第11讲反比例函数的图象和性质 一、知识清单梳理 知识点一:反比例函数的概念及其图象、性质 关键点拨与对应举例 (1)定义:形如y=Tk#0)的函数称为反比例函数,k叫做比例系数,自变量的 例:函数y=3x!,当m=2时,则该 .反比例函 取值范围是韭笔的一切实数 函数是反比例函数 数的概念/(2)形式:反比例函数有以下三种基本形式 ②y=kx-1;③xy=k(其中k为常数,且k≠0) k的符号图象 经过象限 y随x变化的情况 (1)判断点是否在反比例函数图象上 的方法:①把点的横、纵坐标代入看是 图象经过第每个象限内,函数y的值否满足其解析式:②把点的横、纵坐标 三象限随x的增大而减小 相乘,判断其乘积是否等于k 2.反比例函 (x、y同号) 失分点警示 数的图象 (2)反比例函数值大小的比较时,首 和性质 图象经过第每个象限内,函数y的值先要判断自变量的取值是否同号,即是 四象限随x的增大而增大 否在同一个象限内,若不在则不能运用 (x、y异号) 性质进行比较,可以画出草图,直观地 (1)由两条曲线组成,叫做双曲线 3.反比例函(2)图象的两个分支都无限接近x轴和y轴,但都不会与x轴和y轴相交 例:若(a,b)在反比例函数y=-的图 数的图象(3)图象是中心对称图形,原点为对称中心也是轴对称图形,2条对称轴分象上,则(-a,-b在该函数图象上(填 特征 别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线 H不 4.待定系数 只需要知道双曲线上任意一点坐标,设函数解析式,代入求出反比例函数系数例:已知反比例函数图象过 k即可 1),则它的解析式是y=3 知识点二:反比例系数的几何意义及与一次函数的综合 (1)意义:从反比例函数=0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线,垂线失分点警示 已知相关面积,求反比例函数的表达 与坐标轴所围成的矩形面积为风以该点、一个垂足和原点为项点的三角形的式,注意若函数图象在第二、四象限 面积为1/2k 5.系数k的(2)常见的面积类型 例:已知反比例函数图象上任一点作坐 几何意义 标轴的垂线所围成矩形为3,则该反比 R产x 例函数解析式为:y=3或y=-3 S,EAmc I k I lkS△Aoc=lkl(OA=AO) (1)确定交点坐标:【方法一】已知一个交点坐标为(ab),则根据中心对称性,涉及与面积有关的问题时,①要善于把 可得另一个交点坐标为(a-b)【方法二】联立两个函数解析式,利用方程点的横、纵坐标转化为图形的边长 思想求解. 于不好直接求的面积往往可分割转化 6.与一次图(2)确定函数解析式:利用待定系数法,先确定交点坐标,再分别代入两个函为较好求的三角形面积②也要注意系 数的综合数解析式中求解 数k的几何意义 (3)在同一坐标系中判断函数图象:充分利用函数图象与各字母系数的关系
第 11 讲 反比例函数的图象和性质 一、 知识清单梳理 知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质 关键点拨与对应举例 1.反比例函 数的概念 （1）定义：形如 y＝ k x (k≠0)的函数称为反比例函数，k 叫做比例系数，自变量的 取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式： ①y＝ k x ；②y=kx-1; ③xy=k.(其中 k 为常数，且 k≠0) 例：函数 y=3xm+1，当 m=－2 时，则该 函数是反比例函数． 2.反比例函 数的图象 和性质 k 的符号 图象 经过象限 y 随 x 变化的情况 （1）判断点是否在反比例函数图象上 的方法：①把点的横、纵坐标代入看是 否满足其解析式；②把点的横、纵坐标 相乘，判断其乘积是否等于 k. 失分点警示 （2）反比例函数值大小的比较时，首 先要判断自变量的取值是否同号，即是 否在同一个象限内，若不在则不能运用 性质进行比较，可以画出草图，直观地 判断. k>0 图象经过第 一、三象限 （x、y 同号） 每个象限内，函数 y 的值 随 x 的增大而减小. k<0 图象经过第 二、四象限 （x、y 异号） 每个象限内，函数 y 的值 随 x 的增大而增大. 3.反比例函 数的图象 特征 （1）由两条曲线组成，叫做双曲线； （2）图象的两个分支都无限接近 x 轴和 y 轴，但都不会与 x 轴和 y 轴相交； （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2 条对称轴分 别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线． 例：若(a，b)在反比例函数 k y x = 的图 象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填 “在"、"不在") 4.待定系数 法 只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数 k 即可. 例：已知反比例函数图象过点（－3， －1），则它的解析式是 y=3/x. 知识点二 ：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合 5.系数 k 的 几何意义 （1）意义：从反比例函数 y＝ k x (k≠0)图象上任意一点向 x 轴和 y 轴作垂线，垂线 与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的 面积为 1/2|k|. （2）常见的面积类型： 失分点警示 已知相关面积，求反比例函数的表达 式，注意若函数图象在第二、四象限， 则 k＜0. 例：已知反比例函数图象上任一点作坐 标轴的垂线所围成矩形为 3，则该反比 例函数解析式为： 3 y x = 或 3 y x = − . 6.与一次函 数的综合 （1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性， 可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程 思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函 数解析式中求解 （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系， 涉及与面积有关的问题时，①要善于把 点的横、纵坐标转化为图形的边长，对 于不好直接求的面积往往可分割转化 为较好求的三角形面积；②也要注意系 数 k 的几何意义
可采用假设法,分k>0和k<0两种情况讨论,看哪个选项符合要求即可.例:如图所示,三个阴影部分的面积按 也可逐一选项判断、排除 从小到大的顺序排列为:SAOC= SCOPE (4)比较函数值的大小:主要通过观察图象,图象在上方的值大,图象在下方≥SABo 的值小,结合交点坐标,确定出解集的范 知识点三:反比例函数的实际应用 (1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系 7.一般步(2设出函数表达式 (3)依题意求解函数表达式 骤 (4)根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题
可采用假设法，分 k＞0 和 k＜0 两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可. 也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方 的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 例：如图所示，三个阴影部分的面积按 从小到大的顺序排列为：S△ AOC=S△OPE ＞S△BOD. 知识点三：反比例函数的实际应用 7 .一般步 骤 （1 题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2 设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题