1.1锐角三角函数 第1课时正切与坡度 你觉得上面的方法正确吗? 学习目标 合作探究 探究点一:正切 1.理解正切的意义,并能举例说明:(重 【类型一】根据正切的概念求正切值 例1分别求出图中∠A、∠B的正切值 2.能够根据正切的概念进行简单的计(其中∠C=90°) 算:(重点) 3.能运用正切、坡度解决问题.(难点) 16 教学过程 由上面的例子可以得出结论:直角三角 、情境导入 形的两个锐角的正切值互为 观察与思考 某体育馆为了方便不同需求的观众,设 解析:根据勾股定理求出需要的边长 计了不同坡度的台阶 问题1:图①中的台阶哪个更陡?你是然后利用正切的定义解答即可 怎么判断的? 解:如图①,tmn∠A=15=4,tmn∠B 123 如图②,BC=y732-552=48,tan 图① 5tan∠B~55 问题2:如何描述图②中台阶的倾斜程 因而直角三角形的两个锐角的正切值 度?除了用∠A的大小来描述,还可以用什互为倒数 么方法? 方法总结:求锐角的三角函数值的方 法:利用勾股定理求出需要的边长,根据锐 dc 角三角函数的定义求出对应三角函数值即 图② 方法一:通过测量BC与AC的长度算可 出它们的比,来说明台阶的倾斜程度 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 方法二:在台阶斜坡上另找一点B1,测后巩固提升”第1题 出B1C1与AC1的长度,算出它们的比,也 【类型二】在网格中求正切值 能说明台阶的倾斜程度
1．1 锐角三角函数 第 1 课时 正切与坡度 1．理解正切的意义，并能举例说明；(重 点) 2．能够根据正切的概念进行简单的计 算；(重点) 3．能运用正切、坡度解决问题．(难点) 一、情境导入 观察与思考： 某体育馆为了方便不同需求的观众，设 计了不同坡度的台阶． 问题 1：图①中的台阶哪个更陡？你是 怎么判断的？ 问题 2：如何描述图②中台阶的倾斜程 度？除了用∠A 的大小来描述，还可以用什 么方法？ 方法一：通过测量 BC 与 AC 的长度算 出它们的比，来说明台阶的倾斜程度； 方法二：在台阶斜坡上另找一点 B1，测 出 B1C1 与 AC1 的长度，算出它们的比，也 能说明台阶的倾斜程度． 你觉得上面的方法正确吗？ 二、合作探究 探究点一：正切 【类型一】 根据正切的概念求正切值 分别求出图中∠A、∠B 的正切值 (其中∠C＝90°)． 由上面的例子可以得出结论：直角三角 形的两个锐角的正切值互为________． 解析：根据勾股定理求出需要的边长， 然后利用正切的定义解答即可． 解：如图①，tan∠A＝ 16 12＝ 4 3 ，tan∠B ＝ 12 16＝ 3 4 ；如图②，BC＝ 732－552＝48，tan ∠A＝ 48 55，tan∠B＝ 55 48. 因而直角三角形的两个锐角的正切值 互为倒数． 方法总结：求锐角的三角函数值的方 法：利用勾股定理求出需要的边长，根据锐 角三角函数的定义求出对应三角函数值即 可． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升” 第 1 题 【类型二】 在网格中求正切值
定义,可得答案 解:如图,过D作DE⊥AB于E设AC =BC=2a,根据勾股定理得AB=22a由D 例2己知:如图,在由边长为1的小为AC中点,得AD=a由∠A=∠ABC= 正方形组成的网格中,点A、B、C、D、E45°,又DE⊥AB,得△ADE是等腰直角三 都在小正方形的顶点上,求tan∠ADC的值 角形,DE=AE 2……BE=AB-AE 解析:先证明△ACD≌△BCE,再根据 tan∠ABD Be 3 tan∠ADC=tan∠BEC即可求解 方法总结:求三角函数值必须在直角三 解:根据题意可得AC=BC=√12+22 √,CD=CE=+32=√10,AD=BE=5, ∴△ACD≌△BCE(SSS).∴∠ADC 角形中解答,当所求的角不在直角三角形内 ∠BEC.∴tan∠ADC=tan∠BEC= 时,可作辅助线构造直角三角形进行解答 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 方法总结:三角函数值的大小是由角度后巩固提升”第7题 探究点二:坡度 的大小确定的,因此可以把求一个角的三角 【类型一】利用坡度的概念求斜坡的 坡度(坡比 函数值的问题转化为另一个与其相等的角 的三角函数值 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第3题 【类型三】构造直角三角形求三角函 例4堤的横断面如图.堤高BC是5 数值 米,迎水斜坡AB的长是13米,那么斜坡 AB的坡度是( 2.6C.1:2.4 D.1:2 解析:由勾股定理得AC=12米.则斜 圆例3如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, BC=AC,D为AC的中点,求tan∠ABD的 坡AB的坡度=BC:AC=5:12=1:2.4故 值 解析:设AC=BC=2a,根据勾股定理 方法总结:坡度是坡面的铅直高度h和 可求得AB 再根据等腰直角三角形 水平宽度l的比,又叫做坡比,它是一个比 的性质,可得DE与AE的长,根据线段的 值,反映了斜坡的陡峭程度,一般用i表示, 和差,可得BE的长,根据正切三角函数的 常写成i=1:m的形式
已知：如图，在由边长为 1 的小 正方形组成的网格中，点 A、B、C、D、E 都在小正方形的顶点上，求 tan∠ADC 的值． 解析：先证明△ACD≌△BCE，再根据 tan∠ADC＝tan∠BEC 即可求解． 解：根据题意可得 AC＝BC＝ 1 2＋2 2＝ 5，CD＝CE＝ 1 2＋3 2＝ 10，AD＝BE＝5， ∴ △ ACD ≌ △ BCE(SSS) ． ∴∠ADC ＝ ∠BEC.∴tan∠ADC＝tan∠BEC＝ 1 3 . 方法总结：三角函数值的大小是由角度 的大小确定的，因此可以把求一个角的三角 函数值的问题转化为另一个与其相等的角 的三角函数值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升” 第 3 题 【类型三】 构造直角三角形求三角函 数值 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， BC＝AC，D 为 AC 的中点，求 tan∠ABD 的 值． 解析：设 AC＝BC＝2a，根据勾股定理 可求得 AB＝2 2a，再根据等腰直角三角形 的性质，可得 DE 与 AE 的长，根据线段的 和差，可得 BE 的长，根据正切三角函数的 定义，可得答案． 解：如图，过 D 作 DE⊥AB 于 E.设 AC ＝BC＝2a，根据勾股定理得 AB＝2 2a.由 D 为 AC 中点，得 AD＝a.由∠A＝∠ABC＝ 45°，又 DE⊥AB，得△ADE 是等腰直角三 角形，∴DE＝AE＝ 2a 2 .∴BE＝AB－AE＝ 3 2a 2 ，tan∠ABD＝ DE BE＝ 1 3 . 方法总结：求三角函数值必须在直角三 角形中解答，当所求的角不在直角三角形内 时，可作辅助线构造直角三角形进行解答． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 7 题 探究点二：坡度 【类型一】 利用坡度的概念求斜坡的 坡度(坡比) 堤的横断面如图．堤高 BC 是 5 米，迎水斜坡 AB 的长是 13 米，那么斜坡 AB 的坡度是( ) A．1∶3 B．1∶2.6 C．1∶2.4 D．1∶2 解析：由勾股定理得 AC＝12 米．则斜 坡 AB 的坡度＝BC∶AC＝5∶12＝1∶2.4.故 选 C. 方法总结：坡度是坡面的铅直高度 h 和 水平宽度 l 的比，又叫做坡比，它是一个比 值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用 i 表示， 常写成 i＝1∶m 的形式．
变式训练:见《学练优》本课时练习“课 在直角三角形ABC中,tanA= 堂达标训练”第9题 ∠A的对边 【类型二】利用坡度解决实际问题 ∠A的邻边 2.坡度的概念 坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的 比,也就是坡角的正切值 数学反思 例5己知一水坝的横断面是梯形在教学中,要注重对学生进行数学学习方法 ABCD,下底BC长14m,斜坡AB的坡度为的指导.在数学学习中,有一些学生往往不 3:√3,另一腰CD与下底的夹角为45 注重基本概念、基础知识,认为只要会做题 且长为4√6m,求它的上底的长(精确到就可以了,结果往往失分于选择题、填空题 0.1m,参考数据:√2≈1414,3≈1.732).等一些概念性较强的题目.通过引导学生进 解析:过点A作AE⊥BC于E,过点D行知识梳理,教会学生如何进行知识的归 纳、总结,进一步帮助学生理解和掌握基本 概念、基础知识 作DF⊥BC于F,根据已知条件求出AE= DF的值,再根据坡度求出BE,最后根据 EF=BC-BE-FC求出AD 解:过点A作AE⊥BC,过点D作 DF⊥BC,垂足分别为E、F∴∵CD与BC的 夹角为45°,∴∠DCF=45°,∴∠CDF 6 m,∴DF=CF= 43(m),AE=DF=43m∵斜坡AB的坡 度为3:3,tan∠AB= BE√3 ∴BE=4m.∵BC=14m,∴EF=BC-BE CF=14-4-43=10-4√3(m).∵AD EF,∴AD=10-43≈3.1(m) 所以,它的上底的长约为3.1m. 方法总结:考查对坡度的理解及梯形的 性质的掌握情况.解决问题的关键是添加辅 助线构造直角三角形 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第8题 三、板书设计 正切与坡度 1.正切的概念
变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 9 题 【类型二】 利用坡度解决实际问题 已 知一 水坝 的横 断面 是梯 形 ABCD，下底 BC 长 14m，斜坡 AB 的坡度为 3∶ 3，另一腰 CD 与下底的夹角为 45°， 且长为 4 6m，求它的上底的长(精确到 0.1m，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)． 解析：过点 A 作 AE⊥BC 于 E，过点 D 作 DF⊥BC 于 F，根据已知条件求出 AE＝ DF 的值，再根据坡度求出 BE，最后根据 EF＝BC－BE－FC 求出 AD. 解：过点 A 作 AE⊥BC，过点 D 作 DF⊥BC，垂足分别为 E、F.∵CD 与 BC 的 夹角为 45°，∴∠DCF＝45°，∴∠CDF ＝45°.∵CD＝4 6m，∴DF＝CF＝ 4 6 2 ＝ 4 3(m)，∴AE＝DF＝4 3m.∵斜坡 AB 的坡 度为 3∶ 3，∴tan∠ABE＝ AE BE＝ 3 3 ＝ 3， ∴BE＝4m.∵BC＝14m，∴EF＝BC－BE－ CF＝14－4－4 3＝10－4 3(m)．∵AD＝ EF，∴AD＝10－4 3≈3.1(m)． 所以，它的上底的长约为 3.1m. 方法总结：考查对坡度的理解及梯形的 性质的掌握情况．解决问题的关键是添加辅 助线构造直角三角形． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 8 题 三、板书设计 正切与坡度 1．正切的概念 在 直 角 三 角 形 ABC 中 ， tanA ＝ ∠A的对边 ∠A的邻边. 2．坡度的概念 坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的 比，也就是坡角的正切值． 在教学中，要注重对学生进行数学学习方法 的指导．在数学学习中，有一些学生往往不 注重基本概念、基础知识，认为只要会做题 就可以了，结果往往失分于选择题、填空题 等一些概念性较强的题目．通过引导学生进 行知识梳理，教会学生如何进行知识的归 纳、总结，进一步帮助学生理解和掌握基本 概念、基础知识