握：
10远程教育网 √a(a≥0)是一个非负数: (2)(√a)2=a(a≥0);反之:a=(√a)2(a≥0) 2.作业:课本P8习题21.1第2(1)、(②2)题,第4题,第7题 【活动方略】 教师引导学生归纳小结,学生反思学习和解决问题的过程. 学生独立完成作业,教师批改、总结 【设计意图】通过归纳总结,课外作业,使学生优化概念,内化知识
4 Www.chinaedu.com (1) a （a≥0）是一个非负数； (2）（ a ）2 =a（a≥0）;反之:a=（ a ）2（a≥0）． 2．作业：课本 P8 习题 21．1 第 2(1)、(2)题，第 4 题，第 7 题 【活动方略】 教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程． 学生独立完成作业，教师批改、总结． 【设计意图】通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识