全程设计 8.1.3 向量数量积的坐标运算
8.1.3 向量数量积的坐标运算
导航 课标定位素养阐释 1掌握向量数量积的坐标表达式 2.能进行向量数量积的坐标运算. 3.能运用数量积表示两个向量的夹角、计算向量的长度，判断 两向量是否垂直 4.加强逻辑推理能力和数学运算能力的培养
导航 课标定位 素养阐释 1.掌握向量数量积的坐标表达式. 2.能进行向量数量积的坐标运算. 3.能运用数量积表示两个向量的夹角、计算向量的长度,判断 两向量是否垂直. 4.加强逻辑推理能力和数学运算能力的培养
课前·基础认知 课堂·重难突破 随堂训练 思想方法
思 想 方 法 课前·基础认知 课堂·重难突破 随 堂 训 练
导航 课前·基础认知 向量数量积的坐标表示 【问题思考】 1.设i,j分别是xy轴正方向上的单位向量，若 a=1ityj,b=x2ity2jc1水2y1y2∈R),求ab. 提示：由题意知，==1，i1j, a-b=(xi+j)(xi+yj) xx2i2+xVij+yxji+yV2j2 =X12+yy2
导航 课前·基础认知 一、向量数量积的坐标表示 【问题思考】 1.设i,j分别是x,y轴正方向上的单位向量,若 a=x1 i+y1 j,b=x2 i+y2 j(x1 ,x2 ,y1 ,y2∈R),求a·b. 提示:由题意知,|i|=|j|=1,i⊥j, 故a·b=(x1 i+y1 j)·(x2 i+y2 j) =x1x2 i 2+x1 y2 i·j+y1x2 j·i+y1 y2 j 2 =x1x2+y1 y2
航 2.填空：(1)已知a=(x1y1),b=(x2,y2),则ab=;la2=aa= ;b12=bb=.当a,b都不是零向量时， cos x1x2+y12 、x好+y好+吃 (2)若点A61),B622),则AB(x2-x1)2+y2-y1)2. 3.做一做：若a=(0,-1),b=(1,1),则ab= ;cos= 答案：-1 ②
导航 2.填空:(1)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b= x1x2+y1y2 ; |a| 2 =a·a= 𝒙𝟏 𝟐 + 𝒚𝟏 𝟐 ;|b| 2 =b·b= 𝒙𝟐 𝟐 + 𝒚𝟐 𝟐 .当 a,b 都不是零向量时, cos= 𝒙𝟏 𝒙𝟐 +𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒙𝟏 𝟐 +𝒚𝟏 𝟐 𝒙𝟐 𝟐 +𝒚𝟐 𝟐 . (2)若点 A(x1,y1),B(x2,y2),则|𝑨 𝑩 |= (𝒙𝟐-𝒙𝟏) 𝟐 + (𝒚𝟐-𝒚𝟏) 𝟐 . 3.做一做:若a=(0,-1),b=(1,1),则a·b= ;cos= . 答案:-1 - 𝟐 𝟐
导 二、两向量垂直的坐标表示 【问题思考】 1.已知a=(c1y1),b=(化2y2),若a⊥b,则ab的坐标应满足什么条 件？ 提示x12tyy2=0. 2.填空：若a=(化1y1),b=(2y2),则aLb台 3.做一做：已知a=(-1,2),b=(3,m,若a⊥b,则实数m的值为 3 解析：：a⊥b,:-1×3+2×m0,:m之 答案号
导航 二、两向量垂直的坐标表示 【问题思考】 1.已知a=(x1 ,y1 ),b=(x2 ,y2 ),若a⊥b,则a·b的坐标应满足什么条 件? 提示:x1x2+y1 y2 =0. 2.填空:若a=(x1 ,y1 ),b=(x2 ,y2 ),则a⊥b⇔ x1x2+y1 y2 =0 . 3.做一做:已知a=(-1,2),b=(3,m),若a⊥b,则实数m的值为____. 解析:∵a⊥b,∴-1×3+2×m=0,∴m= 𝟑 𝟐 . 答案: 𝟑 𝟐
导 【思考辨析】 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√，错 误的画“X”, (1)若两个非零向量a=(化1y1),b=(化2y2)满足xy2x2y1=0,则向量 a,b的夹角为0°.() (2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.( 3)向量的模等于向量坐标的平方和.()
导航 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“ ”,错 误的画“×” . (1)若两个非零向量a=(x1 ,y1 ),b=(x2 ,y2 )满足x1 y2 -x2 y1 =0,则向量 a,b的夹角为0° .( × ) (2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.( √ ) (3)向量的模等于向量坐标的平方和.( × )
导航 课堂·重难突破 探究一数量积的坐标运算 【例1】已知向量a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1).求： (1)ab; 2)(a+b)(2a-b); (3)(a-b)c,a-(b-c). 分析：先求有关向量的坐标，再运用数量积坐标公式求值；也可 以借助数量积的运算律及数量积坐标公式求值
导航 课堂·重难突破 探究一数量积的坐标运算 【例1】已知向量a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1).求: (1)a·b; (2)(a+b)·(2a-b); (3)(a·b)·c,a·(b·c). 分析:先求有关向量的坐标,再运用数量积坐标公式求值;也可 以借助数量积的运算律及数量积坐标公式求值
导航、 解：(1)ab=(1,3)(2,5)=1X2+3X5=17. (2)a+b=(1,3)+2,5)=(3,8), 2a-b=2(1,3)-(2,5)=(2,6)-(2,5)=(0,1), .(a+b)(2a-b)=(3,8)(0,1)=3X0+8X1=8. (3)(ab)c=17c=17(2,1)=(34,17),a(bc)=a[(2,5)(2,1)川 =9(1,3)=(9,27)
导航 解:(1)a·b=(1,3)·(2,5)=1×2+3×5=17. (2)∵a+b=(1,3)+(2,5)=(3,8), 2a-b=2(1,3)-(2,5)=(2,6)-(2,5)=(0,1), ∴(a+b)·(2a-b)=(3,8)·(0,1)=3×0+8×1=8. (3)(a·b)·c=17c=17(2,1)=(34,17),a·(b·c)=a[(2,5)·(2,1)] =9(1,3)=(9,27)
导航 延伸探究 在例1的条件下，是否存在向量d,使ad=5,bd=9? 解：设存在d=(化，y)适合题意， 则有日=23y5。解二子 ad=x+3y=5, .·存在d=(2,1)使命题成立
导航 在例1的条件下,是否存在向量d,使a·d=5,b·d=9? 解:设存在 d=(x,y)适合题意, 则有 𝒂·𝒅 = 𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟓, 𝒃·𝒅 = 𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟗, 解得 𝒙 = 𝟐, 𝒚 = 𝟏. ∴存在 d=(2,1)使命题成立