第16讲等腰、等边及直角三角形 知识清单梳理 [知识点一:等腰和等边三角形 关键点拨与对应举例 (1)性质 (1)三角形中“垂线、角平分线 ①等边对等角:两腰相等,底角相等,即AB=AC→∠B=∠C; 中线、等腰”四个条件中,只要 满足其中两个,其余均成立.如 ②三线合一:顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高 如左图,已知AD⊥BCD为BC 1.等腰互相重合 的中点,则三角形的形状是等屡 三角形 ③对称性:等腰三角形是轴对称图形,直线AD是对称轴 失分点警示:当等腰三角形的 (2)判定 腰和底不明确时,需分类讨论.如 若等腰三角形ABC的一个内角为 ①定义:有两边相等的三角形是等腰三角形; 30°,则另外两个角的度数为 ②等角对等边:即若∠B=∠C,则△ABC是等腰三角形 30°、120°或75°、75 (1)性质 ①边角关系:三边相等,三角都相等且都等于60° (1)等边三角形是特殊的等腰 角形,所以等边三角形也满足 即AB=BC=AC,∠BAC=∠B=∠C=60° ②对称性:等边三角形是轴对称图形,三条高线(或角 线合一”的性质 2.等边 平分线或中线)所在的直线是对称轴 (2)等边三角形有一个特殊的角 60°,所以当等边三角形出现 三角形(2)判定 高时,会结合直角三角形30 ①定义:三边都相等的三角形是等边三角形 角的性质,即BD=1D2AB ②三个角都相等(均为60°)的三角形是等边三角形 ③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形即若AB=AC,且∠B=/:△ABC中,∠B=60,AB=AC 60°,则△ABC是等边三角形 BC=3,则△ABC的周长为9 知识点二:角平分线和垂直平分线 (1)性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.即若 例:如图,△ABC中,∠C=909 分线()判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平430AB的垂直平分线交C 3.角平 ∠1=∠2,PA⊥OA,PB⊥OB,则PA=PB 于D,交AB于E,CD=2,则AC=6 分线上 4.垂直(1)性质:线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距 平分离相等.即若OP垂直且平分AB,则PA=PB 线图(2)判定:到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂 形直平分线上 知识点三直角三角形的判定与性质 (1)两锐角互余即∠A+∠B=90° (1)直角三角形的面积 (2)30°角所对的直角边等于斜边的一半即若∠B=30°则AC=AB S=12ch=2ab(其中ab为直角 5.直角 边,c为斜边,h是斜边上的高) 三角形(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半.即若CD是中线,则 可以利用这一公式借助面积这个 的性质 CD=-AB 中间量解决与高相关的求长度问 (4/股定理:两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.即 a+b=c (2)已知两边,利用勾股定理求
第 16 讲 等腰、等边及直角三角形 一、 知识清单梳理 知识点一：等腰和等边三角形 关键点拨与对应举例 1. 等 腰 三 角 形 （1）性质 ①等边对等角：两腰相等，底角相等，即 AB＝AC ∠B＝∠C； ②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高 互相重合; ③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线 AD 是对称轴. （2）判定 ①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形； ②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC 是等腰三角形. （1）三角形中“垂线、角平分线、 中线、等腰”四个条件中，只要 满足其中两个，其余均成立. 如： 如左图，已知 AD⊥BC,D 为 BC 的中点，则三角形的形状是等腰 三角形. 失分点警示：当等腰三角形的 腰和底不明确时，需分类讨论. 如 若等腰三角形 ABC 的一个内角为 30°，则 另外 两个角 的度数为 30°、120°或 75°、75°. 2. 等 边 三角形 （1）性质 ①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于 60°. 即 AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°； ②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角 平分线或中线)所在的直线是对称轴. （2）判定 ①定义：三边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等（均为 60°）的三角形是等边三角形； ③任一内角为 60°的等腰三角形是等边三角形.即若 AB＝AC，且∠B＝ 60°，则△ABC 是等边三角形. （1）等边三角形是特殊的等腰三 角形，所以等边三角形也满足 “三线合一”的性质. （2）等边三角形有一个特殊的角 60°，所以当等边三角形出现 高时，会结合直角三角形 30° 角的性质，即 BD=1/2AB. 例：△ABC 中，∠B=60°，AB=AC， BC=3，则△ABC 的周长为 9. 知识点二 ：角平分线和垂直平分线 3. 角 平 分线 （1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若 ∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则 PA＝PB. （2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平 分线上． 例：如图，△ABC 中，∠C=90°， ∠A=30°，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，交 AB于 E，CD=2，则AC=6. 4. 垂 直 平 分 线 图 形 （1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距 离相等．即若 OP 垂直且平分 AB，则 PA＝PB. （2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂 直平分线上． 知识点三：直角三角形的判定与性质 5. 直 角 三角形 的性质 (1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°； (2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则 AC＝ 1 2 AB； (3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若 CD 是中线，则 CD＝ 1 2 AB. (4)勾股定理：两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方．即 a 2＋b 2＝c 2 . （ 1 ） 直 角 三 角 形 的 面 积 S=1/2ch=1/2ab(其 中 a,b 为直角 边，c 为斜边，h 是斜边上的高)， 可以利用这一公式借助面积这个 中间量解决与高相关的求长度问 题. （2）已知两边，利用勾股定理求 2 1 P C O B A P C A O B D A C B a b c
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形即若∠C=90°,则 长度,若斜边不明确,应分类讨 6.直角△ABC是Rt△ 三角(2)如果三角形一条边的中线等于这条边的一半,那么这个三角 (3)在折叠问题中,求长度,往 形的形是直角三角形.即若AD=BD=CD,则△ABC是Rt△ 往需要结合勾股定理来列方程解 判定(3)勾股定理的逆定理:若2+b2=,则△ABC是Rt△
6. 直 角 三 角 形 的 判定 (1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则 △ABC 是 Rt△； (2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角 形是直角三角形．即若 AD＝BD＝CD，则△ABC 是 Rt△ (3) 勾股定理的逆定理：若 a 2＋b 2＝c 2，则△ABC 是 Rt△. 长度，若斜边不明确，应分类讨 论. （3）在折叠问题中，求长度，往 往需要结合勾股定理来列方程解 决. D A C B a b c