全程设计 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.7数学建模活动：生长规律的描述
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.7 数学建模活动:生长规律的描述
一 数学建模的过程 1.发现问题、提出问题； 2.分析问题、建立模型； 3确定参数、计算求解； 4.验证结果、改进模型
一、数学建模的过程 1.发现问题、提出问题; 2.分析问题、建立模型; 3.确定参数、计算求解; 4.验证结果、改进模型
二、建立函数模型解决实际问题 【典例1】四个变量y1y23y4随变量x变化的数据如下表： 10 15 20 25 30 2 26 101 226 401 626 901 2 32 1024 32768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 3 2 10 20 30 40 50 60 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是
二、建立函数模型解决实际问题 【典例1】四个变量y1 ,y2 ,y3 ,y4随变量x变化的数据如下表: x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是
解析：指数型函数呈“爆炸式”增长，由所给表格知，四个变量 y12y3y4的值均是从2开始增长且越来越大，但是增长速度不 同，相比之下y2的增长速度最快，描出（化y2)的所有点，易知y2关 于x呈指数型函数变化 答案y2 反思感悟根据已知数据，选择适当函数.求解此类问题的关键 是弄清y随x的变化规律，考查了数据处理能力和直观想象能 力
解析:指数型函数呈“爆炸式”增长,由所给表格知,四个变量 y1 ,y2 ,y3 ,y4的值均是从2开始增长且越来越大,但是增长速度不 同,相比之下,y2的增长速度最快,描出(x,y2 )的所有点,易知y2关 于x呈指数型函数变化. 答案:y2 反思感悟 根据已知数据,选择适当函数.求解此类问题的关键 是弄清y随x的变化规律.考查了数据处理能力和直观想象能 力
【变式训练1】今有一组试验数据如下表所示，现准备用下列 函数中的一个模型来模拟这组数据满足的规律，其中最接近 试验数据的一个是( 2.0 3.0 4.0 5.1 6.0 1.5 4.04 7.5 12 18.01 2.1 A.y=log2t B.y= 2 cx-() D.y=2t- 答案：B
【变式训练1】今有一组试验数据如下表所示,现准备用下列 函数中的一个模型来模拟这组数据满足的规律,其中最接近 试验数据的一个是( ) t 2.0 3.0 4.0 5.1 6.0 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 A.y=log2t B.y= 𝒕 𝟐 -𝟏 𝟐 C.y= 𝟏 𝟐 𝒕 D.y=2t- 𝟓 𝟐 答案:B
【典例2】 发现问题、提出问题 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表： 身高如体重 60 7080 90 100 110 120130 140 150160 170 .1 7.9 9.912.115.017.520.926.8 38.847.2 55.0 31.11 g 3 0 6 5
【典例2】 发现问题、提出问题 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表: 身 高 /cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体 重 /kg 6.1 3 7.9 0 9.9 9 12.1 5 15.0 2 17.5 0 20.9 2 26.8 6 31.11 38.8 5 47.2 5 55.0 5
如果体重为相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8 倍为偏瘦，其他情况为正常，那么这个地区一个身高为175cm, 体重为78kg的在校未成年男生的体重是否正常？
如果体重为相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8 倍为偏瘦,其他情况为正常,那么这个地区一个身高为175 cm, 体重为78 kg的在校未成年男生的体重是否正常?
分析问题、建立模型 以身高为横坐标、体重为纵坐标，画出散点图，如图所示 y(体重/kg) 7 0003020 0 098品导8号8 0∞ 8988子88x(身高/cm) 根据点的分布特征，可考虑以y=b'作为刻画这个地区未成年 男性的体重与身高关系的函数模型
分析问题、建立模型 以身高为横坐标、体重为纵坐标,画出散点图,如图所示. 根据点的分布特征,可考虑以y=a·b x作为刻画这个地区未成年 男性的体重与身高关系的函数模型
确定参数、计算求解： 不妨取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入公式y=b, 得7.90=a670 (47.25=ab160 用计算器计算得1.98，b≈1.02，这样，我们就得到一个函数模 型y=1.98×1.02
确定参数、计算求解: 不妨取其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25),代入公式y=a·b x , 得 𝟕.𝟗𝟎 = 𝒂·𝒃 𝟕𝟎 , 𝟒𝟕.𝟐𝟓 = 𝒂·𝒃 𝟏𝟔𝟎 , 用计算器计算得a≈1.98,b≈1.02,这样,我们就得到一个函数模 型y=1.98×1.02x
验证结果、改进模型 将已知数据代入上述函数解析式，或作出函数y=1.98×1.02x 的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好， 这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关 系 将x=175代入y=1.98×1.02x,得y=1.98X1.02175, 由计算器算得y≈63.34，因为78÷63.341.23>1.2， 所以这个男生偏胖
验证结果、改进模型 将已知数据代入上述函数解析式,或作出函数y=1.98×1.02x 的图象,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好, 这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关 系. 将x=175代入y=1.98×1.02x ,得y=1.98×1.02175 , 由计算器算得y≈63.34,因为78÷63.34≈1.23>1.2, 所以这个男生偏胖