第10讲一次函数 知识清单梳理 [知识点一:一次函数的概念及其图象、性质 关键点拨与对应举例 (1)概念:一般来说,形如y=kx+b(k0)的函数叫做一次函数.特别地,当b=0 时,称为正比例函数. 例:当k=⊥时,函数y=kx+k 1.一次函数的 (2)图象形状:一次函数y=kx+b是一条经过点(.)和(b/k0)的直线特别地,1是正比例函数 相关概念正比例函数y=k的图象是一条恒经过点()的直线 k,bK>0. K>0,b=0k0, (1)一次函数y=kx+b中,k确 符号b>0 定了倾斜方向和倾斜程度,b确定 大致 了与y轴交点的位置 图象 (2)比较两个一次函数函数值的 2.一次函数 大小:性质法,借助函数的图象, 的性质 、四也可以运用数值代入法 四 例:已知函数y=-2x+b,函数值 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 y随x的增大而减小填“增大”或 性质 “减小”) (1)交点坐标:求一次函数与x轴的交点,只需令y=解出x即可;求与y轴的交点,例 3一次函数与只需令x=求出y即可故一次函数y=kx+bk0)的图象与x轴的交点是一次函数y=x+2与x轴交点的 坐标轴交( b 坐标是(-2,0),与y轴交点的坐 0),与y轴的交点是(0,b) 标是(0,2) 点坐标 (2)正比例函数y=k(k+0)的图象恒过点(0,0) 知识点二:确定一次函数的表达式 (1)常用方法:待定系数法,其一般步骤为: (1)确定一次函数的表达式需要两 ①设:设函数表达式为y=kx+(k0) 组条件,而确定正比例函数的表 ②代:将已知点的坐标代入函数表达式,解方程或方程组 达式,只需一组条件即可 王确定一次函③解:求出k与b的值,得到函数表达式 (2)只要给出一次函数与y轴交点 数表达式/(2)常见类型 ①已知两点确定表达式:②已知两对函数对应值确定表达式 坐标即可得出b的值,b值为其纵 的 条件 坐标,可快速解题.如:已知一次 ③平移转化型:如己知函数是由y=2x平移所得到的,且经过点(0,1),则可设要 函数经过点(0,2),则可知b=2. 求函数的解析式为y=2x+b,再把点(0,1)的坐标代入即可 规律:①一次函数图象平移前后k不变,或两条直线可以通过平移得到,则可知它们例:将一次函数y=2x+4的图象 5.一次函数图 的k值相同 向下平移2个单位长度,所得图 象的平移 ②若向上平移h单位,则b值增大h:若向下平移h单位,则b值减小h 象的函数关系式为y=-2x+2 知识点三:一次函数与方程(组)不等式的关系 6.次函数与方一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=-kx+b(k、b是常数,k≠0)的图象x/匈 (1)已知关于ⅹ的方程ax+b=0 轴交点的横坐标 的解为x=1,则函数y=ax+b与x 7.一次函数与方 三元一次方程∫y=X+b的解两个一次函数y=kx+b和y=kx+b图象的交轴的交点坐标为 点坐标 y=k2x+b (2)一次函数y=-3x+12中,当x 程组 ≥4时,y的值为负数
第 10 讲 一次函数 一、 知识清单梳理 知识点一 ：一次函数的概念及其图象、性质 关键点拨与对应举例 1.一次函数的 相关概念 （1）概念：一般来说，形如 y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当 b ＝0 时，称为正比例函数． （2）图象形状：一次函数 y＝kx＋b 是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地， 正比例函数 y＝kx 的图象是一条恒经过点（0,0）的直线. 例：当 k＝1 时，函数 y＝kx＋k－ 1 是正比例函数, 2. 一次函数 的性质 k，b 符号 K＞0， b＞0 K＞0， b＜0 K＞0，b=0 k0 k<0， b<0 k<0， b＝0 （1）一次函数 y=kx+b 中，k 确 定了倾斜方向和倾斜程度，b 确定 了与 y 轴交点的位置. （2）比较两个一次函数函数值的 大小：性质法，借助函数的图象， 也可以运用数值代入法. 例：已知函数 y=－2x＋b，函数值 y 随 x 的增大而减小(填“增大”或 “减小”)． 大致 图象 经 过 象限 一、二、三 一、三、 四 一、三 一、二、 四 二、三、 四 二、四 图 象 性质 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小 3.一次函数与 坐标轴交 点坐标 (1)交点坐标：求一次函数与 x 轴的交点，只需令 y=0,解出 x 即可；求与 y 轴的交点， 只需令 x=0,求出 y 即可.故一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象与 x 轴的交点是 (－ ) b k ，0 ，与 y 轴的交点是(0，b)； (2)正比例函数 y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)． 例： 一次函数 y＝x＋2 与 x 轴交点的 坐标是（-2,0），与 y 轴交点的坐 标是（0,2）. 知识点二 ：确定一次函数的表达式 4.确定一次函 数表达式 的条件 （1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为： ①设：设函数表达式为 y＝kx＋b(k≠0)； ②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； ③解：求出 k 与 b 的值，得到函数表达式． （2）常见类型： ①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由 y=2x 平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要 求函数的解析式为 y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可. (1)确定一次函数的表达式需要两 组条件，而确定正比例函数的表 达式，只需一组条件即可. (2)只要给出一次函数与 y 轴交点 坐标即可得出 b 的值,b 值为其纵 坐标，可快速解题. 如:已知一次 函数经过点（0,2），则可知 b=2. 5.一次函数图 象的平移 规律：①一次函数图象平移前后 k 不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们 的 k 值相同. ②若向上平移 h 单位，则 b 值增大 h；若向下平移 h 单位，则 b 值减小 h. 例：将一次函数 y=-2x+4 的图象 向下平移 2 个单位长度，所得图 象的函数关系式为 y=-2x+2． 知识点三 ：一次函数与方程（组）、不等式的关系 6.一次函数与方 程 一元一次方程 kx+b=0 的根就是一次函数 y=kx+b（k、b 是常数，k≠0）的图象与 x 轴交点的横坐标. 例： （1）已知关于 x 的方程 ax+b=0 的解为 x=1,则函数 y=ax+b 与 x 轴的交点坐标为（1,0）. （2）一次函数 y=-3x+12 中，当 x ＞4 时，y 的值为负数． 7.一次函数与方 程组 二元一次方程组 的解 两个一次函数 y=k1x+b 和 y=k2x+b 图象的交 点坐标. y=k2x+b y=k1x+b
(1)函数y=kx+b的函数值y>0时,自变量x的取值范围就是不等式kx+b>0的 8.次函数与 (2)函数y=kx+b的函数值y<0时,自变量x的取值范围就是不等式kx+b<0的 不等式 解集 知识点四:一次函数的实际应用 (1)设出实际问题中的变量 9.一般步骤 (2)建立一次函数关系式: 次函数本身并没有最值,但 (3)利用待定系数法求出一次函数关系式 在实际问题中,自变量的取值 (4)确定自变量的取值范围 往往有一定的限制,其图象为 (5)利用一次函数的性质求相应的值,对所求的值进行检验,是否符合实际意义 射线或线段涉及最值问题的 般思路:确定函数表达式→ (6)做答 确定函数增减性→根据自变 (1)求一次函数的解析式 10.常见题型 量的取值范围确定最值 (2)利用一次函数的性质解决方案问题
8. 一 次 函数 与 不等式 （1）函数 y=kx+b 的函数值 y＞0 时，自变量 x 的取值范围就是不等式 kx+b＞0 的 解集 （2）函数 y=kx+b 的函数值 y＜0 时，自变量 x 的取值范围就是不等式 kx+b＜0 的 解集 知识点四 ：一次函数的实际应用 9.一般步骤 （1）设出实际问题中的变量； （2）建立一次函数关系式； （3）利用待定系数法求出一次函数关系式； （4）确定自变量的取值范围； （5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义； （6）做答. 一次函数本身并没有最值，但 在实际问题中，自变量的取值 往往有一定的限制，其图象为 射线或线段.涉及最值问题的 一般思路：确定函数表达式→ 确定函数增减性→根据自变 10.常见题型 量的取值范围确定最值. （1）求一次函数的解析式. （2）利用一次函数的性质解决方案问题