第五单元四边形 第19讲多边形与平行四边形 知识清单梳理 知识点一:多边形 关键点拨与对应举例 (1)定义:在平面内,由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.多边形中求度数时,灵 1.多边形的相(2)对角线:从n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线,并且这些对角线活选择公式求度数,解 关概念 把多边形分成了(m-2)个三角形;n边形对角线条数为 决多边形内角和问题 2 时,多数列方程求解 (1)内角和:n边形内角和公式为(m=2)180° 2.多边形的内 (2)外角和:任意多边形的外角和为360° (1)若一个多边形的内 角和、外角和 角和为1440°,则这个 (1)定义:各边相等,各角也相等的多边形 多边形的边数为10 (n-2)180 (2)从多边形的一个顶 (2)正n边形的每个内角为 点出发引对角线,可以 3.正多边形 每一个外角为360° 把这个多边形分割成 (3)正n边形有n条对称轴 (4)对于正n边形,当n为奇数时,是轴对称图形:当n为偶数时,既是轴/7个三角形,则该多边 对称图形,又是中心对称图形 形为九边形 [知识点二:平行四边形的性质 利用平行四边形的性 4.平行四边 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形,平行四边形用“□”表示 质解题时的一些常用 形的定义 到的结论和方法 (1)平行四边形相邻 5平行四边形(1)边:两组对边分别平行且相等 两边之和等于周长的 即AB∥CD且AB=CD,BC∥AD且AD=BC 的性质 (2)角:对角相等,邻角互补 (2)平行四边形中有 即∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, 相等的边、角和平行关 ∠ABC+∠BCD=180°,∠BAD+∠ADC=180 系,所以经常需结合三 (3)对角线:互相平分即OA=OC,OB=OD 角形全等来解题 (4)对称性:中心对称但不是轴对称 (3)过平行四边形对 (1)如图①,AF平分∠BAD,则可利用平行线的性质结合等角对等边得到/称中心的任一直线等 △ABF为等腰三角形,即AB=BE 分平行四边形的面积 (2)平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形,如图②中△ABD/及周长 ≌△CDB 例 6.平行四边形 两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形,如图②中△AOD≌△如图,□ABCD中, COB,△AOB≌△COD EF过对角线的交点 中的几个解根据平行四边形的中心对称性,可得经过对称中心O的线段与对角线所O,AB=,AD=3 题模型 组成的居于中心对称位置的三角形全等,如图②△AOE≌△COF图2甲OF=13,则四边形 阴影部分的面积为平行四边形面积的二半 (3)如图③,已知点E为AD上一点,根据平行线间的距离处处相等,可BCE的周长为9 得S△BEC=S△ABE+S△CDE (4)根据平行四边形的面积的求法,可得AE·BC=AF·CD
第五单元 四边形 第 19 讲 多边形与平行四边形 一、 知识清单梳理 知识点一：多边形 关键点拨与对应举例 1.多边形的相 关概念 （1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形． （2）对角线：从 n 边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线 把多边形分成了(n－2)个三角形；n 边形对角线条数为 ( 3) 2 n n − ． 多边形中求度数时，灵 活选择公式求度数，解 决多边形内角和问题 时，多数列方程求解. 例： (1)若一个多边形的内 角和为 1440°，则这个 多边形的边数为 10． (2)从多边形的一个顶 点出发引对角线，可以 把这个多边形分割成 7 个三角形，则该多边 形为九边形． 2.多边形的内 角和、外角和 ( 1 ) 内角和：n 边形内角和公式为(n－2)·180° （2）外角和：任意多边形的外角和为 360°. 3.正多边形 （1）定义：各边相等，各角也相等的多边形. （2）正 n 边形的每个内角为 (n 2 180 ) n − ，每一个外角为 360°/n. ( 3 ) 正 n 边形有 n 条对称轴. （4）对于正 n 边形，当 n 为奇数时，是轴对称图形；当 n 为偶数时，既是轴 对称图形，又是中心对称图形. 知识点二 ：平行四边形的性质 4. 平行四边 形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“□”表示. 利用平行四边形的性 质解题时的一些常用 到的结论和方法： （1）平行四边形相邻 两边之和等于周长的 一半. （2）平行四边形中有 相等的边、角和平行关 系，所以经常需结合三 角形全等来解题. （3）过平行四边形对 称中心的任一直线等 分平行四边形的面积 及周长. 例： 如图，□ABCD 中， EF 过对角线的交点 O，AB=4，AD=3， OF=1.3，则四边形 BCEF 的周长为 9.6. 5.平行四边形 的性质 （1） 边：两组对边分别平行且相等. 即 AB∥CD 且 AB＝CD，BC∥AD 且 AD＝BC. （2）角：对角相等，邻角互补. 即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC， ∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°. （3）对角线：互相平分.即 OA＝OC，OB＝OD （4）对称性：中心对称但不是轴对称. 6.平行四边形 中的几个解 题模型 （1）如图①，AF 平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到 △ABF 为等腰三角形，即 AB=BF. （2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD ≌△CDB； 两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△ COB,△AOB≌△COD； 根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心 O 的线段与对角线所 组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中 阴影部分的面积为平行四边形面积的一半. （3） 如图③，已知点 E 为 AD 上一点，根据平行线间的距离处处相等，可 得 S△BEC=S△ABE+S△CDE. （4） 根据平行四边形的面积的求法，可得 AE·BC=AF·CD. O D C B A
图① 图② 图④ 知识点三:平行四边形的判定 7平行四边形(1)方法一(定义法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形 例:如图四边形ABCD 即若AB∥CD,AD∥BC,则四边形ABCD是□. 的对角线相交于点 的判定 (2)方法二:两组对边分别相等的四边形是平行四边形 O,AO=CO,请你添加 即若AB=CD,AD=BC,则四边形ABCD是□ 个条件BO=DO或 (3)方法三:有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 AD∥BC或AB∥CD (只添加一个即可), 即若AB=CD,AB∥CD,或AD=BC,AD∥BC则四边形ABCD是口.使四边形ABCD为平 (4)方法四:对角线互相平分的四边形是平行四边形 行四边形 即若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD是□ D (5)方法五:两组对角分别相等的四边形是平行四边形 若∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD,则四边形ABCD是□
知识点三 ：平行四边形的判定 7.平行四边形 的判定 （1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 即若 AB∥CD，AD∥BC，则四边形 ABCD 是□. （2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 即若 AB＝CD，AD＝BC，则四边形 ABCD 是□. （3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 即若 AB＝CD，AB∥CD，或 AD=BC,AD∥BC,则四边形 ABCD 是□. （4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 即若 OA＝OC，OB＝OD，则四边形 ABCD 是□. （5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形 ABCD 是□. 例：如图四边形 ABCD 的对角线相交于点 O,AO=CO，请你添加 一个条件 BO=DO 或 AD∥BC 或 AB∥CD （只添加一个即可）， 使四边形 ABCD 为平 行四边形. O D C B A