第六单元圆 第21讲圆的基本性质 知识清单梳理 知识点一:圆的有关概念 关键点拨与对应举例 (1)圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成 的图形.如图所示的圆记做⊙O (1)经过圆心的直线是该 (2)弦与直径:连接圆上任意两点的线段叫做弦,过A 圆的对称轴,故圆的对称轴 |有无数条 1.与圆有 圆心的弦叫做直径,直径是圆内最长的弦 (3)弧:圆上任意两点间的部分叫做弧,小于半圆的 (2)3点确定一个圆,经 关的概念弧叫做劣弧,大于半圆的弧叫做优弧 过1点或2点的圆有无数 和性质(4)圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角 (5)圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆还有一个 (3)任意三角形的三个顶 点确定一个圆,即该三角形 交点的角叫做圆周角 的外接圆 (6)弦心距:圆心到弦的距离 知识点二:垂径定理及其推论 定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧 推论/(1)平分弦(不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 关于垂径定理的计算常与勾股 2.垂径定 根据圆的对称性,如图所示,在以下五条结论中 定理相结合,解题时往往需要添 理及其推 ①弧AC=弧BC 加辅助线,一般过圆心作弦的垂 论 ②弧AD=弧BD 延伸 线,构造直角三角形 ③AE=BE ④AB⊥CD,⑤CD是直径 只要满足其中两个,另外三个结论一定成立,即推二知 知识点三:圆心角、弧、弦的关系 3圆心角、定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等 圆心角、弧和弦之间的等量 弧、弦的 关系必须在同圆等式中才 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相 成立 关系 推论 等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等 知识点四:圆周角定理及其推论 (1)定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半如图a在圆中求角度时,通常需要 A=1/2∠O 通过一些圆的性质进行转 化比如圆心角与圆周角间 的转化;同弧或等弧的圆周 4.圆周角 角间的转化;连直径,得到 定理及 直角三角形,通过两锐角互 其推论 余进行转化等 a 图b 图c 例:如图 (2)推论: AB是⊙O ①在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等如图b,∠A=∠C.的直径,C 2直径所对的圆周角是直角如图c,∠C=90° www.youyilo0.com 第1页共2页
www.youyi100.com 第 1 页 共 2 页 第六单元 圆 第 21 讲 圆的基本性质 一、 知识清单梳理 知识点一：圆的有关概念 关键点拨与对应举例 1. 与圆有 关的概念 和性质 （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成 的图形．如图所示的圆记做⊙O. （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过 圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦. （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的 弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个 交点的角叫做圆周角. （6）弦心距：圆心到弦的距离. （1）经过圆心的直线是该 圆的对称轴，故圆的对称轴 有无数条； （2）3 点确定一个圆，经 过 1 点或 2 点的圆有无数 个. （3）任意三角形的三个顶 点确定一个圆，即该三角形 的外接圆. 知识点二 ：垂径定理及其推论 2. 垂径定 理及其推 论 定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 关于垂径定理的计算常与勾股 定理相结合，解题时往往需要添 加辅助线，一般过圆心作弦的垂 线，构造直角三角形. 推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 延伸 根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中： ① 弧 AC=弧 BC; ②弧 AD=弧 BD； ③AE=BE; ④AB⊥CD;⑤CD 是直径. 只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三. 知识点三 ：圆心角、弧、弦的关系 3.圆心角、 弧、弦的 关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 圆心角、弧和弦之间的等量 关系必须在同圆等式中才 推论 成立. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 知识点四 ：圆周角定理及其推论 4. 圆周角 定理及 其推论 （1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图 a, ∠A=1/2∠O. 图 a 图 b 图 c ( 2 )推论： ① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图 b，∠A=∠C. ② 直径所对的圆周角是直角.如图 c,∠C=90°. 在圆中求角度时，通常需要 通过一些圆的性质进行转 化.比如圆心角与圆周角间 的转化；同弧或等弧的圆周 角间的转化；连直径，得到 直角三角形，通过两锐角互 余进行转化等. 例：如图， AB 是⊙O 的直径，C
③圆内接四边形的对角互补如图a,∠A+∠C=180°,∠ABC+∠D是⊙O上两点 ADC=180° ∠BAC=40°,则∠D的度数 为130° www.youyilo0.com 第2页共2页
www.youyi100.com 第 2 页 共 2 页 ③ 圆内接四边形的对角互补.如图 a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ ADC=180°. D 是⊙O 上两点， ∠BAC=40°，则∠D 的度数 为 130°．