第12讲二次函数的图象与性质 知识清单梳理 [知识点一:三次函数的概念及解析式 关键点拨与对应举例 例:如果函数=a-1)x2是二 1.一次函 形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数 次函数,那么a的取值范围是 数的定义 a40 (1)三种解析式:①一般式:y=a2+bx+c②顶点式:y=a(xh)+k(a≠0),其|若已知条件是图象上的三个 中二次函数的顶点坐标是(上k);③交点式:y=a(x-x)xx2)其中xx2为点或三对对应函数值,可设 抛物线与ⅹ轴交点的横坐标 般式:若已知顶点坐标或对称 2解析式(2)待定系数法:巧设二次函数的解析式:根据已知条件,得到关于待定系|轴方程与最值,可设顶点式 数的方程(组):解方程(组),求出待定系数的值,从而求出函数的解析若已知抛物线与x轴的两个交 式 点坐标,可设交点式 知识点二:二次函数的图象与性质 (1)比较二次函数函数值大 图象 小的方法:①直接代入求值 法:②性质法:当自变量在对 FRax-tbxtda>o) Fax+br+da0时,抛物线开口向上 某些特殊形式代数式的符号: 向及开口大小 当a0,对称轴在y轴右边 3.系数a 决定抛物线与y轴的交当c>0时,抛物线与y轴的交点在正半轴上 ③2a+b的符号,需判断对称 当c=0时,抛物线经过原点 轴-b2a与1的大小若对称轴 C 点的位置 当c0时,抛物线与x轴有2个交点 >1,再根据a的符号即可得 4ac点个数 b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点 出结果④2ab的符号,需判断 b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点 对称轴与-1的大小 知识点三:二次函数的平移
第 12 讲 二次函数的图象与性质 一、 知识清单梳理 知识点一：二次函数的概念及解析式 关键点拨与对应举例 1. 一 次 函 数的定义 形如 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数. 例：如果函数 y=(a－1)x 2 是二 次函数，那么 a 的取值范围是 a≠0. 2.解析式 （1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其 中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中 x1,x2 为 抛物线与 x 轴交点的横坐标. （2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系 数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析 式. 若已知条件是图象上的三个 点或三对对应函数值，可设一 般式；若已知顶点坐标或对称 轴方程与最值，可设顶点式； 若已知抛物线与 x轴的两个交 点坐标，可设交点式. 知识点二 ：二次函数的图象与性质 3.二次函 数的图象 和性质 图象 x y y=ax2+bx+c(a＞0) O x y y=ax2+bx+c(a＜0) O （1）比较二次函数函数值大 小的方法：①直接代入求值 法；②性质法：当自变量在对 称轴同侧时，根据函数的性质 判断；当自变量在对称轴异侧 时，可先利用函数的对称性转 化到同侧，再利用性质比较； ④图象法：画出草图，描点后 比较函数值大小. 失分点警示 （2）在自变量限定范围求二 次函数的最值时，首先考虑对 称轴是否在取值范围内，而不 能盲目根据公式求解. 例：当 0≤x≤5 时，抛物线 y=x2+2x+7 的最小值为 7 . 开口 向上 向下 对 称 轴 x＝ 2 b a − 顶 点 坐标 2 4 , 2 4 b ac b a a − − 增 减 性 当 x> 2 b a − 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x＜ 2 b a − 时，y 随 x 的增大而减小. 当 x> 2 b a − 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＜ 2 b a − 时，y 随 x 的增大而增大. 最值 x= 2 b a − ， y 最小＝ 2 4 4 ac b a − . x= 2 b a − ， y 最大＝ 2 4 4 ac b a − . 3.系数 a、 b、c a 决定抛物线的 开口方 向及开口大小 当 a＞0 时，抛物线开口向上； 当 a＜0 时，抛物线开口向下. 某些特殊形式代数式的符号： ① a±b+c 即为 x=±1 时，y 的值；②4a±2b+c 即为 x=± 2 时，y 的值. ③ 2a+b 的符号，需判断对称 轴-b/2a 与 1 的大小.若对称轴 在直线 x=1 的左边，则-b/2a ＞1，再根据 a 的符号即可得 出结果.④2a-b 的符号，需判断 对称轴与-1 的大小. a、 b 决定对称轴（x=-b/2a） 的位置 当 a，b 同号，-b/2a＜0，对称轴在 y 轴左边； 当 b＝0 时， -b/2a=0，对称轴为 y 轴； 当 a，b 异号，-b/2a＞0，对称轴在 y 轴右边． c 决定抛物线与 y轴的交 点的位置 当 c＞0 时，抛物线与 y 轴的交点在正半轴上； 当 c＝0 时，抛物线经过原点； 当 c＜0 时，抛物线与 y 轴的交点在负半轴上. b 2 － 4ac 决定抛物线与 x轴的交 点个数 b 2－4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点; b 2－4ac＝0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点; b 2－4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点 知识点三 ：二次函数的平移
失分点警示 可左0) 4.平移与解 向上>0或向下≤0 >=(x-n2+k 抛物线平移规律是“上加下减,左 平移个单位 平移个单位 的图象 加右减”左右平移易弄 析式的大注意:二次函数的平移实质是顶点坐标的平移,因此只要找出原函数顶 例:将抛物线y=x2沿x轴向右平 移2个单位后所得抛物线的解析 点的平移方式即可确定平移后的函数解析式 式是y=(x-2)2 知识点四:二次函数与一元二次方程以及不等式 二次函数y=ax2+bx+c(a+0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程 5.二次函数|ax2+bx+c=0的根 例:已经二次函数 当』=b2-4ac>0,两个不相等的实数根; y=x2-3x+m(m为常数)的图象 当』=b2 两个相等的实数根 次方程当4=b2-4ac0的解集:在x轴下方的部分点的2 与不等式纵坐标均为负,所对应的x的值就是不等式ax2+bx+c<0的解集
4.平移与解 析式的关 系 平移|h|个单位 平移|k|个单位 向左 向上(k＞0)或向下(k＜0) (h＜0)或向右(h＞0) y=a(x－h) 2＋k 的图象 y=a(x－h) 2 的图象 y=ax2 的图象 注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶 点的平移方式即可确定平移后的函数解析式 失分点警示： 抛物线平移规律是“上加下减，左 加右减”,左右平移易弄反. 例：将抛物线 y=x2沿 x 轴向右平 移 2 个单位后所得抛物线的解析 式是 y=（x－2）2． 知识点四 ：二次函数与一元二次方程以及不等式 5.二次函数 与一元二 次方程 二次函数 y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根. 当 Δ＝b 2－4ac＞0，两个不相等的实数根； 当 Δ＝b 2－4ac＝0，两个相等的实数根； 当 Δ＝b 2－4ac＜0，无实根 例：已经二次函数 y=x2 -3x+m(m 为常数)的图象 与 x 轴的一个交点为（1,0）， 则关于 x 的一元二次方程 x 2 -3x+m=0 的两个实数根为 2,1. 6.二次函数 与不等式 抛物线 y= ax2＋bx＋c＝0 在 x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应 的 x 的所有值就是不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集；在 x 轴下方的部分点的 纵坐标均为负，所对应的 x 的值就是不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集