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earE 元二次方程ax2+bx+c=0a≠0)的求根公式: b±Vb2-4ac X (b24ac≥0) 2a
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式： x= a b b ac 2 4 2 − − (b2 -4ac≥ 0)
earE 解下列方程并完成填空: (1)x27x+12=0(2)x2+3x4-0(3)2x2+3x-2=0 方程 两根 两根和两根积 x2-7x+12=0 3 X 2 X1+X 2 X,X 4 7 12 x2+3x-4=0 3 2x2+3x-2=0 2
（1）x 2 -7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 (3) 2x2+3x-2=0 解下列方程并完成填空： 方程 两根 两根和 X1+x2 两根积 x1 x2 x1x2 x 2 -7x+12=0 x 2+3x-4=0 2x2+3x-2=0 3 4 7 12 1 - 4 -3 - 4 -2 -1 2 1 2 3 −
earE 元二次方程的根与系数的关系:(韦达定理) 如果方程ax2+bx+c=0a0)的两个根是x1,x2 b 那么x1+X2 X1X a 注:能用根与系数的关系的前提条件为b24ac≥
一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 , 那么x1+x2= , x1x2= a b − a c （韦达定理） 注：能用根与系数的关系的前提条件为b 2 -4ac≥0
earE 韦达是法国十六世纪最有影响的数学 家之一。第一个引进系统的代数符号 并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习 法律当过律师,后从事政治活动,当过 议会的议员,在对西班牙的战争中曾为 政府破译敌军的密码。韦达还致力于数 学研究,第一个有意识地和系统地使用 字母来表示已知数、未知数及其乘幂, 带来了代数学理论研究的重大进步。韦 达讨论了方程根的各种有理变换,发现 了方程根与系数之间的关系(所以人 韦达(1540-1603)把叙述一元二次方程根与系数关系的结 论称为“韦达定理”) 韦达在欧洲被尊称为“代数学之 父
韦达（1540－1603） 韦达是法国十六世纪最有影响的数学 家之一。第一个引进系统的代数符号， 并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习 法律当过律师，后从事政治活动，当过 议会的议员，在对西班牙的战争中曾为 政府破译敌军的密码。韦达还致力于数 学研究，第一个有意识地和系统地使用 字母来表示已知数、未知数及其乘幂， 带来了代数学理论研究的重大进步。韦 达讨论了方程根的各种有理变换，发现 了方程根与系数之间的关系（所以人们 把叙述一元二次方程根与系数关系的结 论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之 父”
earE 元二次方程根与系数关系的证明: 6+v6--4ac 6-v6 2-4aC XI 2a 2a 6+v6=-4ac 6-6=-4ac X1+x2= 2a 2a 26 b 2a 6+ 2-4aC 6-vb--4ac C 2a )2 (-b)2-(Vb2-4ac) 4aC一 2 4a
一元二次方程根与系数关系的证明： a b b ac x 2 4 2 1 − + − = a b b ac x 2 4 2 2 − − − = X1+x2= a b b ac 2 4 2 − + − a b b ac 2 4 2 − − − + = a b 2 − 2 = a b X1x2= a b b ac 2 4 2 − + − a b b ac 2 4 2 − − − ● = 2 4 2 4 ) 2 ( 2 ( ) a −b − b − ac = 2 4 4 a ac = a c
earE 推住论 如果方程x2+px+q=0的两根是 x1,x2,那么x1+x2-P TX1X2-9
如果方程x 2+px+q=0的两根是 x1 ， x2，那么x1+x2= , x1x2= －P q
同我行 例1、不解方程。求方程两根的和与两根的积 ①x2+3x-1=0②2x2-4x+1=0 解:①x+x2=-3x1·x2=-1 ②x1+x2=2 xX1·X 2 原方程可化为: 二次项不是1。可 以先把它化为1 x2-2x+-=0 2
例1、不解方程，求方程两根的和与两根的积： ① 2 x x + − = 3 1 0 2 ② 2 4 1 0 x x − + = 1 2 x x + = −3 1 2 x x = −1 1 2 x x + = 2 解：① ② 我能行1 原方程可化为： 0 2 1 2 2 x − x + = 2 1 x1 x2 = 二次项不是1，可 以先把它化为1
我行2 例2、已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2 求它的另一个根及的值。 解:原方程可化为:x2+=x-=0 想一想 55 还有其他 设方程的另一根是x,那么 方法吗? 2x 5 又∵(--)+2 °。k=-5[()+2]=-7 5 5 答:方程的另一个根是 k的值是-7 还可以把X=2代入方程的两边,求出
1 6 2 5 x = − 3 5[( ) 2] 7 5 ∴ k = − − + = − k 3 5 答：方程的另一个根是 − ， 的值是 −7 。 2 5 6 0 x kx + − = k 例2、已知方程 求它的另一个根及 的一个根是2 的值。 2 6 0 5 5 k 原方程可化为： x x + − = 想一想， 还有其他 方法吗？ 还可以把 x = 2 代入方程的两边，求出 k 解： 设方程的另一根是 x1 ，那么 1 3 5 ∴ x = − 3 ( ) 2 5 5 k 又∵ − + = − 我能行2
我能行3」 例3、不解方程。求一元二次方程2x2+3x-1=0 两个根的①平方和;②側数和 解:设方程的两根是、 ,+x x1·x 2 2 ①∵(x1+x2)2=x1+2xx2+x2 r +x r +x 2 2x,x 13 x2+x2=(-=)2-2×(-) x1十x (一)÷(-)=3 2 X, 2
1 2 3 2 x x + = − 1 2 1 2 x x = − 2 例3、不解方程，求一元二次方程 2 3 1 0 x x + − = 两个根的①平方和；②倒数和。 1 2 设方程的两根是 x x, ，那么 ① ② 解： 我能行3 2 1 2 2 2 1 2 (x1 + x2 ) = x + 2x x + x 1 2 2 1 2 2 2 2 x1 + x = (x + x ) − 2x x 4 13 ) 2 1 ) 2 ( 2 3 ( 2 2 2 2 x1 + x = − − − = 1 2 1 2 1 2 1 1 x x x x x x + + = ) 2 1 ) ( 2 3 = (− − = 3