第二十一章一元二次方程周周测5 元二次方程的根与系数的关系 、选择题(共5小题,每小题3分,满分15分) 1.已知一元二次方程:x2-3x-1=0的两个根分别是x1、x2,则x12x2+xx2的值为( A.-3B.3C.-6D.6 2.已知a、β是方程2x2-3x-1=0的两个实数根,则(a-2)(B-2)的值是 13 3.设a、b是方程x2+x-2014=0的两个实数根,则a+2a+b的值为() A.2014B.20130.2012D.2011 4.小明和小华解同一个一元二次方程时,小明看错一次项系数,解得两根为2,-3,而小 华看错常数项,解错两根为-2,5,那么原方程为() A.x2-3x+6=0B 3x-6=0C.x23x-6=0D.x2+3x+6=0 5.关于方程式49x2-98x-1=0的解,下列叙述何者正确() A.无解B.有两正根 C.有两负根D.有一正根及一负根 二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分) 6.设x1,x2是方程4x2+3x-2=0的两根,则x1+x2 7.若关于x的方程2×2-mx+n=0的两根为-3和4,则m 8.已知x1、x2是方程2x2+14x-16=0的两实数根,那么+—的值为 1X2 9.设x1,x2是一元二次方程x2+5x-3=0的两根,且2x1(x2+6×2-3)+a=4,则a= 10.设a,B是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根,则a2+4a+B 11.若关于x的方程x2-5x+k=0的一个根是0,则另一个根是 12.若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长,且S△AC=3,请写出 个符合题意的一元二次方程 13.若方程x2-kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5,则k的值是 三,解答题
第二十一章 一元二次方程周周测 5 一元二次方程的根与系数的关系 一、选择题（共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 1．已知一元二次方程：x 2﹣3x﹣1=0 的两个根分别是 x1、x2，则 x1 2 x2+x1x2 2的值为（ ） A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6 2．已知 α、β 是方程 2x2﹣3x﹣1=0 的两个实数根，则（α﹣2）（β﹣2）的值是（ ） A． B． C．3 D． 3．设 a、b 是方程 x 2 +x﹣2014=0 的两个实数根，则 a 2 +2a+b 的值为（ ） A．2014 B．2013 C．2012 D．2011 4．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为 2，﹣3，而小 华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（ ） A．x 2﹣3x+6=0 B．x 2﹣3x﹣6=0 C．x 2+ 3x﹣6=0 D．x 2 +3x+6=0 5．关于方程式 49x2﹣98x﹣1=0 的解，下列叙述何者正确（ ） A．无解 B．有两正根 C．有两负根 D．有一正根及一负根 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 6．设 x1，x2是方程 4x2 +3x﹣2=0 的两根，则 x1+x2=______，x1x2=______． 7．若关于 x 的方程 2x2﹣mx+n=0 的两根为﹣3 和 4，则 m=______，n=______． 8．已知 x1、x2是方程 2x2 +14x﹣16=0 的两实数根，那么 的值为______． 9．设 x1，x2是一元二次方程 x 2 +5x﹣3=0 的两根，且 2x1（x2 2 +6x2﹣3）+a=4，则 a=______． 10．设 α，β 是一元二次方程 x 2 +3x﹣7=0 的两个根，则 α2 +4α+β=______． 11．若关于 x 的方程 x 2﹣5x+k=0 的一个根是 0，则另一个根是______，k=______． 12．若一个一元二次方程的两个根分别是 Rt△ABC 的两条直角边长，且 S△ABC=3，请写出一 个符合题意的一元二次方程______． 13．若方程 x 2﹣kx+6=0 的两根分别比方程 x 2 +kx+6=0 的两根大 5，则 k 的值是______． 三．解答题：
14.不解方程,写出方程的两根之和与两根之积 (1)3x2+2x-3=0 (2)x2+x=6x+7 15.已知实数a,b分别满足a3-6+41,b2-+4=0,且a≠b,求,的值 16.已知关于x的一元二次方程x2=2(1-m)x-m2的两实数根为x1,x2 (1)求m的取值范围; (2)设y=x1+x2,当y取得最小值时,求相应m的值,并求出最小值 17.已知一元二次方程x2-2x+m=0 (1)若方程有两个实数根,求m的范围; (2)若方程的两个实数根为x,x2,且x1+3×2=3,求m的值. 18.关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m2=0. (1)证明:方程总有两个不相等的实数根; (2)设这个方程的两个实数根为x1,x2,且|x=|×x2|-2,求m的值及方程的根 参考答案与试题解析 、选择题(共5小题,每小题3分满分15分)
14．不解方程，写出方程的两根之和与两根之积： （1）3x2 +2x﹣3=0 （2）x 2 +x=6x+7． 15．已知实数 a，b 分别满足 a 2﹣6a+4=0，b 2﹣6b+4=0，且 a≠b，求 + 的值． 16．已知关于 x 的一元二次方程 x 2 =2（1﹣m）x﹣m 2的两实数根为 x1，x2 （1）求 m 的取值范围； （2）设 y=x1+x2，当 y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值． 17．已知一元二次方程 x 2﹣2x+m=0． （1）若方程有两个实数根，求 m 的范围； （2）若方程的两个实数根为 x1，x2，且 x1+3x2=3，求 m 的值． 18．关于 x 的一元二次方程 x 2﹣（m﹣3）x﹣m 2 =0． （1）证明：方程总有两个不相等的实数根； （2）设这个方程的两个实数根为 x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求 m 的值及方程的根． 参考答案与试题解析 一、选择题（共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分）
1.已知一元二次方程:x2-3x-1=0的两个根分别是x1、x2,则x2×2+x1x2的值为( A.-3B.3C.-6D.6 【解答】解:∵一元二次方程:x2-3x-1=0的两个根分别是x1、x2, X+×2=3,x1·x2=-1, x12x2+x1×2=x2·(x+×2)=-1×3=-3 故选A 2.已知a、B是方程2x2-3x-1=0的两个实数根,则(a-2)(B-2)的值是() 3 【解答】解:因为a、β是方程2x2-3x-1=0的两个实数根 1 所以a+β 2QB= 又因为(a-2)(B-2) =aB-2(a+B)+4 2×÷+4 故选A 3.设a、b是方程x2+x-2014=0的两个实数根,则a2+2a+b的值为() A.2014B.2013c.2012D.2011 【解答】解:∵a是方程x+x-2014=0的实数根, a2+a-2014=0 a2+a=2014 ∴原式=2014+a+b, a、b是方程x2+x-2014=0的两个实数根, a+b=-1, ∴原式=2014-1=2013 故选B
1．已知一元二次方程：x 2﹣3x﹣1=0 的两个根分别是 x1、x2，则 x1 2 x2+x1x2 2的值为（ ） A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6 【解答】解：∵一元二次方程：x 2﹣3x﹣1=0 的两个根分别是 x1、x2， ∴x1+x2=3，x1•x2=﹣1， ∴x1 2 x2+x1x2 2 =x1x2•（x1+x2）=﹣1×3=﹣3． 故选 A． 2．已知 α、β 是方程 2x2﹣3x﹣1=0 的两个实数根，则（α﹣2）（β﹣2）的值是（ ） A． B． C．3 D． 【解答】解：因为 α、β 是方程 2x2﹣3x﹣1=0 的两个实数根， 所以 α+β= ，αβ=﹣ ， 又因为（α﹣2）（β﹣2） =αβ﹣2（α+β）+4 =﹣ ﹣2× +4 = ． 故选 A 3．设 a、b 是方程 x 2 +x﹣2014=0 的两个实数根，则 a 2 +2a+b 的值为（ ） A．2014 B．2013 C．2012 D．2011 【解答】解：∵a 是方程 x 2 +x﹣2014=0 的实数根， ∴a 2 +a﹣2014=0， ∴a 2 +a=2014， ∴原式=2014+a+b， ∵a、b 是方程 x 2 +x﹣2014=0 的两个实数根， ∴a+b=﹣1， ∴原式=2014﹣1=2013． 故选 B．
4.小明和小华解同一个一元二次方程时,小明看错一次项系数,解得两根为2,-3,而小 华看错常数项,解错两根为-2,5,那么原方程为() A.x2-3x+6=0B.x2-3x-6=0C.x2+3x-6=0D.x2+3x+6=0 【解答】解:小明看错一次项系数,解得两根为2,-3,两根之积正确;小华看错常数项, 解错两根为-2,5,两根之和正确, 故设这个一元二次方程的两根是a、β,可得:a·β=-6,a+B=-3, 那么以a、β为两根的一元二次方程就是x2-3x-6=0, 5.关于方程式49×2-98x-1=0的解,下列叙述何者正确() A.无解B.有两正根 C.有两负根D.有一正根及一负根 【解答】解:由判别式△>0,知方程有两个不相等的实数根, 又由根与系数的关系,知x+松、b X1·X2 所以有一正根及一负根. 故选 二、填空題(共8小题,每小题3分,满分24分) 6.设x,x是方程4x13x-20的两根,则x+_-3 X1X2二 【解答】解:x1,x2是方程4x2+3x-2=0的两根,则x+×4,松 故答案为 7.若关于x的方程2x2-mx+n=0的两根为-3和4,则m 【解答】解:由根与系数的关系得,-3+4=1,(-3)×4 解得:m=2,n=-24, 故答案为
4．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为 2，﹣3，而小 华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（ ） A．x 2﹣3x+6=0 B．x 2﹣3x﹣6=0 C．x 2+ 3x﹣6=0 D．x 2 +3x+6=0 【解答】解：小明看错一次项系数，解得两根为 2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项， 解错两根为﹣2，5，两根之和正确， 故设这个一元二次方程的两根是 α、β，可得：α•β=﹣6，α+β=﹣3， 那么以 α、β 为两根的一元二次方程就是 x 2﹣3x﹣6=0， 故选：B． 5．关于方程式 49x2﹣98x﹣1=0 的解，下列叙述何者正确（ ） A．无解 B．有两正根 C．有两负根 D．有一正根及一负根 【解答】解：由判别式△＞0，知方程有两个不相等的实数根， 又由根与系数的关系，知 x1+x2=﹣ =2＞0，x1•x2= =﹣ ＜0， 所以有一正根及一负根． 故选 D． 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 6．设 x1，x2是方程 4x2 +3x﹣2=0 的两根，则 x1+x2= ，x1x2= ﹣ ． 【解答】解：x1，x2是方程 4x2 +3x﹣2=0 的两根，则 x1+x2= ，x1x2=﹣ ． 故答案为： ，﹣ ． 7．若关于 x 的方程 2x2﹣mx+n=0 的两根为﹣3 和 4，则 m= 2 ，n= ﹣24 ． 【解答】解：由根与系数的关系得，﹣3+4= ，（﹣3）×4= 解得：m=2，n=﹣24， 故答案为：2，﹣24．
8.已知x1、x2是方程2x2+14x-16=0的两实数根,那么+—的值为_ 【解答】解:∵x1、x2是方程2x2+14×-16=0的两实数根, 根据韦达定理知,x+x2-7,x1x2-8, 2,x172-2×(-8)65 故答案是:65 9.设x,x2是一元二次方程x2+5x-3=0的两根,且2x,(x2+6x2-3)+a=4,则a=10 【解答】解:∵x2是一元二次方程x2+5x-3=0的根, 2x1(x2+6x2-3)+ 2x1·2+a=4, ∵x1,x2是一元二次方程x2+5x-3=0的两根 X,x2=-3 2×(-3)+a=4, 10.设a,B是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根,则a2+4a+β 【解答】解:∵a,β是一元二次方程x+3x-7=0的两个根, ∴a+B=-3,a+3a-7=0 ∴a+4a+B=a2+3a+a+β=7-3=4, 故答案为:4 11.若关于x的方程x2-5x+k=0的一个根是0,则另一个根是 【解答】解:设方程的另一个根为t 根据题意得0+t=5,0t=k
8．已知 x1、x2是方程 2x2 +14x﹣16=0 的两实数根，那么 的值为 ﹣ ． 【解答】解：∵x1、x2是方程 2x2 +14x﹣16=0 的两实数根， ∴根据韦达定理知，x1+x2=﹣7，x1•x2=﹣8， ∴ = =﹣ ． 故答案是：﹣ ． 9．设 x1，x2是一元二次方程 x 2 +5x﹣3=0 的两根，且 2x1（x2 2 +6x2﹣3）+a=4，则 a= 10 ． 【解答】解：∵x2是一元二次方程 x 2 +5x﹣3=0 的根， ∴x2 2 +5x2﹣3=0， ∴x2 2 +5x2=3， ∵2x1（x2 2 +6x2﹣3）+a=4， ∴2x1•x2+a=4， ∵x1，x2是一元二次方程 x 2 +5x﹣3=0 的两根， ∴x1x2=﹣3， ∴2×（﹣3）+a=4， ∴a=10． 10．设 α，β 是一元二次方程 x 2 +3x﹣7=0 的两个根，则 α2 +4α+β= 4 ． 【解答】解：∵α，β 是一元二次方程 x 2 +3x﹣7=0 的两个根， ∴α+β=﹣3，α 2 +3α﹣7=0， ∴α2 +3α=7， ∴α 2 +4α+β=α2 +3α+α+β=7﹣3=4， 故答案为：4． 11．若关于 x 的方程 x 2﹣5x+k=0 的一个根是 0，则另一个根是 5 ，k= 0 ． 【解答】解：设方程的另一个根为 t， 根据题意得 0+t=5，0•t=k
所以t=5,k=0 故答案为5,0 12.若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长,且S△A=3,请写出一 个符合题意的一元二次方程x2-5×+6=0(答案不唯一) 【解答】解:∵一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长,且S△ABC=3, 一元二次方程的两个根的乘积为:3×2=6, 此方程可以为:x2-5x+6=0 故答案为:x2-5×+6=0(答案不唯一) 13.若方程x2-kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5,则k的值是5 【解答】解:设方程x2+kx+6=0的两根分别为a、b,则方程x2-kx+6=0的两根分别为a+5 b+5, 根据题意得a+b=-k,a+5+b+5=k, 所以10-k=k 解得k=5. 故答案为:5. 三。解谷题 14.不解方程,写出方程的两根之和与两根之积 (1)3x2+2x-3= (2)x2+x=6×+7 【解答】解:(1)设x1,x2是一元二次方程的两根, 2 所以x,+X2-3 (2)方程化为一般式为x2-5x-7=0 设x1,x2是一元二次方程的两根, 所以x+x2=5,x1x2=-7 15.已知实数a,b分别满足a2-6a+4=0,b2-6b+4=0,且a≠b,求一的值
所以 t=5，k=0． 故答案为 5，0． 12．若一个一元二次方程的两个根分别是 Rt△ABC 的两条直角边长，且 S△ABC=3，请写出一 个符合题意的一元二次方程 x 2﹣5x+6=0（答案不唯一） ． 【解答】解：∵一个一元二次方程的两个根分别是 Rt△ABC 的两条直角边长，且 S△ABC=3， ∴一元二次方程的两个根的乘积为：3×2=6， ∴此方程可以为：x 2﹣5x+6=0， 故答案为：x 2﹣5x+6=0（答案不唯一）． 13．若方程 x 2﹣kx+6=0 的两根分别比方程 x 2 +kx+6=0 的两根大 5，则 k 的值是 5 ． 【解答】解：设方程 x 2 +kx+6=0 的两根分别为 a、b，则方程 x 2﹣kx+6=0 的两根分别为 a+5， b+5， 根据题意得 a+b=﹣k，a+5+b+5=k， 所以 10﹣k=k， 解得 k=5． 故答案为：5． 三．解答题： 14．不解方程，写出方程的两根之和与两根之积： （1）3x2 +2x﹣3=0 （2）x 2 +x=6x+7． 【解答】解：（1）设 x1，x2是一元二次方程的两根， 所以 x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣1； （2）方程化为一般式为 x 2﹣5x﹣7=0， 设 x1，x2是一元二次方程的两根， 所以 x1+x2=5，x1x2=﹣7． 15．已知实数 a，b 分别满足 a 2﹣6a+4=0，b 2﹣6b+4=0，且 a≠b，求 + 的值．
【解答】解:∵a2-6a+4=0,b2-6+4=0,且a≠b, a,b可看作方程x2-6x+4=0的两根, ∴a+b=6,ab=4, 原式、2+b2()212-2×41 b 16.已知关于x的一元二次方程x2=2(1-m)x-m2的两实数根为x1,x2 (1)求m的取值范围; (2)设y=x1+x2,当y取得最小值时,求相应m的值,并求出最小值 【解答】解:(1)将原方程整理为x2+2(m-1)x+m2=0; 原方程有两个实数根 ∴△=[2(m-1)]2-4m2=-8m+4≥0,得m≤-; (2)∵x,x2为一元二次方程x2=2(1-m)x-m,即x2+2(m-1)x+m2=0的两根, yx1+x2=-2m+2,且m≤1 因而y随m的增大而减小,故当m时,取得最小值1. 17.已知一元二次方程x2-2x+m (1)若方程有两个实数根,求m的范围; (2)若方程的两个实数根为x,x2,且x+3x2=3,求m的值 【解答】解:(1)∵方程x2-2x+m0有两个实数根, ∴△=(-2)2-4m≥0 解得m≤1; (2)由两根关系可知,x1+x22,x·x2=m, 解方程组 x1+3x2=3 解得
【解答】解：∵a 2﹣6a+4=0，b 2﹣6b+4=0，且 a≠b， ∴a，b 可看作方程 x 2﹣6x+4=0 的两根， ∴a+b=6，ab=4， ∴原式= = = =7． 16．已知关于 x 的一元二次方程 x 2 =2（1﹣m）x﹣m 2的两实数根为 x1，x2 （1）求 m 的取值范围； （2）设 y=x1+x2，当 y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值． 【解答】解：（1）将原方程整理为 x 2 +2（m﹣1）x+m 2 =0； ∵原方程有两个实数根， ∴△=[2（m﹣1）] 2﹣4m2 =﹣8m+4≥0，得 m≤ ； （2）∵x1，x2为一元二次方程 x 2 =2（1﹣m）x﹣m 2，即 x 2 +2（m﹣1）x+m 2 =0 的两根， ∴y=x1+x2=﹣2m+2，且 m≤ ； 因而 y 随 m 的增大而减小，故当 m= 时，取得最小值 1． 17．已知一元二次方程 x 2﹣2x+m=0． （1）若方程有两个实数根，求 m 的范围； （2）若方程的两个实数根为 x1，x2，且 x1+3x2=3，求 m 的值． 【解答】解：（1）∵方程 x 2﹣2x+m=0 有两个实数根， ∴△=（﹣2） 2﹣4m≥0， 解得 m≤1； （2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m， 解方程组 ， 解得
18.关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m= (1)证明:方程总有两个不相等的实数根; (2)设这个方程的两个实数根为x1,x2,且|x1|=|x2|-2,求m的值及方程的根 【解答】解:(1)一元二次方程x2-(m-3)x-m2=0, ∴a=1,b=-(m-3)=3-m,c=-m2 △+b2-4=(3-m)2-4×1X(-m)=5m2-6m9=5(m-3)236 △>0 则方程有两个不相等的实数根; (2)∵x“x=-m≤0,x+x=m-3, X1,x2异号 又|x1|=1x2-2,即|x1|-|x2|=-2, 若x1>0,x20,上式化简得:-(x1+x2)=-2, +x2=m-3=2,即m=5, 方程化为x2-2×-25=0 解得:x=1-√26,x=1+√26
∴m=x1•x2= ． 18．关于 x 的一元二次方程 x 2﹣（m﹣3）x﹣m 2 =0． （1）证明：方程总有两个不相等的实数根； （2）设这个方程的两个实数根为 x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求 m 的值及方程的根． 【解答】解：（1）一元二次方程 x 2﹣（m﹣3）x﹣m 2 =0， ∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m 2， ∴△=b2﹣4ac=（3﹣m） 2﹣4×1×（﹣m 2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣ ） 2 + ， ∴△＞0， 则方程有两个不相等的实数根； （2）∵x1•x2= =﹣m 2≤0，x1+x2=m﹣3， ∴x1，x2异号， 又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2， 若 x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2， ∴m﹣3=﹣2，即 m=1， 方程化为 x 2 +2x﹣1=0， 解得：x1=﹣1+ ，x2=﹣1﹣ ， 若 x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2， ∴x1+x2=m﹣3=2，即 m=5， 方程化为 x 2﹣2x﹣25=0， 解得：x1=1﹣ ，x2=1+ ．