全程设计 8.1.2 向量数量积的运算律
8.1.2 向量数量积的运算律
导航 课标定位素养阐释 1.掌握向量数量积的运算律 2.能根据运算律解决一些向量数量积的运算问题， 3.加强逻辑推理能力和数学运算能力的培养
导航 课标定位 素养阐释 1.掌握向量数量积的运算律. 2.能根据运算律解决一些向量数量积的运算问题. 3.加强逻辑推理能力和数学运算能力的培养
课前·基础认知 课堂·重难突破 随堂训练 思想方法
思 想 方 法 课前·基础认知 课堂·重难突破 随 堂 训 练
导航 课前·基础认知 向量数量积的运算律 【问题思考】 1.实数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，向量的数量 积运算中，是否也有类似的性质？ 提示：有
导航 课前·基础认知 向量数量积的运算律 【问题思考】 1.实数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律,向量的数量 积运算中,是否也有类似的性质? 提示:有
导航 2.向量数量积的运算律： 1)交换律： (2)分配律： (3)数乘向量结合律：对任意实数2，有
导航 2.向量数量积的运算律: (1)交换律:a·b=b·a; (2)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c; (3)数乘向量结合律:对任意实数λ,有λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb)
导航 3.做一做：已知点A,B,C满足AB=3,BC=4,CA=5,则AB BC+BC.CA+CA·AB的值是( A.-25 B.25 C.-24 D.24 解析：由已知，AB2+BC2=CA2,.:AB⊥BC. .·原式=0+CA·(AB+BC=CA·AC=CA2=-25. 答案：A
导航 3.做一做:已知点 A,B,C 满足|𝑨 𝑩 |=3,|𝑩 𝑪 |=4,|𝑪 𝑨 |=5,则𝑨 𝑩 · 𝑩 𝑪 + 𝑩 𝑪 ·𝑪 𝑨 + 𝑪 𝑨 ·𝑨 𝑩 的值是( ) A.-25 B.25 C.-24 D.24 解析:由已知,AB2 +BC2 =CA2 ,∴𝑨 𝑩 ⊥ 𝑩 𝑪 . ∴原式=0+𝑪 𝑨 ·(𝑨 𝑩 + 𝑩 𝑪 )=𝑪 𝑨 ·𝑨 𝑪 =-𝑪 𝑨 𝟐 =-25. 答案:A
导航 【思考辨析】 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错 误的画“X”. (1)无论a,b是何向量，ab与ba必相等.() (2)a2-lbl2=(a+b)(a-b).( (3)(ab)c=a(bc).()
导航 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错 误的画“×” . (1)无论a,b是何向量,a·b与b·a必相等.( √ ) (2)|a| 2 -|b| 2=(a+b)·(a-b).( √ ) (3)(a·b)·c=a·(b·c).( × )
导航 课堂·重难突破 探究一向量数量积运算律的应用 【例1】已知a与b的夹角0=150°，且al=3,b=4,求(a+b)(a-2b) 分析：根据向量数量积的运算律求解即可 解：(a+b)(a-2b)=a2-ab-2b2 a2-allblcos 0-2 b2 =9-3X4Xc0s150°-2X42 =-23+6V3
导航 课堂·重难突破 探究一 向量数量积运算律的应用 【例1】已知a与b的夹角θ=150° ,且|a|=3,|b|=4,求(a+b)·(a-2b). 分析:根据向量数量积的运算律求解即可. 解:(a+b)·(a-2b)=a 2 -a·b-2b2 =|a| 2 -|a||b|cos θ-2|b| 2 =9-3×4×cos 150°-2×4 2 =-23+6√𝟑
了延伸探究 导航 在本例中，求a+2b的值， 解：.1a+2b2=(a+2b)2=a2+4b2+4ab =32+4X42+4X3X4Xc0s150° =9+64-24V3=73-24V3, la+2b=73-24W3. 反思感悟 根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类 似于多项式的乘法运算
导航 在本例中,求|a+2b|的值. 解:∵|a+2b| 2=(a+2b)2=a 2+4b2+4a·b =3 2+4×4 2+4×3×4×cos 150° =9+64-24√𝟑=73-24√𝟑, ∴|a+2b|= 𝟕𝟑-𝟐𝟒√𝟑. 反思感悟 根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类 似于多项式的乘法运算
导期 【变式训练1】已知a=4,bl=5,且向量a与b的夹角为60°，则 2a+3b)(3a-2b)= 解析：(2a+3b)(3a-2b)=6a2+5ab-6b2 =6X16+5X4X5X2-6X25=-4. 答案：4
导航 【变式训练1】已知|a|=4,|b|=5,且向量a与b的夹角为60° ,则 (2a+3b)·(3a-2b)= . 解析:(2a+3b)·(3a-2b)=6a2+5a·b-6b2 =6×16+5×4×5× -6×25=-4. 𝟏 𝟐 答案:-4