第6讲一元二次方程 知识清单梳理 [知识点一:一元二次方程及其解法 关键点拨及对应举例 1.-元-(1)定义:只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程 例:方程ax“+2=0是关于x的 (2)一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2、bx、c分别叫做二次项 次方程的 次项、常数项,a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项 次方程,则方程的根为-1 相关概念 (1)直接开平方法:形如(x+m)2=m(n≥0)的方程,可直接开平方求解解一元二次方程时,注意观 (2)因式分解法:可化为(ax+m)(bx+n=0的方程,用因式分解法求解.察,先特殊后一般,即先考 2一元二(3)公式法一元二次方程a2+bx+c=0的求根公式为r=-V2-4ac虑能否用直接开平方法和因 次方程 式分解法,不能用这两种方法 (b2-4ac≥0) 的解法 解时,再用公式法 (4方法:当一元二次方程的二次项系数为1,一次项系数为偶数时,例:把方程×+6+3=0变形为 也可以考虑用配方法 (x+h)2=k的形式后,h=3k=6 知识点二:一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 例:方程x2+2x-1=0的判别式 (1)当4=b2-4ac0时,原方程有两个不相等的实数根 3.根的判()当4=b2-4ac-0时,原方程有两个相等的实数根 等于&,故该方程有两个不相等的 别式 实数根:方程x2+2x+3=0的判 (3)当4=b2-4ac≤0时,原方程没有实数根 别式等于二8,故该方程没有实数 (1)基本关系:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0)有两个根分与一元二次方程两根相关代数式的 别为x、x,则x+x2=baxx=注意运用根与系数关系的前提条件常见变形 4.根与系是△≥0 (x1+1)(x2+1)=xx2+(x1+x2)+1x2+x2 (2)解题策略:已知一元二次方程,求关于方程两根的代数式的值时,-+2x1,=5等 数的关 系 先把所求代数式变形为含有xx、xx的式子,再运用根与系数的失分成警示 关系求解 在运用根与系数关系解题时,注意 前提条件时△=b2-4ac≥0 [知识点三:一元二次方程的应用 (1)解题步骤:①审题;②设未知数:③列一元二次方程:④解 二次方程;⑤检验根是否有意义:;⑥作答 (2)应用模型:一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用 4列一元①平均增长率(降低率)问题:公式:b=a(1土xy,a表示基数,x表示运用一元二次方程解决实际 平均增长率(降低率),n表示变化的次数,b表示变化n次后的量:问题时,方程一般有两个实数 次方 ②利润问题:利润=售价成本:利润率=利润/成本×100 根,则必须要根据题意检验根 程解应 用题③传播、比赛问题 是否有意义 ④面积问题:a直接利用相应图形的面积公式列方程;b将不规则图形通 过割补或平移形成规则图形,运用面积之间的关系列方程
第 6 讲 一元二次方程 一、 知识清单梳理 知识点一：一元二次方程及其解法 关键点拨及对应举例 1. 一元二 次方程的 相关概念 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程． (2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中 ax2、bx、c 分别叫做二次项、 一次项、常数项，a、b、c 分别称为二次项系数、一次项系数、常数项． 例：方程 2 0 a ax + = 是关于 x 的 一元二次方程，则方程的根为－1. 2. 一元二 次方程 的解法 （1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解. ( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0 的方程，用因式分解法求解. ( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x= 2 4 2 b b ac a − − （b 2 -4ac≥0）. (4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为 1，一次项系数为偶数时， 也可以考虑用配方法． 解一元二次方程时，注意观 察， 先特殊后一般，即先考 虑能否用直接开平方法和因 式分解法，不能用这两种方法 解时，再用公式法. 例：把方程 x 2+6x+3=0 变形为 (x+h)2=k 的形式后，h=-3,k=6. 知识点二 ：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 3. 根 的 判 别式 (1)当 Δ＝ 2 b ac − 4 >0 时，原方程有两个不相等的实数根． (2)当 Δ＝ 2 b ac − 4 = 0 时，原方程有两个相等的实数根． (3)当 Δ＝ 2 b ac − 4 <0 时，原方程没有实数根． 例：方程 2 x x + − = 2 1 0 的判别式 等于 8，故该方程有两个不相等的 实数根；方程 2 x x + + = 2 3 0 的判 别式等于－8，故该方程没有实数 根. * 4.根与系 数的关 系 （1）基本关系：若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分 别为 x1、x2,则 x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件 是△≥0. （2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时， 先把所求代数式变形为含有 x1+x2、x1x2 的式子，再运用根与系数的 关系求解. 与一元二次方程两根相关代数式的 常见变形： (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x1 2+x2 2 =(x1+x2) 2 -2x1x2, 1 2 1 2 1 2 1 1 x x x x x x + + = 等. 失分点警示 在运用根与系数关系解题时，注意 前提条件时△=b2 -4ac≥0. 知识点三 ：一元二次方程的应用 4. 列一元 二次方 程解应 用题 （1）解题步骤：①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元 二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答． 运用一元二次方程解决实际 问题时，方程一般有两个实数 根，则必须要根据题意检验根 是否有意义. （2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用. ①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x) n，a 表示基数，x 表示 平均增长率（降低率），n 表示变化的次数，b 表示变化 n 次后的量； ②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%； ③传播、比赛问题： ④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通 过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程