第22讲与圆有关的位置关系 知识清单梳理 [知识点一:与圆有关的位置关系 关键点拨及对应举例 1.点与 判断点与圆之间的位置关系,将该 设点到圆心的距离为d 点的圆心距与半径作比较即可 圆的位置(点在⊙O内:(2)=r台点在⊙O上:(3)br点在⊙O外 关系 位置关系 相离 相切 相交由于圆是轴对称和中心对称图形 2.直线图形 所以关于圆的位置或计算题中常常 和圆 出现分类讨论多解的情况 的位 例:已知:⊙O的半径为2,圆心 置关公共点个数 到直线1的距离为1,将直线1沿 系 数量关系 d>i d=r d<r 垂直于1的方向平移,使1与⊙O 相切,则平移的距离是1或3 知识点二:切线的性质与判定 (1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法) 切线判定常用的证明方法:①知道 3.切线 直线和圆有公共点时,连半径,证 (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 垂直:②不知道直线与圆有没有公 的判定 (3)经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 共点时,作垂直,证垂线段等于半 4.切线 (1)切线与圆只有一个公共点 利用切线的性质解决问题时,通常 (2)切线到圆心的距离等于圆的半径 连过切点的半径,利用直角三角形 的性质(3)切线垂直于经过切点的半径 的性质来解决问题 (1)定义:从圆外一点作圆的切线,这点与切点之间的线段长叫做 例:如图,AB、AC 5切线这点到圆的切线长 DB是⊙O的切线,P (2)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,两切线长相等/C、D为切点,如果 AB=5,AC=3,则BD 圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角 的长为2 知识点四:三角形与圆 图形 相关概念 圆心的确内外心的性内切圆半径与三角形边的关系 (1)任意三角形的内切圆(如图a),设 「经过三角形各定点的|三角形三到三角形的三角形的周长为C,则S△ABC=1cr 圆叫做三角形的外接条垂直平三个顶点的(2)直角三角形的内切圆(如图b) 形的外 圆,外接圆的圆心叫做分线的交距离相等 ①若从切线长定理推导,可得 接圆 三角形的外心,这个三点 r=1/2(a+b+c),若从面积推导,则可得r= 角形叫做圆的内接三 这两种结论可在做选择题和填空题时直 角形 接应用 与三角形各边都相到三角形到三角形的 6.三角 切的圆叫三角形的 条 三条边 内切圆,内切圆的 角平 的距离 形的内 圆心叫做三角形的 分线 相等 切圆 内心,这个三角形叫 的交 例:已知△ABC的三边长a=3,b=4,c=5 则它的外切圆半径是2 圆的外切三角形 点
第 22 讲 与圆有关的位置关系 一、 知识清单梳理 知识点一：与圆有关的位置关系 关键点拨及对应举例 1. 点 与 圆的位置 关系 设点到圆心的距离为 d. (1)dr⇔点在⊙O 外． 判断点与圆之间的位置关系，将该 点的圆心距与半径作比较即可. 2. 直 线 和 圆 的 位 置 关 系 位置关系 相离 相切 相交 由于圆是轴对称和中心对称图形， 所以关于圆的位置或计算题中常常 出现分类讨论多解的情况. 例：已知：⊙O 的半径为 2，圆心 到直线 l 的距离为 1，将直线 l 沿 垂直于 l 的方向平移，使 l 与⊙O 相切，则平移的距离是 1 或 3. 图形 公共点个数 0 个 1 个 2 个 数量关系 d＞r d＝r d＜r 知识点二 ：切线的性质与判定 3.切线 的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线判定常用的证明方法：①知道 直线和圆有公共点时，连半径，证 垂直；②不知道直线与圆有没有公 共点时，作垂直，证垂线段等于半 径. 4.切线 的性质 （1）切线与圆只有一个公共点. （2）切线到圆心的距离等于圆的半径. （3）切线垂直于经过切点的半径. 利用切线的性质解决问题时，通常 连过切点的半径，利用直角三角形 的性质来解决问题. * 5.切线 长 （1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做 这点到圆的切线长. （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等， 圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 例：如图，AB、AC、 DB 是⊙O 的切线，P、 C、D 为切点，如果 AB=5，AC=3，则 BD 的长为 2. 知识点四 ：三角形与圆 5. 三 角 形的外 接圆 图形 相关概念 圆心的确 定 内、外心的性 质 内切圆半径与三角形边的关系： （1）任意三角形的内切圆（如图 a），设 三角形的周长为 C，则 S△ABC=1/2Cr. （2）直角三角形的内切圆（如图 b） ① 若 从 切 线 长 定 理 推 导 ， 可 得 r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得 r=. 这两种结论可在做选择题和填空题时直 接应用. 例：已知△ABC 的三边长 a=3，b=4，c=5， 则它的外切圆半径是 2.5. 经过三角形各定点的 圆叫做三角形的外接 圆，外接圆的圆心叫做 三角形的外心，这个三 角形叫做圆的内接三 角形 三角形三 条垂直平 分线的交 点 到三角形的 三个顶点的 距离相等 6. 三 角 形的内 切圆 与三角形各边都相 切的圆叫三角形的 内切圆，内切圆的 圆心叫做三角形的 内心，这个三角形叫 圆的外切三角形 到三角形 三条 角平 分线 的交 点 到三角形的 三条边 的距离 相等
