22二次函数的图象与性质 第2课时二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质 学习目标 1.经历探索二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象的作法和性质的过程,进一步获得将表 格、表达式、图象三者联系起来的经验 2.会作出y=ax2和y=ax2+c的图象,并能比较它们与y=x2的异同,理解a与c对二次 函数图象的影响 3.能说出y=ax2+c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 体会二次函数是某些实际问题的数学模型 学习重点: 二次函数y=ax2、y=ax2+c的图象和性质,因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax2 bx+c的图象和性质的基础.我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标 最大(小值)、函数的增减性几个方面记忆分析 学习难点 由函数图象概括出y=ax2、y=ax2+c的性质.函数图象都由(1)列表,(2)描点、连线 三步完成.我们可根据函数图象来联想函数性质,由性质来分析函数图象的形状和位置 学习过程: 复习: 二次函数y=x2与y=-x2的性质 抛物线 2 y-x 付称轴 顶点坐杉 开口方向 位置 增减性 最值 问题引入: 你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗? 刹车距离与什么因素有关? 有研究表明:汽车在某段公路上行驶时,速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式: 晴天时:s=1y2:雨天时:s=y2,请分别画出这两个函数的图像 、动手操作、探究: 1.在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象
2.2 二次函数的图象与性质 第 2 课时 二次函数 y=ax2 和 y=ax2+c 的图象与性质 学习目标: 1．经历探索二次函数 y=ax2 和 y=ax2＋c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表 格、表达式、图象三者联系起来的经验． 2．会作出 y=ax2 和 y=ax2＋c 的图象，并能比较它们与 y=x2 的异同，理解 a 与 c 对二次 函数图象的影响． 3．能说出 y=ax2＋c 与 y=ax2 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型． 学习重点: 二次函数 y=ax 2、y=ax 2＋c 的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数 y=ax 2 ＋bx＋c 的图象和性质的基础．我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、 最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析． 学习难点: 由函数图象概括出 y=ax 2、y=ax 2＋c 的性质．函数图象都由（1）列表，（2）描点、连线 三步完成．我们可根据函数图象来联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置． 学习过程: 一、复习： 二次函数 y=x2 与 y=-x 2 的性质： 抛物线 y=x2 y=-x 2 对称轴 顶点坐标 开口方向 位置 增减性 最值 二、问题引入： 你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？ 刹车距离与什么因素有关？ 有研究表明:汽车在某段公路上行驶时，速度为 v(km/h)汽车的刹车距离 s(m)可以由公式： 晴天时： 2 100 1 s = v ；雨天时： 2 50 1 s = v ，请分别画出这两个函数的图像： 三、动手操作、探究： 1.在同一平面内画出函数 y=2x2 与 y=2x2+1 的图象
2在同一平面内画出函数y=3x2与y=3x2-1的图象。比较它们的性质,你可以得到什么结论? 四、例题 【例1】已知抛物线y=(m+1)xm2+m 开口向下,求m的值 【例2】在同一坐标系中,作出函数①=-3x,②=3x,③=2x,④=-2x2的图象, 并根据图象回答问题:(1)当x=2时,y=2x2比y=3x2大(或小)多少?(2)当x=-2时, y22比y=-3x2大(或小)多少? 【例3】有一座抛物线形拱桥,正常水位时,桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m.(1) 在如图所示的直角坐标系中,求出该抛物线的表达式;(2)在正常水位的基础上,当水位 上升h(m)时,桥下水面的宽度为d(m),求出将d表示为k的函数表达式:(3)设正常 水位时桥下的水深为2m,为保证过往船只顺利航行,桥下水面宽度不得小于18m,求水深 超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行 五、课后练习 抛物线y=-4x2-4的开口向 时,y有最 值 2.抛物线y=-3x2上两点A(x,-27),B(2,y),则x= 时,抛物线y=(m+1)x"+m+9开口向下,对称轴是在对 称轴左侧,y随x的增大而 在对称轴右侧,y随x的增大而 4.抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点为(2,b),则k= 5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,且经过点(-1,-2),则抛物线的表
2.在同一平面内画出函数y=3x 2与y=3x 2-1的图象。比较它们的性质，你可以得到什么结论？ 四、例题： 【例1】 已知抛物线 y=（m＋1）x m +m 2 开口向下，求 m 的值． 【例 2】在同一坐标系中，作出函数①y=－3x2，②y=3x2，③y= 2 1 x 2，④y=－ 2 1 x 2 的图象， 并根据图象回答问题：（1）当 x=2 时，y= 2 1 x 2 比 y=3x2 大（或小）多少？（2）当 x=－2 时， y=－ 2 1 x 2 比 y=－3x2 大（或小）多少？ 【例 3】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为 20m，拱顶距离水面 4m．（1） 在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位 上升 h（m）时，桥下水面的宽度为 d（m），求出将 d 表示为 k 的函数表达式；（3）设正常 水位时桥下的水深为 2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于 18m，求水深 超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行． 五、课后练习 1．抛物线 y=－4x2－4 的开口向 ，当 x= 时，y 有最 值，y= ． 2．抛物线 y=－3x2 上两点 A（x，－27），B（2，y），则 x= ，y= ． 3．当 m= 时，抛物线 y=（m＋1）x m +m 2 ＋9 开口向下，对称轴是 ．在对 称轴左侧，y 随 x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而 ． 4．抛物线 y=3x2 与直线 y=kx＋3 的交点为（2，b），则 k= ，b= ． 5．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表
达式为 6.在同一坐标系中,图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是 B 2x2 7.抛物线,y=4x2,y=-2x2的图象,开口最大的是() B. y=4x2 2x2 D.无法确定 对于抛物线y=3×和y=-3x2在同一坐标系里的位置,下列说法错误的是() A.两条抛物线关于x轴对称 B.两条抛物线关于原点对称 C.两条抛物线关于y轴对称 D.两条抛物线的交点为原点 9.二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的图象大致为( 0.已知函数y=ax2的图象与直线y=-x+4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第 象限内的交点相同,则a的值为( 1l.求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式: (1)y=ax2经过(1,2) (2)y=ax2与y=2x2的开口大小相等,开口方向相反 1 (3)=ax2与直线y=2x+3交于点(2,m) 12已知直线y=-2x+3与抛物线y=ax2相交于A、B两点,且A点坐标为(-3,m) (1)求a、m的值; (2)求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标; (3)x取何值时,二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小; (4)求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积
达式为 ． 6．在同一坐标系中，图象与 y=2x2 的图象关于 x 轴对称的是（ ） A．y= 2 1 x 2 B．y=－ 2 1 x 2 C．y=－2x2 D．y=－x 2 7．抛物线，y=4x2，y=－2x2 的图象，开口最大的是（ ） A．y= 4 1 x 2 B．y=4x2 C．y=－2x2 D．无法确定 8．对于抛物线 y= 3 1 x 2 和 y=－ 3 1 x 2 在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ） A．两条抛物线关于 x 轴对称 B．两条抛物线关于原点对称 C．两条抛物线关于 y 轴对称 D．两条抛物线的交点为原点 9．二次函数 y=ax2 与一次函数 y=ax＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ） 10．已知函数 y=ax2 的图象与直线 y=－x＋4 在第一象限内的交点和它与直线 y=x 在第 一象限内的交点相同，则 a 的值为（ ） A．4 B．2 C． 2 1 D． 4 1 11．求符合下列条件的抛物线 y=ax2 的表达式： （1）y=ax2 经过（1，2）； （2）y=ax2 与 y= 2 1 x 2 的开口大小相等，开口方向相反； （3）y=ax2 与直线 y= 2 1 x＋3 交于点（2，m）． 12.已知直线 y=－2x＋3 与抛物线 y=ax2 相交于 A、B 两点，且 A 点坐标为（－3，m）． （1）求 a、m 的值； （2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标； （3）x 取何值时，二次函数 y=ax2 中的 y 随 x 的增大而减小； （4）求 A、B 两点及二次函数 y=ax2 的顶点构成的三角形的面积．
13.如图,直线t经过A(3,0),B(0,3)两点,且与二次函数y=x2+1的图象, 在第一象限内相交于点C.求: (1)△AOC的面积; (2)二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积 14.有一座抛物线型拱桥,桥下面在正常水位AB时宽20m.水位上升3m,就达到警 戒线CD,这时,水面宽度为10m (1)在如图23-9所示的坐标系中求抛物线的表达式 (2)若洪水到来时,水位以每小时0.2m的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小 时才能到拱桥顶?
13．如图，直线ι经过 A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数 y=x2＋1 的图象， 在第一象限内相交于点 C．求： （1）△AOC 的面积； （2）二次函数图象顶点与点 A、B 组成的三角形的面积． 14．有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位 AB 时宽 20m．水位上升 3m，就达到警 戒线 CD，这时，水面宽度为 10m． （1）在如图 2-3-9 所示的坐标系中求抛物线的表达式； （2）若洪水到来时，水位以每小时 0．2m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小 时才能到拱桥顶？