第15讲一般三角形及其性质 知识清单梳理 [知识点一:三角形的分类及性质 关键点拨与对应举例 (1)按角的关系分类 (2)按边的关系分类 1.三角形 直角三角形 「不等边三角形 失分点警示: 角形 斜三角形∫锐角三角形 角形 底和腰不相等的等腰三角形 在运用分类讨论思想计算等腰 的分类 钝角三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形周长时,必须考虑三角形 三边关系 :等腰三角形两边长分别是3 2.三边关三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边 和6,则该三角形的周长为15 (1)内角和定理: 利用三角形的内、外角的性质求 ①三角形的内角和等180°: 角度时,若所给条件含比例,倍 3.角的关②推论:直角三角形的两锐角互余 分关系等,列方程求解会更简 (2)外角的性质: 便有时也会结合平行、折叠 ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和 等腰(边)三角形的性质求解 ②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角 角平分线①角平线上的到伯两赵的高相等 (1)角平分线、高结合求角度 (1)将三角形的面积等分 时,注意运用三角形的内角和为 4.三角形|中线 2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 180°这一隐含条件 中的重 锐角三角形的三条高相交于三角形内部:直角三角形的三条高/(2)当同一个三角形中出现两 要线段高 相交于直角顶点:钝角三角形的三条高相交于三角形的外部 条高,求长度时,注意运用面积 这个中间量来列方才能够求解 中位线平行于第三边,且等于第三边的一半 如图①,AD平分∠BC,AB⊥BC,则∠a=1∠BAC∠CAE=1(180°-∠B ∠C)-(90°-∠C)=-(∠C-∠B); 5.三角形如图②,B0、0分别是∠AB、∠AB的平分线,则有∠0∠A90° 中内、外如图③,B0、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠0D的平分线,则∠0=∠A,∠0=-对于解答选择、填空题,可 角与角 以直接通过结论解题,会起 平分线 到事半功倍的效果 的规律如图④,BO、C分别为∠CBD、∠BCE的平分线,则∠0=90°-∠A 总结 图② 图③ 图④ 知识点二:三角形全等的性质与判定
第 15 讲 一般三角形及其性质 一、 知识清单梳理 知识点一：三角形的分类及性质 关键点拨与对应举例 1. 三角形 的分类 （1）按角的关系分类 （2）按边的关系分类 直角三角形 三角形 锐角三角形 斜三角形 钝角三角形 不等边三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 失分点警示： 在运用分类讨论思想计算等腰 三角形周长时，必须考虑三角形 三边关系. 例：等腰三角形两边长分别是 3 和 6，则该三角形的周长为 15. 2. 三边关 系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 3. 角 的 关 系 （1）内角和定理： ①三角形的内角和等 180°； ②推论：直角三角形的两锐角互余. （2）外角的性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和. ②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角. 利用三角形的内、外角的性质求 角度时，若所给条件含比例，倍 分关系等，列方程求解会更简 便.有时也会结合平行、折叠、 等腰（边）三角形的性质求解. 4. 三角形 中 的 重 要线段 四线 性 质 （1）角平分线、高结合求角度 时，注意运用三角形的内角和为 180°这一隐含条件. （2）当同一个三角形中出现两 条高，求长度时，注意运用面积 这个中间量来列方才能够求解. 角平分线 （1） 角平线上的点到角两边的距离相等 （2） 三角形的三条角平分线的相交于一点（内心） 中线 （1） 将三角形的面积等分 （2） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 高 锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高 相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部 中位线 平行于第三边，且等于第三边的一半 5. 三角形 中内、外 角与角 平分线 的规律 总结 如图①，AD 平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α= 1 2 ∠BAC-∠CAE= 1 2 (180°-∠B- ∠C）-（90°-∠C）= 1 2 (∠C-∠B）； 如图②，BO、CO 分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，则有∠O= 1 2 ∠A+90°； 如图③，BO、CO 分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD 的平分线，则∠O= 1 2 ∠A，∠O’= 1 2 ∠O； 如图④，BO、CO 分别为∠CBD、∠BCE 的平分线，则∠O=90°- 1 2 ∠A. 对于解答选择、填空题，可 以直接通过结论解题，会起 到事半功倍的效果. 知识点二 ：三角形全等的性质与判定
(1)全等三角形的对应边、对应角相等 失分点警示:运用全等三角 6.全等 (2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等 形的性质时,要注意找准对 角形的性(3等三角形的周长等、面积等 应边与对应角 般Ss(三边对SAS(两边和它AsA(两角和它AAS(两角和其失分点警示 三角应相等)们的夹角对应们的夹角对应相中一个角的对边如图,SSA和AAA不能判 形全 相等) 等) 对应相等) 定两个三角形全等 角形等 全等的判 定 直角(1)斜边和一条直角边对应相等(HL) 角|(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 形全SAS,ASA和AAS (1)利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度:将特征的边或角放到例: 两个全等的三角形中,通过证明全等得到结论在寻求全等的条件时,如图,在△ABC中,已知∠1= 注意公共角、公共边、对顶角等银行条件 (2)全等三角形中的辅助线的作法: BE=CD ①直接连接法:如图①,连接公共边,构造全等 ②倍长中线法:用于证明线段的不等关系,如图②,由SAS可得△ACD≌△AE=2 8.全等三EBD,则AC=BE.在△ABE中,AB+BE>AE,即AB+AC≥2AD CE=3 角形的运③截长补短法:适合证明线段的和差关系,如图③、④ 用 D 图① ② 图③ 图④
6. 全等三 角形的性 质 (1)全等三角形的对应边、对应角相等． (2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等． 失分点警示：运用全等三角 形的性质时，要注意找准对 应边与对应角. 7. 三角形 全等的判 定 一 般 三 角 形 全 等 SSS（三边对 应相等） SAS（两边和它 们的夹角对应 相等） ASA（两角和它 们的夹角对应相 等） AAS（两角和其 中一个角的对边 对应相等） 失分点警示 如图，SSA 和 AAA 不能判 定两个三角形全等. 直 角 三 角 形 全 等 (1)斜边和一条直角边对应相等（HL） (2) 证 明 两 个 直 角 三 角 形 全 等 同 样 可 以 用 SAS,ASA 和 AAS. 8. 全等三 角形的运 用 （1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到 两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时， 注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法： ①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等. ②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由 SAS 可得△ACD≌△ EBD，则 AC=BE.在△ABE 中，AB+BE＞AE，即 AB+AC＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④. 例： 如图，在△ABC 中，已知∠1= ∠ 2 ， BE=CD ， AB=5 ， AE=2 ， 则 CE=3