25二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程 学习目标 体会二次函数与方程之间的联系:掌握用图象法求方程的近似根:理解二次函数图象与 x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,及何时方程有两个不等的实根,两 个相等的实根和没有实根;理解一元二次方程的根就是二次函数y=h(h是实数)图象交点 的横坐标 学习重点 本节重点把握二次函数图象与x轴(或y=h)交点的个数与一元二次方程的根的关系.掌 握此点,关键是理解二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴交点,即y=0,即ax2+bx+c=0,从 而转化为方程的根,再应用根的判别式,求根公式判断,求解即可,二次函数图象与x轴的 交点是二次函数的一个重要内容,在其考查中也有重要的地位 学习难点 应用一元二次方程根的判别式,及求根公式,来对二次函数及其图象进行进一步的理 解.此点一定要结合二次函数的图象加以记忆 学习过程 实例讲解: 我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式 h=-5t2v0t+h0表示,其中ho(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面 以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么 (1).h和t的关系式是什么? (2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流. 在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题: (1).每个图象与x轴有几个交点? (2).一元二次方程?x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根 (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么 关系?
2.5 二次函数与一元二次方程 第 1 课时 二次函数与一元二次方程 学习目标: 体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两 个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数 y=h（h 是实数）图象交点 的横坐标． 学习重点: 本节重点把握二次函数图象与 x 轴（或 y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系．掌 握此点，关键是理解二次函数 y=ax 2＋bx＋c 图象与 x 轴交点，即 y=0，即 ax 2＋bx＋c=0，从 而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，二次函数图象与 x 轴的 交点是二次函数的一个重要内容，在其考查中也有重要的地位． 学习难点: 应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理 解．此点一定要结合二次函数的图象加以记忆． 学习过程: 一、实例讲解： 我们已经知道,竖直上抛物体的高度 h(m)与运动时间 t(s)的关系可用公式 h=-5t2+v0t+h0 表示,其中 h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面 以 40m/s 的速度竖直向上抛出起,小球的高度 h(m)与运动时间 t(s)的关系如图所示,那么 (1).h 和 t 的关系式是什么？ (2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流. 二、议一议： 在同一坐标系中画出二次函数 y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2 的图象并回答下列问题： (1).每个图象与 x 轴有几个交点？ (2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0 有几个根?验证一下一元二次方程 x2-2x+2=0 有根 吗? (3).二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根有什么 关系?
三、例题: 【例1】已知二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围为 【例2】抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-3,0),对称轴为x=-1,顶点C到x轴的 距离为2,求此抛物线表达式 【例5】有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点 甲:对称轴是直线x=4 乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数 丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三点为顶点的三角形面积为3 请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式 四、随堂练习 1.求下列二次函数的图象与x轴交点坐标,并作草图验证 (1)y=x2-2x:(2)y=x2-2x-3 2.你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴何时有两个 交点、一个交点,何时没有交点? 五、课后练习 1.抛物线y=a(x-2)(x+5)与x轴的交点坐标为 2.已知抛物线的对称轴是x=-1,它与x轴交点的距离等于4,它在y轴上的截距是 6,则它的表达式为
三、例题： 【例 1】已知二次函数 y=kx2－7x－7 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围为 ． 【例 2】抛物线 y=ax 2＋bx＋c 与 x 轴交于点 A（－3，0），对称轴为 x=－1，顶点 C 到 x 轴的 距离为 2，求此抛物线表达式． 【例 5】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线 x=4； 乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与 y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为 3． 请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式 ． 四、随堂练习： 1．求下列二次函数的图象与 x 轴交点坐标，并作草图验证． （1）y=x 2－2x；（2）y=x 2－2x－3． 2．你能利用 a、b、c 之间的某种关系判断二次函数 y=ax 2＋bx＋c 的图象与 x 轴何时有两个 交点、一个交点，何时没有交点？ 五、课后练习： 1．抛物线 y=a（x－2）（x＋5）与 x 轴的交点坐标为 ． 2．已知抛物线的对称轴是 x=－1，它与 x 轴交点的距离等于 4，它在 y 轴上的截距是 －6，则它的表达式为 ．
3.若a>0,b>0,c>0,△>0,那么抛物线y=ax2+bx+c经过 象限. 4.抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是 5.若抛物线y=2x2-(m+3)x-m+7的对称轴是x=1,则m= 6.抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个交点,则m= 7.已知抛物线y=ax2+bx+c的系数有a-b+c=0,则这条抛物线经过点 8.二次函数y=kx2+3x-4的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围」 9.抛物线y=x-2√ax+a2的顶点在直线y=2上,则a的值是_ 10.抛物线y=3x2+5x与两坐标轴交点的个数为( A.3个 B.2个 C.1个 无 1l.0如图1所示,函数y=ax2-bx+c的图象过(-1,0),则b+c×b+5b的 值是( 2 12.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2所示, 则下列关系正确的是() 图 图 A.0< <1B.0< 2a2C.1< 13.已知二次函数y=x2+mx+m-2.求证:无论m取何实数,抛物线总与x轴有两个 14.已知二次函数y=x2-2kx+k2+k-2 (1)当实数k为何值时,图象经过原点? (2)当实数k在何范围取值时,函数图象的顶点在第四象限内?
3．若 a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线 y=ax 2＋bx＋c 经过 象限． 4．抛物线 y=x 2－2x＋3 的顶点坐标是 ． 5．若抛物线 y=2x2－（m＋3）x－m＋7 的对称轴是 x=1，则 m= ． 6．抛物线 y=2x2＋8x＋m 与 x 轴只有一个交点，则 m= ． 7．已知抛物线 y=ax 2＋bx＋c 的系数有 a－b＋c=0，则这条抛物线经过点 ． 8．二次函数 y=kx2＋3x－4 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围 ． 9．抛物线 y=x 2－2 a x＋a 2 的顶点在直线 y=2 上，则 a 的值是 ． 10．抛物线 y=3x2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ） A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．无 11．如图 1 所示，函数 y=ax 2－bx＋c 的图象过（－1，0），则 a b c c a b b c a + + + + + 的 值是（ ） A．－3 B．3 C． 2 1 D．－ 2 1 12．已知二次函数 y=ax 2＋bx＋c 的图象如图 2 所示， 则下列关系正确的是（ ） A．0＜－ a b 2 ＜1 B．0＜－ a b 2 ＜2 C．1＜－ a b 2 ＜2 D．－ a b 2 =1 13．已知二次函数 y=x 2＋mx＋m－2．求证：无论 m 取何实数，抛物线总与 x 轴有两个 交点． 14．已知二次函数 y=x 2－2kx＋k 2＋k－2． （1）当实数 k 为何值时，图象经过原点？ （2）当实数 k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
15.已知抛物线y=mx2+(3-2m)x+m-2(m≠0)与x轴有两个不同的交点 (1)求m的取值范围 (2)判断点P(1,1)是否在抛物线上 (3)当m=1时,求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标 并过P′、Q、P三点,画出抛物线草图
15．已知抛物线 y=mx 2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与 x 轴有两个不同的交点． （1）求 m 的取值范围； （2）判断点 P（1，1）是否在抛物线上； （3）当 m=1 时，求抛物线的顶点 Q 及 P 点关于抛物线的对称轴对称的点 P′的坐标， 并过 P′、Q、P 三点，画出抛物线草图．