22二次函数的图象与性质 第3课时二次函数p=a(x-h)2的图象与性质 鲁习目标 线的顶点为(-2,0),所以h=2,把a=-2′ 掌握二次函数y=a2与y=减x-h=2代入y=以x-得y=-x+2)故选 h)(a≠0)图象之间的联系;(重点) 2.能灵活运用二次函数y=a(x-C. h2(a≠0的知识解决简单的问题,(难点) 方法总结:决定抛物线形状的是二次项 的系数,二次项系数相同的抛物线的形状完 、情境导入 全相同 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象可以 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 由y=ax2(a≠0)的图象平移得到 堂达标训练”第5题 当c>0时,向上平移c个单位长度 【类型二】二次函数y=a(x=h)2的性 当c0,x-√2时,y随x的增大 与函数y=-x2的图象相同的抛物线的解 析式为() 而增大.∷点A的坐标为(-3E,y),:点 A.y=(x-2)2B.y=2(x+2)2 A在抛物线上的对称点A的坐标为√2, 3x-2)2y).∵-1<0<√2,y<y<故答案为 解析:因为抛物线的顶点在x轴上,所y<y<y 以可设该抛物线的解析式为y=ax 方法总结:函数图象上点的坐标满足解 h2(a≠0),而二次函数y=a(x-h)(a≠0与析式,即点在抛物线上解决本题可采用代 1=的图象相同,所以a=-1,而抛物入求值方法,也可以利用二次函数的增减性 解决
2.2 二次函数的图象与性质 第 3 课时 二次函数 y=a(x-h) 2 的图象与性质 1．掌握二次函数 y＝ax2 与 y＝a(x－ h) 2 (a≠0)图象之间的联系；(重点) 2．能灵活运用二次函数 y＝a(x－ h) 2 (a≠0)的知识解决简单的问题．(难点) 一、情境导入 二次函数 y＝ax2＋c(a≠0)的图象可以 由 y＝ax2 (a≠0)的图象平移得到： 当 c>0 时，向上平移 c 个单位长度； 当 c<0 时，向下平移－c 个单位长度． 问题：函数 y＝ (x－2)2 的图象，能否 也可以由函数 y＝ x 2 平移得到？本节课我 们就一起讨论． 二、合作探究 探究点：二次函数 y＝a(x－h) 2 的图象 与性质 【类型一】 二次函数 y＝a(x－h) 2 的图 象 顶点为(－2，0)，开口方向、形状 与函数 y＝－ 1 2 x 2 的图象相同的抛物线的解 析式为( ) A．y＝ 1 2 (x－2)2 B．y＝ 1 2 (x＋2)2 C．y＝－ 1 2 (x＋2)2 D．y＝－ 1 2 (x－2)2 解析：因为抛物线的顶点在 x 轴上，所 以可设 该抛物 线的 解析式 为 y ＝a(x－ h) 2 (a≠0)，而二次函数 y＝a(x－h) 2 (a≠0)与 y＝－ 1 2 x 2 的图象相同，所以 a＝－ 1 2 ，而抛物 线的顶点为(－2，0)，所以 h＝2，把 a＝－ 1 2 ， h＝2 代入 y＝a(x－h) 2 得 y＝－ 1 2 (x＋2)2 .故选 C. 方法总结：决定抛物线形状的是二次项 的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完 全相同． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练” 第 5 题 【类型二】 二次函数 y＝a(x－h) 2 的性 质 若抛物线 y＝3(x＋ 2) 2 的图象上 的三个点，A(－3 2，y1)，B(－1，y2)，C(0， y3) ， 则 y1 ， y2 ， y3 的 大 小 关系为 ________________． 解析：∵抛物线 y＝3(x＋ 2) 2 的对称轴 为 x＝－ 2，a＝3＞0，∴x＜－ 2时，y 随 x 的增大而减小；x＞－ 2时，y 随 x 的增大 而增大．∵点 A 的坐标为(－3 2，y1)，∴点 A 在抛物线上的对称点 A′的坐标为( 2， y1)．∵－1＜0＜ 2，∴y2＜y3＜y1.故答案为 y2＜y3＜y1. 方法总结：函数图象上点的坐标满足解 析式，即点在抛物线上．解决本题可采用代 入求值方法，也可以利用二次函数的增减性 解决．
变式训练:见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第4题 解得 所以 【类型三】二次函数 象与ν=ax2的图象的关系 点A的坐标为6,16),点B的坐标为(0,4) 例3将二次函数y=-2x2的图象平移 后,可得到二次函数y=-2(x+1)2的图象 平移的方法是() A.向上平移1个单位B.向下平 移1个单位 C.向左平移1个单位D.向右平 移1个单位 如图,过A作AD⊥x轴,垂足为D, 解析:抛物线y=-2的顶点坐标是(0,则S△BC=S形4B0D-Ss0-S0c=2OB 0)抛物线y=-2(x+1)的顶点坐标是(-1,+AD)OD-2oC·OB-5CD·AD=(4+ 0)则由二次函数y=-2x的图象向左平移16)×6-×2×4-×4×16=24 1个单位即可得到二次函数y=-2(x+1)2 方法总结:解决本题要明确以下两点 的图象.故选C (1)函数图象交点坐标为两函数解析式组成 方法总结:解决本题要熟练掌握二次函的方程组的解:2)不规则图形的面积通常转 数的平移规律 化为规则图形的面积的和差 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第6题 后巩固提升”第10题 【类型四】二次函数=d(x=b)2与三 【类型五】二次函数y=a(x-h)2的 角形的综合 例A如图,已知抛物线y=(x-2)2的顶 5某抛物线是由抛物线y=-2x2向 点为C,直线y=2x+4与抛物线交于A、B左平移2个单位得到 两点,试求S△ABC (1)求抛物线的解析式,并画出此抛物线 的大致图象; 解析:根据抛物线的解析式,易求得点 C的坐标;联立两函数的解析式,可求得A为)设抛物线的顶点为A,与y轴的交点 ①求线段AB的长及直线AB的解析式 B的坐标.画出草图后,发现△ABC的面积 ②在此抛物线的对称轴上是否存在点 C,使△ABC为等腰三角形?若存在,求出 无法直接求出,因此可将其转换为其他规则这样的点C的坐标:若不存在,请说明理由 解析:(1)抛物线y=-2x2向左平移2 图形的面积求解 解:抛物线y=(x-2}的顶点C的坐标个单位所得的抛物线的解析式是y=-2x 为(2,0),联立两函数的解析式,得 +2)2;(2①根据(1)得出的抛物线的解析式
变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升” 第 4 题 【类型三】 二次函数 y＝a(x－h) 2 的图 象与 y＝ax2 的图象的关系 将二次函数 y＝－2x 2 的图象平移 后，可得到二次函数 y＝－2(x＋1)2 的图象， 平移的方法是( ) A．向上平移 1 个单位 B．向下平 移 1 个单位 C．向左平移 1 个单位 D．向右平 移 1 个单位 解析：抛物线y＝－2x 2的顶点坐标是(0， 0)，抛物线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1， 0)．则由二次函数 y＝－2x 2 的图象向左平移 1 个单位即可得到二次函数 y＝－2(x＋1)2 的图象．故选 C. 方法总结：解决本题要熟练掌握二次函 数的平移规律． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 6 题 【类型四】 二次函数 y＝a(x－h) 2 与三 角形的综合 如图，已知抛物线 y＝(x－2)2 的顶 点为 C，直线 y＝2x＋4 与抛物线交于 A、B 两点，试求 S△ABC. 解析：根据抛物线的解析式，易求得点 C 的坐标；联立两函数的解析式，可求得 A、 B 的坐标．画出草图后，发现△ABC 的面积 无法直接求出，因此可将其转换为其他规则 图形的面积求解． 解：抛物线 y＝(x－2)2 的顶点 C 的坐标 为 (2 ， 0) ， 联 立 两 函数 的 解 析 式 ， 得 y＝2x＋4， y＝（x－2）2， 解得 x1＝0， y1＝4， x2＝6， y2＝16. 所以 点 A 的坐标为(6，16)，点 B 的坐标为(0，4)． 如图，过 A 作 AD⊥x 轴，垂足为 D， 则 S△ABC＝S 梯形 ABOD－S△ACD－S△BOC＝ 1 2 (OB ＋AD)·OD－ 1 2 OC·OB－ 1 2 CD·AD＝ 1 2 (4＋ 16)×6－ 1 2 ×2×4－ 1 2 ×4×16＝24. 方法总结：解决本题要明确以下两点： (1)函数图象交点坐标为两函数解析式组成 的方程组的解；(2)不规则图形的面积通常转 化为规则图形的面积的和差． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 10 题 【类型五】 二次函数 y＝a(x－h) 2 的探 究性问题 某抛物线是由抛物线 y＝－2x 2 向 左平移 2 个单位得到． (1)求抛物线的解析式，并画出此抛物线 的大致图象； (2)设抛物线的顶点为 A，与 y 轴的交点 为 B. ①求线段 AB 的长及直线AB 的解析式； ②在此抛物线的对称轴上是否存在点 C，使△ABC 为等腰三角形？若存在，求出 这样的点 C 的坐标；若不存在，请说明理由． 解析：(1)抛物线 y＝－2x 2 向左平移 2 个单位所得的抛物线的解析式是 y＝－2(x ＋2)2；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式
即可得出其质点A和B点的坐标然后根据象的平移及等腰三角形的构成情况,主要涉 A,B两点的坐标即可求出直线AB的解析及分类讨论、数形结合的数学思想方法的运 式;②本题要分三种情况进行讨论解答 用 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第10题 、板书设计 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 次函数y=a(x-h)2的图象与性质 2.二次函数y=a(x-h)2的图象与y= ax2的图象的关系 3.二次函数y=a(x-h)2的图象的应用 解:(1)y=-2(x+2)2,图略 数学反思 (2)①根据(1)得出的抛物线的解析式y本节课采用启发式、讨论式结合的教学方 2(x+2)2,可得A点的坐标为(-2,O,法,以问题的提出、问题的解决为主线,倡 B点的坐标为(0,-8).因此在Rt△ABO中,导学生主动参与教学实践活动,以独立思考 根据勾股定理可得AB=217设直线AB的和相互交流的形式,在教师的指导下发现 解析式为y=kx-8,已知直线AB过A点,分析和解决问题,在引导分析时,给学生留 则有0=-2k-8,k=-4,因此直线AB的出足够的思考时间和空间,让学生去联想、 解析式为y=-4x-8 探索,从真正意义上完成对知识的自我建构 ②本题要分三种情况进行讨论:当AB另外,在教学过程中,采用多媒体辅助教学 AC时,此时C点的纵坐标的绝对值即为直观呈现教学素材,从而更好地激发学生的 AB的长,因此C点的坐标为C(-2,217,学习兴趣,增大教学容量,提高教学效率 217):当AB=BC时,B点位于 AC的垂直平分线上,所以C点的纵坐标为 B点的纵坐标的2倍,因此C点的坐标为 C(-2,-16);当AC=BC时,此时C为 AB垂直平分线与抛物线对称轴的交点.过B 作BD垂直于抛物线的对称轴于D,那么在 直角三角形BDC中,BD=2(4点横坐标的 绝对值),CD=8-AC,而BC=AC,由此 可根据勾股定理求出AC=,因此这个C 点的坐标为c(-2,1 综上所述,存在四个点,C(-2,217 C2(-2,-2y17),C3(-2,-16,C4(-2, 17 方法总结:本题主要考查了二次函数图
即可得出其顶点 A 和 B 点的坐标，然后根据 A，B 两点的坐标即可求出直线 AB 的解析 式；②本题要分三种情况进行讨论解答． 解：(1)y＝－2(x＋2)2，图略； (2)①根据(1)得出的抛物线的解析式 y ＝－2(x＋2)2，可得 A 点的坐标为(－2，0)， B 点的坐标为(0，－8)．因此在 Rt△ABO 中， 根据勾股定理可得 AB＝2 17.设直线 AB 的 解析式为 y＝kx－8，已知直线 AB 过 A 点， 则有 0＝－2k－8，k＝－4，因此直线 AB 的 解析式为 y＝－4x－8； ②本题要分三种情况进行讨论：当 AB ＝AC 时，此时 C 点的纵坐标的绝对值即为 AB 的长，因此 C 点的坐标为 C1(－2，2 17)， C2(－2，－2 17)；当 AB＝BC 时，B 点位于 AC 的垂直平分线上，所以 C 点的纵坐标为 B 点的纵坐标的 2 倍，因此 C 点的坐标为 C3(－2，－16)；当 AC＝BC 时，此时 C 为 AB 垂直平分线与抛物线对称轴的交点．过 B 作 BD 垂直于抛物线的对称轴于 D，那么在 直角三角形 BDC 中，BD＝2(A 点横坐标的 绝对值)，CD＝8－AC，而 BC＝AC，由此 可根据勾股定理求出 AC＝ 17 4 ，因此这个 C 点的坐标为 C4(－2， 17 4 )． 综上所述，存在四个点，C1(－2，2 17)， C2(－2，－2 17 )，C3(－2，－16)，C4(－2， － 17 4 )． 方法总结：本题主要考查了二次函数图 象的平移及等腰三角形的构成情况，主要涉 及分类讨论、数形结合的数学思想方法的运 用． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 10 题 三、板书设计 二次函数 y＝a(x－h) 2 的图象与性质 1．二次函数 y＝a(x－h) 2 的图象与性质 2．二次函数 y＝a(x－h) 2 的图象与 y＝ ax2 的图象的关系 3．二次函数 y＝a(x－h) 2 的图象的应用 本节课采用启发式、讨论式结合的教学方 法，以问题的提出、问题的解决为主线，倡 导学生主动参与教学实践活动，以独立思考 和相互交流的形式，在教师的指导下发现、 分析和解决问题，在引导分析时，给学生留 出足够的思考时间和空间，让学生去联想、 探索，从真正意义上完成对知识的自我建构. 另外，在教学过程中，采用多媒体辅助教学， 直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的 学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率