第20讲特殊的平行四边形 知识清单梳理 [知识点一特殊平行四边形的性质与判定 关键点拨及对应举例 正方形 (1)矩形中R△ABD≌Rt△DCA≌ R△CDB≌R△BAC,两对全等 x451|的等腰三角形所以经常结合勾股 定理、等腰三角形的性质解题 L.性质 (2)菱形中,有两对全等的等腰 C 行四边形 Rt△CBO≌Rt△CDO,若∠ 的一切性|(1)四个角都是直角(1)四边相等 (1)四条边都相等,四个角都是直 △ADC 质,对边平(2)对角线相等且互(2)对角线互相垂直、平分,角 为等边三角形,且四个直角三角 行且相等)相平分即 一条对角线平分一组对角(2对角线相等且互相垂直平分形中都有一个30°的锐角 AO=CO=BO=DO.(3)面积=底×高 (3)面积=边长X边长 (3)正方形中有8个等腰直角三 (3)面积=长×宽 对角线乘积的一半 角形,解题时结合等腰直角三角形 的锐角为45°,斜边=直角边 (1)定义法:有一个(1)定义法:有一组邻边相(1)定义法:有一个角是直角,例:判断正误 角是直角的平行四等的平行四边形 且有一组邻边相等的平行四邻边相等的四边形为菱形.() 边形 (2)对角线互相垂直的平行 有三个角是直角的四边形式矩形 2.判定(2)有三个角是直角四边形 (2)一组邻边相等的矩形 (3)对角线相等的平(3)四条边都相等的四边形(3)一个是直角的菱形对角线互相垂直平分的四边形是 行四边形 (4)对角线相等且互相垂直、菱形 () 对边相等的矩形是正方形.( 平行四边形 3.联系 平行四边 形(方形 [知识点二特殊平行四边形的拓展归纳 (1)任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形 如图,四边形 4.中点(2)对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形 ABCD为菱形, 四边形(3)对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是耋形 则其中点四边形 (4)对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形 EFGD的形状是矩形 (1)矩形:如图①,E为AD上任意一点,EF过矩形中心O,则△AOE≌△COFS1=S2 (2)正方形如图②,若EF⊥MN,则EF=MN如图③,P为AD边上任意一点,则PE+PF=AO.(变式:如图④,四边形 5特殊四 ABCD为矩形,则PE+PF的求法利用面积法,需连接PO.) 边形中 的解题 模型 图① 图② 图③ 图④
第 20 讲 特殊的平行四边形 一、 知识清单梳理 知识点一：特殊平行四边形的性质与判定 关键点拨及对应举例 1.性质 （具有平 行四边形 的一切性 质，对边平 行且相等） 矩 形 菱 形 正方形 (1)矩形中,Rt△ABD≌Rt△DCA≌ Rt△CDB≌Rt△BAC; _两 对全等 的等腰三角形.所以经常结合勾股 定理、等腰三角形的性质解题. （2）菱形中，有两对全等的等腰 三角形；Rt△ABO≌Rt△ADO≌ Rt △ CBO ≌ Rt △ CDO; 若 ∠ ABC=60°，则△ABC 和△ADC 为 等边 三角形，且四个直角三角 形中都有一个 30°的锐角. （3）正方形中有 8 个等腰直角三 角形，解题时结合等腰直角三角形 的锐角为 45°，斜边=直角边. （1）四个角都是直角 （2）对角线相等且互 相平分.即 AO=CO=BO=DO. （3）面积=长×宽 =2S△ABD=4S△AOB. （1）四边相等 （2）对角线互相垂直、平分， 一条对角线平分一组对角 （3）面积=底×高 =对角线_乘积的一半 (1)四条边都相等，四个角都是直 角 (2)对角线相等且互相垂直平分 (3)面积=边长×边长 =2S△ABD =4S△AOB 2.判定 （1）定义法：有一个 角是直角的平行四 边形 （2）有三个角是直角 （3）对角线相等的平 行四边形 （1）定义法：有一组邻边相 等的平行四边形 （2）对角线互相垂直的平行 四边形 （3）四条边都相等的四边形 （1）定义法：有一个角是直角， 且有一组邻边相等的平行四 边形 （2）一组邻边相等的矩形 （3）一个角是直角的菱形 （4）对角线相等且互相垂直、 平分 例：判断正误. 邻边相等的四边形为菱形.（ ） 有三个角是直角的四边形式矩形. （ ） 对角线互相垂直平分的四边形是 菱形. （ ） 对边相等的矩形是正方形.（ ） 3.联系 包含关系： 知识点二：特殊平行四边形的拓展归纳 4.中点 四边形 （1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形. （2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形. （3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形. （4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形. 如图，四边形 ABCD 为菱形， 则其中点四边形 EFGD 的形状是矩形. 5.特殊四 边形中 的解题 模型 （1）矩形：如图①，E 为 AD 上任意一点，EF 过矩形中心 O，则△AOE≌△COF,S1=S2. （2）正方形:如图②，若 EF⊥MN，则 EF=MN;如图③，P 为 AD 边上任意一点，则 PE+PF=AO. （变式：如图④，四边形 ABCD 为矩形，则 PE+PF 的求法利用面积法，需连接 PO.） 图① 图② 图③ 图④
