全程设计 第六章 平面向量初步 6.1 平面向量及其线性运算 6.1.5向量的线性运算
第六章 平面向量初步 6.1 平面向量及其线性运算 6.1.5 向量的线性运算
课前·基础认知 课堂·重难突破
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导期 课前·基础认知 向量的加法与数乘向量的混合运算 【问题思考】 1汽车在一条笔直的公路上匀速向前行驶，由点O到点B,位移 是1000m,由点B到点C是3000m,由点C到点D是2000m, 则汽车行驶的总位移是多少？若设OB=A,则BC,CD与a有何关 系？0D呢？ 提示：6000m,方向由0到D;BC=3a,CD=2a,0D=6a=a+3a+2a
导航 课前·基础认知 一、向量的加法与数乘向量的混合运算 【问题思考】 1.汽车在一条笔直的公路上匀速向前行驶,由点O到点B,位移 是1 000 m,由点B到点C是3 000 m,由点C到点D是2 000 m, 则汽车行驶的总位移是多少?若设𝑶 𝑩 =a,则𝑩 𝑪 ,𝑪 𝑫 与 a 有何关 系?𝑶 𝑫 呢? 提示:6 000 m,方向由 O 到 D;𝑩 𝑪 =3a,𝑪 𝑫 =2a,𝑶 𝑫 =6a=a+3a+2a
导航 2.填空：一般地，对于实数2与w,以及向量a,b,有 (1)4a+ua= (2)2(a+b)= 3.上面的两个式子，反过来是否成立？ 提示：成立 4.做一做： 化简：3(a+2b)+a-4b. 解：原式=3a+6b+a-4b=(3+1)a+(6-4)b=4a+2b
导航 2.填空:一般地,对于实数λ与μ,以及向量a,b,有 (1)λa+μa= (λ+μ)a ; (2)λ(a+b)= λa+λb . 3.上面的两个式子,反过来是否成立? 提示:成立. 4.做一做: 化简:3(a+2b)+a-4b. 解:原式=3a+6b+a-4b=(3+1)a+(6-4)b=4a+2b
导 二、向量的线性运算 【问题思考】 1.从向量的加法、减法和数乘向量的几何意义看，3a-2b+4c是 否可以运算？如何运算？ 提示：可以.先求出3a-2b,所得向量再与4c求和 2.填空：(1)向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运 算，统称为向量的线性运算 (2)向量的线性运算，总规定要先计算 向量，再按从往 的顺序进行计算，若有括号，要先算 各项
导航 二、向量的线性运算 【问题思考】 1.从向量的加法、减法和数乘向量的几何意义看,3a-2b+4c是 否可以运算?如何运算? 提示:可以.先求出3a-2b,所得向量再与4c求和. 2.填空:(1)向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运 算,统称为向量的线性运算. (2)向量的线性运算,总规定要先计算数乘向量,再按从左往右 的顺序进行计算,若有括号,要先算括号内各项
导航、 3做一做： 计算：a-3b+2(b+a) 解：原式=a-3b+2b+2a=a+2a+2b-3b=3a-b
导航 3.做一做: 计算:a-3b+2(b+a). 解:原式=a-3b+2b+2a=a+2a+2b-3b=3a-b
导航 课堂·重难突破 探究一利用向量的线性运算化简 【例1】化简：6a-[4a-b-5(2a-3b)]+(a+7b) 分析：按向量线性运算的法则进行运算化简. 解：原式=6a-(4a-b-10a+15b)+(a+7b) =6a-(-6a+14b)+a+7b) =6a+6a-14b+a+7b =(6+6+1)a+(-14+7)b=13a-7b
导航 课堂·重难突破 探究一 利用向量的线性运算化简 【例1】化简:6a-[4a-b-5(2a-3b)]+(a+7b). 分析:按向量线性运算的法则进行运算化简. 解:原式=6a-(4a-b-10a+15b)+(a+7b) =6a-(-6a+14b)+(a+7b) =6a+6a-14b+a+7b =(6+6+1)a+(-14+7)b=13a-7b
导航、 反思感悟在进行向量的线性运算时，可类比代数中多项式的 运算，相当于多项式的加、减中的合并同类项
导航 反思感悟 在进行向量的线性运算时,可类比代数中多项式的 运算,相当于多项式的加、减中的合并同类项
【变式训练1】化简下列各式： 导航 (1)4(a+b)-3(a-b); (2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c; 3)号a-b)2a+4b)+号(2a+13b. 解：(1)4(a+b)-3(a-b)=4a-3a+4b+3b=a+7b. (2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c)=3a-6b+3c-2a-b+3c=a-7b+6c. 3a-b2a+4b)+品2a+13b) 名abab4a+2b 5 5033015 15 (作-号+)a+(号言+)b0a+0b-0+0-0
【变式训练 导航 1】化简下列各式: (1)4(a+b)-3(a-b); (2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c); (3)𝟐 𝟓 (a-b)- 𝟏 𝟑 (2a+4b)+ 𝟐 𝟏𝟓 (2a+13b). 解:(1)4(a+b)-3(a-b)=4a-3a+4b+3b=a+7b. (2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c)=3a-6b+3c-2a-b+3c=a-7b+6c. (3)𝟐 𝟓 (a-b)- 𝟏 𝟑 (2a+4b)+ 𝟐 𝟏𝟓 (2a+13b) = 𝟐 𝟓 a- 𝟐 𝟓 b- 𝟐 𝟑 a- 𝟒 𝟑 b+ 𝟒 𝟏𝟓 a+𝟐𝟔 𝟏𝟓 b = 𝟐 𝟓 - 𝟐 𝟑 + 𝟒 𝟏𝟓 a+ - 𝟐 𝟓 - 𝟒 𝟑 + 𝟐𝟔 𝟏𝟓 b=0a+0b=0+0=0
导 探究二利用向量的线性运算证明平行问题 【例2】在△ABC中，点D,E分别是AB,AC的中点，求证： DE I BC. 证明：如图，由向量减法的三角形法则， 得BC=AC-AB, E DE AE-AD-ZAC-TAB=(AC-AB), ∴DE=BC B D,E,B,C不在同一直线上，∴DE Il BC
导航 探究二 利用向量的线性运算证明平行问题 【例2】在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,求证: DE∥BC. 证明:如图,由向量减法的三角形法则, 得𝑩 𝑪 = 𝑨 𝑪 − 𝑨 𝑩 , 𝑫 𝑬 = 𝑨 𝑬 − 𝑨 𝑫 = 𝟏 𝟐 𝑨 𝑪 − 𝟏 𝟐 𝑨 𝑩 = 𝟏 𝟐 (𝑨 𝑪 − 𝑨 𝑩 ), ∴𝑫 𝑬 = 𝟏 𝟐 𝑩 𝑪 . ∵D,E,B,C不在同一直线上,∴DE∥BC