1.4解直角三角形 学习目标 解:(1)在Rt△ABC中,∵∠B=30 1.正确运用直角三角形中的边角关系 a=36,∵∠A=90 ∠B=60 解直角三角形:(重点) 即 36 2.选择适当的关系式解直角三角 COSB COsB 形.(难点) ×24 (2)在Rt△ABC中,∵a=6,b=6 数学心程 62,∠A=∠B=45 、情境导入 方法总结:解直角三角形时应求出所有 如图,美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城 而过,沿河两岸的滨河大道和风景带成为该未知元素,尽可能地选择包含所求元素与两 市的一道新景观.在数学课外实践活动中 小亮在河西岸滨河大道一段AC上的A,B 个已知元素的关系式求解 两点处,利用测角仪分别对东岸的观景台D 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 进行了测量,分别测得∠DAC=60°,∠堂达标训练”第6题 DBC=75°又已知AB=100米,根据以上 【类型二】构造直角三角形解决长 条件你能求出观景台D到徒骇河西岸AC的问题 距离吗? 例2一副直角三角板如图放置,点C 在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB D =90°,∠E=30°,∠A=45°,AC=12√2, 试求CD的长 E 二、合作探究 探究点:解直角三角形 【类型一】利用解直角三角形求边或 解析:过点B作BM⊥FD于点M,求 1己知在R△ABC中,∠C=90°, ∠A、∠B、∠C的对应边分别为a、b、c, 出BM与CM的长度然后在△EFD中可求 按下列条件解直角三角形 (1)若a=36,∠B=30°,求∠A的度出EDF=60°,利用解直角三角形解答即 数和边b、c的长 (2)若a=6,b=6,求∠A、∠B的度数 和边c的长 解:过点B作BM⊥FD于点M,在△ACB 解析:(1已知直角边和个锐角,解直中,∠ACB=90°,∠A=45°,AC=12N, C=12V2 角三角形;(2)已知两条直角边,解直角三角sn45°BC=12y2×2=12,CM=BM=12 在△EFD中,∠F=90°,∠E=30 形
1.4 解直角三角形 1．正确运用直角三角形中的边角关系 解直角三角形；(重点) 2．选择适 当的关 系式解直 角三角 形．(难点) 一、情境导入 如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城 而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为该 市的一道新景观．在数学课外实践活动中， 小亮在河西岸滨河大道一段 AC 上的 A，B 两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台 D 进行了测量，分别测得∠DAC＝60°，∠ DBC＝75°.又已知 AB＝100 米，根据以上 条件你能求出观景台 D 到徒骇河西岸 AC 的 距离吗？ 二、合作探究 探究点：解直角三角形 【类型一】 利用解直角三角形求边或 角 已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， ∠A、∠B、∠C 的对应边分别为 a、b、c， 按下列条件解直角三角形． (1)若 a＝36，∠B＝30°，求∠A 的度 数和边 b、c 的长； (2)若 a＝6，b＝6，求∠A、∠B 的度数 和边 c 的长． 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直 角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角 形． 解：(1)在 Rt△ABC 中，∵∠B＝30°， a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，a c ＝ cosB，即 c＝ a cosB ＝ 36 3 2 ＝24 3，∴b＝ 1 2 c＝ 1 2 ×24 3＝12 3； (2)在 Rt△ABC 中，∵a＝6，b＝6，∴c ＝6 2，∠A＝∠B＝45°. 方法总结：解直角三角形时应求出所有 未知元素，尽可能地选择包含所求元素与两 个已知元素的关系式求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练” 第 6 题 【类型二】 构造直角三角形解决长度 问题 一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB ＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12 2， 试求 CD 的长． 解析：过点 B 作 BM⊥FD 于点 M，求 出 BM 与 CM 的长度，然后在△EFD 中可求 出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即 可． 解：过点B 作BM⊥FD于点M，在△ACB 中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12 2， ∴BC＝AC＝12 2 . ∵AB∥CF ，∴BM ＝ sin45°BC＝12 2× 2 2 ＝12，CM＝BM＝12. 在△EFD 中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴
BM 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 ∠EDF=60 tan60°=4 堂达标训练”第7题 CD=CM—MD=12-4 三、板书设计 方法总结:解答此类题目的关键是根据 解直角三角形 解直角三角形的概念 题意构造直角三角形,然后利用所学的三角 2.解直角三角形的基本类型及其解法 3.解直角三角形的简单应用 函数的关系进行解答 教学反思 变式训练:见《学练优》本课时练习“课本节课的设计,力求体现新课程理念.给学 后巩固提升”第7题 生自主探索的时间,给学生宽松和谐的氛 【类型三】构造直角三角形解决面积围,让学生学得更主动、更轻松,力求在探 题 索知识的过程中,培养探索能力、创新能力 例3在△ABC中,∠B=45°,AB=合作能力,激发学生学习数学的积极性、主 √2,∠A=105°,求△ABC的面积 动性 解析:过点A作AD⊥BC于点D,根据 勾股定理求出BD、AD的长,再根据解直角 三角形求出CD的长,最后根据三角形的面 积公式解答即可 解:过点A作AD⊥BC于点D,∵∠B 45° ∠BAD=4s°,:AD=BD=y 1.∵∠A=105°,∴∠CAD =105°-45°=60°,∴∠C=30° =+=√5,:SABC=(CD+ BD)AD=×(+1)×1= 方法总结:解答此类题目的关键是根据 题意构造直角三角形,然后利用所学的三角 函数的关系进行解答
∠EDF＝60°，∴MD＝ BM tan60° ＝4 3，∴ CD＝CM－MD＝12－4 3. 方法总结：解答此类题目的关键是根据 题意构造直角三角形，然后利用所学的三角 函数的关系进行解答． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升” 第 7 题 【类型三】 构造直角三角形解决面积 问题 在△ABC 中，∠B＝45°，AB＝ 2，∠A＝105°，求△ABC 的面积． 解析：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，根据 勾股定理求出 BD、AD 的长，再根据解直角 三角形求出 CD 的长，最后根据三角形的面 积公式解答即可． 解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，∵∠B ＝45°，∴∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝ 2 2 AB＝ 2 2 × 2＝1.∵∠A＝105°，∴∠CAD ＝105°－45°＝60°，∴∠C＝30°，∴ CD＝ AD tan30° ＝ 1 3 3 ＝ 3，∴S△ABC＝ 1 2 (CD＋ BD)·AD＝ 1 2 ×( 3＋1)×1＝ 3＋1 2 . 方法总结：解答此类题目的关键是根据 题意构造直角三角形，然后利用所学的三角 函数的关系进行解答． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练” 第 7 题 三、板书设计 解直角三角形 1．解直角三角形的概念 2．解直角三角形的基本类型及其解法 3．解直角三角形的简单应用 本节课的设计，力求体现新课程理念．给学 生自主探索的时间，给学生宽松和谐的氛 围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探 索知识的过程中，培养探索能力、创新能力、 合作能力，激发学生学习数学的积极性、主 动性