第9讲平面直角坐标系与函数 知识清单梳理 [知识点一平面直角坐标系 关键点拨及对应举例 (1)定义:在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系 点的坐标先读横坐标(x轴) L.相关概念 (2)几何意义:坐标平面内任意一点M与有序实数对(x,y)的关系是一一对应 再读纵坐标y轴) (1)各象限内点的坐标的符号特征(如图所示) 点P(xy)在第一象限x≥0,y≥0 第二象限2第一象限 点P(xy)在第二象限台→x≤0,y≥0 (1)坐标轴上的点不属于任 点P(xy)在第三象限x≤0,y0,y≤0. 第四象限 (2)平面直角坐标系中图形 (2)坐标轴上点的坐标特征 的平移,图形上所有点的 坐标变化情况相同. ①在横轴上y=0:②在纵轴上x=0:③原点x=0,y=0 (3)平面直角坐标系中求图 2点的坐标(3)各象限角平分线上点的坐标 形面积时,先观察所求图形 ①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等 是否为规则图形,若是,再 特征 ②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数 进一步寻找求这个图形面积 (4)点P(ab)的对称点的坐标特征: 的因素,若找不到,就要借 ①关于x轴对称的点P1的坐标为,一b②关于y轴对称的点P2的坐标为(-a,b):助割补法,割补法的主要秘 ③关于原点对称的点P3的坐标为(一a,一b) (5)点M(xy)平移的坐标特征 诀是过点向x轴、y轴作垂 向右平移a个单位 向上平移b个单位+ 线,从而将其割补成可以直 M(xy) MI(xta y) 接计算面积的图形来解决 向左平移a个单位 向下平移b个单位+ M(x+a, y+b (1)点Mab)到x轴,y轴的距离:到x轴的距离为圆:)到y轴的距离为d 平行于x轴的直线上的点纵 3.坐标点的(2)平行于x轴,y轴直线上的两点间的距离 点M(x10),M(x20)之间的距离为-x2,点M(x,y),M(x2,y)间的距离为-x2 坐标相等:平行于y轴的直 距离问题点M0,y,MO,y)间的距离为一2点M(x,y,Mx,P)间的距离为-y线上的点的横坐标相等 知识点二:函 (1)常量、变量:在一个变化过程中,数值始终不变的量叫做常量,数值发生变化的量失分点警示 函数解析式,同时有几个代 叫做变量 4函数的相关/(2)函数:在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于x的每一个值,y都有唯一确 数式,函数自变量的取值范 定的值与其对应,那么就称x是自变量,y是x的函数,函数的表示方法有:列表法 围应是各个代数式中自变量 的公共部分.例:函数 概念 图像法、解析法 (3)函数白变量的取值范围:一般原则为;整式为全体实数;分式的分母不为:二次y=+中自变量的取值范 根式的被开方数为非负数;使实际问题有意义 围是x≥-3且x≠ (1)分析实际问题判断函数图象的方法 读取函数图象增减性的技 找起点:结合题干中所给自变量及因变量的取值范围,对应到图象中找对应点:巧:①当函数图象从左到右 ②找特殊点:即交点或转折点,说明图象在此点处将发生变化 呈“上升”(“下降”)状态时, 5函数的图象 函数y随x的增大而增大(减 ③判断图象趋势:判断出函数的增减性,图象的倾斜方向 小):②函数值变化越大,图 (2)以几何图形(动点)为背景判断函数图象的方法: 象越陡峭:③当函数y值始 ①设时间为t(或线段长为x),找因变量与或x)之间存在的函数关系,用含或x)的终是同一个常数,那么在这
第 9 讲 平面直角坐标系与函数 一、 知识清单梳理 知识点一：平面直角坐标系 关键点拨及对应举例 1.相关概念 （1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系． （2）几何意义：坐标平面内任意一点 M 与有序实数对(x，y)的关系是一一对应． 点的坐标先读横坐标(x 轴)， 再读纵坐标(y 轴). 2. 点的坐标 特征 ( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）： 点 P(x,y)在第一象限⇔x＞0，y＞0； 点 P(x,y)在第二象限⇔x＜0，y＞0； 点 P（x,y）在第三象限⇔x＜0，y＜0； 点 P（x,y）在第四象限⇔x＞0，y＜0. （2）坐标轴上点的坐标特征： ①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0. （3）各象限角平分线上点的坐标 ①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等； ②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数 （4）点 P（a,b）的对称点的坐标特征： ①关于 x 轴对称的点 P1的坐标为(a，－b)；②关于 y 轴对称的点 P2的坐标为(－a，b)； ③关于原点对称的点 P3的坐标为(－a，－b)． （5）点 M（x,y）平移的坐标特征： M（x,y） M1(x+a,y) M2(x+a,y+b) （1）坐标轴上的点不属于任 何象限. （2）平面直角坐标系中图形 的平移，图形上所有点的 坐标变化情况相同. （3）平面直角坐标系中求图 形面积时，先观察所求图形 是否为规则图形，若是，再 进一步寻找求这个图形面积 的因素，若找不到，就要借 助割补法，割补法的主要秘 诀是过点向 x 轴、y 轴作垂 线，从而将其割补成可以直 接计算面积的图形来解决. 3. 坐标点的 距离问题 （1）点 M(a,b)到 x 轴，y 轴的距离：到 x 轴的距离为|b|；)到 y 轴的距离为|a|． （2）平行于 x 轴，y 轴直线上的两点间的距离： 点 M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点 M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|； 点 M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点 M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1－y2|． 平行于 x 轴的直线上的点纵 坐标相等；平行于 y 轴的直 线上的点的横坐标相等. 知识点二：函 数 4.函数的相关 概念 （1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量 叫做变量． （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，对于 x 的每一个值，y 都有唯一确 定的值与其对应，那么就称 x 是自变量，y 是 x 的函数．函数的表示方法有：列表法、 图像法、解析法. （3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次 根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义． 失分点警示 函数解析式，同时有几个代 数式，函数自变量的取值范 围应是各个代数式中自变量 的公共部分. 例：函数 y= 3 5 x x + − 中自变量的取值范 围是 x≥-3 且 x≠5. 5.函数的图象 （1）分析实际问题判断函数图象的方法： ①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点； ②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化； ③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向. （2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法： ①设时间为 t（或线段长为 x），找因变量与 t(或 x)之间存在的函数关系，用含 t(或 x)的 读取函 数图 象增减 性的技 巧：①当函数图象从左到右 呈“上升”（“下降”）状态时， 函数 y随 x的增大而增大（减 小）；②函数值变化越大，图 象越陡峭；③当函数 y 值始 终是同一个常数，那么在这 x y 第四象限 (＋，－) 第三象限 (－，－) 第二象限 (－，＋) 第一象限 (＋，＋) –3 –2 –1 1 2 3 –1 –2 –3 1 2 3 O
式子表示,再找相应的函数图象要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围 个区间上的函数图象是一条 平行于ⅹ轴的线段
式子表示， 再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围. 个区间上的函数图象是一条 平行于 x 轴的线段