11锐角三角函数 第1课时正切与坡度 学习目标 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程理解正切的意义和与现实生活的联系 2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,外 能够用正切进行简单的计算 学习重点 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,密切数学与生活的联系 学习难点: 理解正切的意义,并用它来表示两边的比 学习方法: 引导一探索法 学习过程 、生活中的数学问题 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗?你有哪些办法? 2、生活问题数学化: (1)如图:梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的? A 5m b 2m C F 2 5m D (2)以下三组中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的? 3.5m B 1.5m C F 1.3m D B 2m C F 3m d b 2m ce 第一组 第二组 第三组 直角三角形的边与角的关系(如图,回答下列问题 (1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
1.1 锐角三角函数 第 1 课时 正切与坡度 学习目标: 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用 tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外 能够用正切进行简单的计算. 学习重点: 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 学习难点: 理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法: 引导—探索法. 学习过程: 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2、生活问题数学化： ⑴如图：梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ ⑵以下三组中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt△AB1C1 和 Rt△AB2C2 有什么关系?
21CL和BC2有什么关系? AC, AC (3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢? (4)由此你得出什么结论 三、例题: 例1、如图是甲,乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? 甲 例2、在△ABC中,∠C=90°,BC=12cm,AB=20cm,求tanA和tanB的值 四、随堂练习 1、如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC吗? 2、如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B,已知点B到山脚的垂直距离为 55m,求山的坡度.(结果精确到0.001) 10u 3、若某人沿坡度i=3:4的斜坡前进10米,则他所在的位置比原来的位置 升高 米 4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为0,则 tan 0= 5、如图,Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图,斜坡AB的长为12m,它的坡角为45°, 为了提髙该堤的防洪能力,现将背水坡改造成坡比为1:1.5的斜坡AD,求DB的长.(结果 保留根号)
⑵ 2 2 2 1 B1 1 AC B C AC C 和 有什么关系？ ⑶如果改变 B2 在梯子上的位置(如 B3C3)呢? ⑷由此你得出什么结论? 三、例题： 例 1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 例 2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求 tanA 和 tanB 的值. 四、随堂练习： 1、如图，△ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出 tanC 吗? 2、如图，某人从山脚下的点 A 走了 200m 后到达山顶的点 B，已知点 B 到山脚的垂直距离为 55m，求山的坡度.(结果精确到 0.001) 3、若某人沿坡度 i＝3：4 的斜坡前进 10 米，则他所在的位置比原来的位置 升高________米. 4、菱形的两条对角线分别是 16 和 12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则 tanθ＝______. 5、如图，Rt△ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡 AB 的长为 12 m，它的坡角为 45°， 为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为 1：1.5 的斜坡 AD，求 DB 的长.(结果 保留根号)
D 五、课后练习 1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA 2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA 3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC 4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c=25,求tanA tanB的值 5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值 6、如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,EC=1,tanB=二,求菱形的边长和四 边形AECD的周长 7、已知:如图,斜坡AB的倾斜角a,且 tan as3 现有一小球从坡底A处以20cm/ 的速度向坡顶B处移动,则小球以多大的速度向上升高? 8、探究 (1)、a克糖水中有b克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为 若再添加c克 糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为 生活常识告诉我们:添加的糖完全溶解 后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式 (2)、我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA的值越大,则坡越陡, 我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这 个规律 (3)、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA、BC,使AE=CD=c,直线CA DE交于点F,请运用(2)中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式
五、课后练习： 1、在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则 tanA= _______. 2、在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,则 tanA=_______. 3、在△ABC 中,AB=AC=3,BC=4,则 tanC=______. 4、在 Rt△ABC 中,∠C 是直角,∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c,且 a=24,c= 25,求 tanA、 tanB 的值. 5、若三角形三边的比是 25:24:7,求最小角的正切值. 6、如图,在菱形 ABCD 中,AE⊥BC 于 E,EC=1,tanB= 12 5 , 求菱形的边长和四 边形 AECD 的周长. 7、已知:如图,斜坡AB的倾斜角a,且tanα= 3 4 ,现有一小球从坡底A处以20cm/s 的速度向坡顶 B 处移动,则小球以多大的速度向上升高? 8、探究: ⑴、a 克糖水中有 b 克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_______; 若再添加 c 克 糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解 后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____________. ⑵、我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA 的值越大, 则坡越陡, 我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这 个规律:_____________. ⑶、如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长 BA、BC,使 AE=CD=c, 直线 CA、 DE 交于点 F,请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式. E D B A C B A C