第4讲二次根式 知识清单梳理 [知识点一:三次根式 关键点拨及对应举例 (1)二次根式的概念:形如()的式子 失分点警示:当判断分式、二次根式组成的复 (2)二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于0 合代数式有意义的条件时,注意确保各部分都 有意义,即分母不为0,被开方数大于等于0 1.有关概念(3)最简二次根式:①被开方数的因数是整数,因式是整 式(分母中不含根号);②被开方数中不含能开得尽方 等例:若代数式 有意义,则x的取值 的因数或因式 范围是x>1 利用二次根式的双重非负性解题: (1)双重非负性: (1)值非负当多个非负数的和为0时,可得 ①被开方数是非负数,即a≥0: 各个非负数均为0如√a+1+√b-1 ②二次根式的值是非负数,即√a≥0 a=l, b=1 (2)被开方数非负:当互为相反数的两个数同 注意:初中阶段学过的非负数有:绝对值、偶幂、算式平时出现在二次根式的被开方数下时,可得 2二次根式方根、二次根式 这一对相反数的数均为0.如己知 的性质 b=√a-1+h-a,则a=1b=0 (2)两个重要性质: 例:计算: 0=e02NG=_=(e20 √342=314:√(2)=2 (3)积的算术平方根:ab=如a,√b(a0,b≥0) (4)商的算术平方根:、=≌(20,b>0) b√b 知识点 二次根式的运算 3二次根式的先将各根式化为最简二次根式,再合并被开方数相同的二次 加减法 根式 例:计算:√-√8+√32=3√2 (1)乘法:G,√=√ab(a0,b0) 4二次根式的 注意:将运算结果化为最简二次根式 √a 例:计算 乘除法 (2)除法 √=Vb (a20,b>0) 运算时,注意观察,有时运用乘法公式 5二次根式的运算顺序与实数的运算顺序相同,先算乘方,再算乘除,最会使运算简便 混合运算 后算加减,有括号的先算括号里面的(或先去括号) 例:计算:(√2+1(2-1)=1
第 4 讲 二次根式 一、 知识清单梳理 知识点一：二次根式 关键点拨及对应举例 1.有关概念 （1）二次根式的概念：形如 a(a≥0)的式子. （2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于 0. （3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整 式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方 的因数或因式 失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复 合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都 有意义，即分母不为 0，被开方数大于等于 0 等.例：若代数式 1 x −1 有意义，则 x 的取值 范围是 x＞1. 2. 二次根式 的性质 （1）双重非负性： ①被开方数是非负数，即 a≥0； ②二次根式的值是非负数，即 a ≥0. 注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平 方根、二次根式. 利用二次根式的双重非负性解题： （1）值非负:当多个非负数的和为 0 时，可得 各个非负数均为 0.如 a +1 + b−1 =0， 则 a=-1，b=1. （2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同 时出现在二次根式的被开方数下时，可得 这 一 对 相 反 数 的 数 均 为 0. 如 已 知 b= a −1 + 1−a ,则 a=1,b=0. (2)两个重要性质： ①( a) 2＝a(a≥0)；② a 2＝|a|＝ ( ) ( ) 0 0 a a a a − ； (3)积的算术平方根： ab ＝ a · b (a≥0，b≥0)； (4)商的算术平方根： a b = a b (a≥0，b＞0)． 例：计算： 2 3.14 ＝3.14； ( ) 2 −2 ＝2； 24 =；=2 ； 4 4 2 9 3 9 = = 知识点二 ：二次根式的运算 3.二次根式的 加减法 先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次 根式． 例：计算： 2 8 32 − + ＝ 3 2 . 4.二次根式的 乘除法 （1）乘法： a · b = ab (a≥0，b≥0)； （2）除法： a b = a b (a≥0，b＞0)． 注意：将运算结果化为最简二次根式. 例：计算： 3 2 2 3 ＝1； 32 32 2 2 = = 4. 5.二次根式的 混合运算 运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最 后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）． 运算时，注意观察，有时运用乘法公式 会使运算简便. 例：计算：( 2 +1)( 2 -1)= 1