全程设计 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.3 指数函数与对数函数的关系
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.3 指数函数与对数函数的关系
课前·基础认知 课堂·重难突破
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导航 课前·基础认知 反函数 【问题思考】 1.函数=log2x的解析式可看作由y=2的解析式怎样变换得到？ 提示y=2 对调x,y 化为对数式 y=logzx. 2.函数y=与y=logx(a>0,且1)的定义域、值域有何关系？ 提示：函数y=心的定义域和值域恰为y=logx的值域和定义域
导航 课前·基础认知 一、反函数 【问题思考】 1.函数y=log2x的解析式可看作由y=2 x的解析式怎样变换得到? 提示:y=2 x x=2 y y=log2x. 2.函数y=ax与y=logax(a>0,且a≠1)的定义域、值域有何关系? 提示:函数y=ax的定义域和值域恰为y=logax的值域和定义域
导月 3.填空：一般地，如果在函数y=fx)中，给定值域中一个y的 值，只有 的x与之对应，那么是的函数，这个函数称为 yfx)的反函数此时，称y=fx)存在反函数而且，如果函数的自 变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数y=fx)的反函数的表 达式，可以通过对调=x)中的，然后从 中求出 得到. 4.做一做：函数y=2x的反函数是 答案之式
导航 3.填空:一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的 值,只有唯一的x与之对应,那么x 是 y 的函数,这个函数称为 y=f(x)的反函数.此时,称y=f(x)存在反函数.而且,如果函数的自 变量仍用x表示,因变量仍用y表示,则函数y=f(x)的反函数的表 达式,可以通过对调y=f(x)中的 x与y ,然后从x=f(y) 中求出 y 得到. 4.做一做:函数y=2x的反函数是 . 答案:y= 𝟏 𝟐 x
二、函数与其反函数图象之间的关系 【问题思考】 1.在同一坐标系内作出y=10和y=gx的图象，你能观察到它们 的图象有什么关系？ 提示：关于直线y=x对称 2.填空：一般地，函数y=fx)的反函数记作y=值得注意的 是y=fx)的定义域与y=fx)的 相同y=x)的值域与y= f1(x)的 相同，y=fx)与y=f1x)的图象关于直线 对称
导航 二、函数与其反函数图象之间的关系 【问题思考】 1.在同一坐标系内作出y=10x和y=lg x的图象,你能观察到它们 的图象有什么关系? 提示:关于直线y=x对称. 2.填空:一般地,函数y=f(x)的反函数记作y= f -1 (x) .值得注意的 是,y=f(x)的定义域与y=f-1 (x)的值域相同,y=f(x)的值域与y= f -1 (x)的定义域相同,y=f(x)与y=f-1 (x)的图象关于直线 y=x 对称
导航 3.做一做：(1)若y=2x的定义域为1,5，则y=l0g2x的值域 为 (2)若点(5,3)在y=f1x)的图象上，则点 必在y=x)的 图象上 答案：(1)[1,5(2)3,5)
导航 3.做一做:(1)若y=2 x的定义域为[1,5],则y=log2x的值域 为 . (2)若点(5,3)在y=f-1 (x)的图象上,则点 必在y=f(x)的 图象上. 答案:(1)[1,5] (2)(3,5)
导航 课堂·重难突破 探究一求反函数 【例1】求下列函数的反函数： (Ilog2x(2y=(（;3x6c≤0. 分析：由y=fx)入手，用y表示出x,再互换xy,最后标明反函数的 定义域
导航 课堂·重难突破 探究一 求反函数 【例1】求下列函数的反函数: (1)y=log2x;(2)y= 𝟏 𝟑 𝒙 ;(3)y=x2 (x≤0). 分析:由y=f(x)入手,用y表示出x,再互换x,y,最后标明反函数的 定义域
导航、 解：(1)由=l0g2x得x=2”,所以f1x)=2x 2)由(（)得gy且>0， 所以f'(x)=l0g1(>0) 3 3)由y=x2得x=士√少. 因为≤0，所以=√.所以f'x)=Vxx≥0)
导航 解 :(1) 由y=log 2x 得x= 2y ,所以f- 1 (x ) = 2 x . (2) 由 y= 𝟏𝟑 𝒙 得 x=lo 𝐠 𝟏𝟑y 且 y>0, 所以 f-1(x)=lo 𝐠 𝟏𝟑 x(x>0). (3) 由 y=x 2 得 x= ± 𝒚. 因为 x ≤0,所以 x=- 𝒚.所以 f-1(x)=- 𝒙(x ≥0)
导航 反思感悟求反函数的一般步骤 ()求值域：由函数y=fx)求y的范围. (2)解出x:由y=fx)解出x=f1),若求出的x不唯一，则要根据条 件中x的取值范围决定取舍，只取一个 (3)得反函数：将xy互换得y=f1x),注明定义域得反函数
导航 反思感悟 求反函数的一般步骤 (1)求值域:由函数y=f(x)求y的范围. (2)解出x:由y=f(x)解出x=f-1 (y).若求出的x不唯一,则要根据条 件中x的取值范围决定取舍,只取一个. (3)得反函数:将x,y互换得y=f-1 (x),注明定义域得反函数
导航 【变式训练1】求下列函数的反函数： (1)y=l0g1(k-1);(2)y=0.2+1(x≤1). 3 解(1=()+1x∈K): (2)y=l0g0.2x-1)x∈[1.2，+o)
导航 【变式训练1】求下列函数的反函数: (1)y=lo𝐠𝟏 𝟑 (x-1);(2)y=0.2 x +1(x≤1). 解:(1)y= 𝟏 𝟑 𝒙 +1(x∈R); (2)y=log0.2 (x-1),x∈[1.2,+∞)