第17讲相似三角形 知识清单梳理 [知识点一:比例线段 关键点拨与对应举例 1.比例在四条线段ab,C,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即9=5,|列比例等式时,注意四条线段的大小 bd|顺序,防止出现比例混乱 线段那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段 (1)基本性质:=ead=be;(b、d≠0) 已知比例式的值,求相关字母代数式的值 常用引入参数法,将所有的量都统一用含同 2比例()合比性质:2=主b=主d,(b、d≠0) 个参数的式子表示,再求代数式的值,也 b d b 可以用给出的字母中的一个表示出其他的 的基 字母,再代入求解如下题可设a=3k,b=5k再 本性|(3)等比性质:=二===b+d++m0 代入所求式子,也可以把原式变形得a=35b 质 代入求解 a+c+..+n k.(b、d、···、n≠0) 3a+b8 6++.+n b 5 (1)两条直线被一组平行线所截,所得的对应线 利用平行线所截线段成比例求线段长 段成比例即如图所示,若b∥∥B,则4B=DE 或线段比时,注意根据图形列出比例 BC EF 等式,灵活运用比例基本性质求解 例:如图,已知D,E分别是△ABC的 3.平行(2)平行于三角形一边的直线截其他两边或两边 边BC和AC上的点,AE=2,CE=3 线分线的延长线),所得的对应线段成比例 段成比即如图所示,若AB∥CD,则Q=OB 要使DE∥AB,那么BC:CD应等于 例定理 D OC (3)平行于三角形一边的直线和其他两边相交 所构成的三角形和原三角形相似 如图所示,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC 点C把线段AB分成两条线段AC和BC.AB20618 例:把长为10cm的线段进行黄金分 4.黄金那么线段AB被点C黄金分割其中点C叫做线段AB的黄金分割割,那么较长线段长为√5=1m 分割 点,AC与AB的比叫做黄金比 C 知识点二!相似三角形的性质与判定 (1)两角对应相等的两个三角形相似AAA) 判定三角形相似的思路:①条件中若有平行 如图,若∠A=∠D,∠B=∠E,则△ABC∽△ 线,可用平行线找出相等的角而判定:②条 DEF 件中若有一对等角,可再找一对等角或再找 5.相似(2)两边对应成比例,且夹角相等的两个 夹这对等角的两组边对应成比例:③条件中 三角 角形相似.如图,若∠A=∠D, 若有两边对应成比例可找夹角相等:④条件 AC AB 则△ABC∽△DE 中若有一对直角,可考虑再找一对等角或证 DE DE (3)三边对应成比例的两个三角形相似.如 明直角边和斜边对应成比例:⑤条件中若有 AB AC BC 腰关系,可找顶角相等或找一对底角相等 则△ABCO△DE.x DE DE EF 或找底、腰对应成比例
第 17 讲 相似三角形 一、 知识清单梳理 知识点一：比例线段 关键点拨与对应举例 1. 比例 线段 在四条线段 a，b，c，d 中，如果a 与b 的比等于 c与 d 的比，即 a c b d = ， 那么这四条线段 a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 列比例等式时，注意四条线段的大小 顺序，防止出现比例混乱. 2.比例 的 基 本 性 质 (1)基本性质： a c b d = ⇔ ad＝bc；（b、d≠0） (2)合比性质： a c b d = ⇔ a b b ＝ c d d ；（b、d≠0） (3)等比性质： a c b d = ＝…＝ m n ＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔ ... ... a c m b d n + + + + + + ＝k.（b、d、···、n≠0） 已知比例式的值，求相关字母代数式的值， 常用引入参数法，将所有的量都统一用含同 一个参数的式子表示，再求代数式的值，也 可以用给出的字母中 的一个表示出其他的 字母，再代入求解.如下题可设 a=3k,b=5k,再 代入所求式子，也可以把原式变形得 a=3/5b 代入求解. 例：若 3 5 a b = ，则 a b b + = 8 5 . 3. 平 行 线分线 段成比 例定理 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若 l3∥l4∥l5，则 AB DE BC EF = . 利用平行线所截线段成比例求线段长 或线段比时，注意根据图形列出比例 等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知 D，E 分别是△ABC 的 边 BC 和 AC 上的点，AE=2，CE=3， 要使 DE∥AB，那么 BC：CD 应等于 5 3 . （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边 的延长 线)，所得的对应线段成比例. 即如图所示，若 AB∥CD，则 OA OB OD OC = . （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交， 所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若 DE∥BC，则△ADE∽△ABC. 4. 黄 金 分割 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果AC AB＝= 5－1 2 ≈0.618， 那么线段 AB 被点 C 黄金分割．其中点 C 叫做线段 AB 的黄金分割 点，AC 与 AB 的比叫做黄金比． 例：把长为 10cm 的线段进行黄金分 割，那么较长线段长为 5( 5 －1)cm． 知识点二 ：相似三角形的性质与判定 5. 相 似 三 角 形 的 判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△ DEF. 判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条 件中若有一对等角，可再找一对等角或再找 夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件 中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等 或找底、腰对应成比例. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三 角 形 相 似 ． 如图，若∠ A ＝ ∠ D ， AC AB DF DE = ，则△ABC∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如 图，若 AB AC BC DE DF EF = = ，则△ABC∽△DEF. F E D C B A l5 l4 l3 l2 l1 O C D A B D E B C A E F D B C A E F D B C A E F D B C A
(1)对应角相等,对应边成比例 例:(1)已知△ABC∽△DEF,△ABC的周长 6相似(2)周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方 为3,△DEF的周长为2,则△ABC与△DEF 的面积之比为9: 三角形的()相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于2)如图,DE∥BC,AF⊥BC 性质 相似比 已知S△ADES△ABC=1:4 则AFAG=1:2 (1)熟悉利用利用相似求解问题的基本图 形,可以迅速找到解题思路,事半功倍. (2)证明等积式或者比例式的一般方法:经 7.相似三 常把等积式化为比例式,把比例式的四条 角形的 BC∥DE ∠1=∠B AB∥CD ∠1=∠2 线段分别看做两个三角形的对应边然后, 基本模 通过证明这两个三角形相似,从而得出结 B ∠l=∠CAC⊥BC ∠B=∠D=90°B=∠1=∠C CD⊥AB AE⊥EC △BDE∽△CFD △ACD∽△CBD∽△ABC
6.相似 三角形的 性质 (1)对应角相等，对应边成比例． (2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． (3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于 相似比． 例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC 的周长 为 3，△DEF 的周长为 2，则△ABC 与△DEF 的面积之比为 9：4. (2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC, 已知 S△ADE:S△ABC=1:4， 则 AF:AG=1：2. 7.相似三 角形的 基本模 型 （1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图 形，可以迅速找到解题思路，事半功倍. （2）证明等积式或者比例式的一般方法：经 常把等积式化为比例式，把比例式的四条 线段分别看做两个三角形的对应边.然后， 通过证明这两个三角形相似，从而得出结 果