33垂径定理 学同目标 定理列方程32+x2=(2x,解得x=3:OD 1.理解垂径定理和推论的内容,并会 证明,利用垂径定理解决与圆有关的问题 =23,AB=43故选D (重点) 2.利用垂径定理及其推论解决实际问 方法总结:我们常常连接半径,利用半 题.(难点) 径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形, 然后应用勾股定理解决问题 数学过程 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 情境导入 堂达标训练”第3题 如图①某公园中央地上有一些大理石 【类型二】垂径定理的实际应用 球,小明想测量球的半径,于是找了两块厚 20cm的砖塞在球的两侧如图②所示),他量 了下两砖之间的距离刚好是80cm,聪明的 你能算出大石头的半径吗? 2如图,一条公路的转弯处是一段 □个弧(图中的AB,点O是这段弧的圆心,C 图② 合作探究 是AB上一点,OC⊥AB,垂足为D,AB= 探究点一:垂径定理 300m,CD=50m,则这段弯路的半径是 【类型一】利用垂径定理求直径或弦 解析:本题考查垂径定理,OC⊥AB AB=300m,:AD=150m设半径为R,根据 勾股定理可列方程R2=(R-50)2+1502,解 1如图所示,⊙O的直径AB垂直弦 得R=250.故答案为2 CD于点P,且P是半径OB的中点,CD= 6cm,则直径AB的长是() 方法总结:将实际问题转化为数学问 B.3 题,再利用我们学过的垂径定理、勾股定理 解析:∵直径AB⊥DC,CD=6,∴DP等知识进行解答 =3连接OD,∵P是OB的中点,设OP为 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第8题 x,则OD为2x,在 RtADOP中,根据勾股 【类型三】垂径定理的综合应用
*3.3 垂径定理 1．理解垂径定理和推论的内容，并会 证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题； (重点) 2．利用垂径定理及其推论解决实际问 题．(难点) 一、情境导入 如图①某公园中央地上有一些大理石 球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚 20cm 的砖塞在球的两侧(如图②所示)，他量 了下两砖之间的距离刚好是 80cm，聪明的 你能算出大石头的半径吗？ 二、合作探究 探究点一：垂径定理 【类型一】 利用垂径定理求直径或弦 的长度 如图所示，⊙O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 P，且 P 是半径 OB 的中点，CD＝ 6cm，则直径 AB 的长是( ) A．2 3cm B．3 2cm C．4 2cm D．4 3cm 解析：∵直径 AB⊥DC，CD＝6，∴DP ＝3.连接 OD，∵P 是 OB 的中点，设 OP 为 x，则 OD 为 2x，在 Rt△DOP 中，根据勾股 定理列方程 3 2＋x 2＝(2x) 2，解得 x＝ 3.∴OD ＝2 3，∴AB＝4 3.故选 D. 方法总结：我们常常连接半径，利用半 径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形， 然后应用勾股定理解决问题． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 3 题 【类型二】 垂径定理的实际应用 如图，一条公路的转弯处是一段 圆弧(图中的AB ︵ )，点 O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵ 上一点，OC⊥AB，垂足为 D，AB＝ 300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是 ________m. 解析：本题考查垂径定理，∵OC⊥AB， AB＝300m，∴AD＝150m.设半径为 R，根据 勾股定理可列方程 R 2＝(R－50)2＋1502，解 得 R＝250.故答案为 250. 方法总结：将实际问题转化为数学问 题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理 等知识进行解答． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 8 题 【类型三】 垂径定理的综合应用
3如图,已知圆O的直径AB垂直 于弦CD于点E,连接CO并延长交AD于 点F,且CF⊥AD(1)请证明:点E是OB的 中点:(2)若AB=8,求CD的长 圆4如图所示,⊙O的弦AB、AC的 夹角为50°,M、N分别是AB、AC的中点, 则∠MON的度数是() 解析:(1)要证明E是OB的中点,只要 A.100°B.110 求证OE=OB=0OC,即∠OCE=30°;(2) 解析:已知M、N分别是AB、AC的中 在直角△OCE中,根据勾股定理可以解得点,由“平分弧的直径垂直平分弧所对的 CE的长,进而求出CD的长 弦”得OM⊥AB、ON⊥AC,所以∠AEO= (1)证明:连接AC,如图,∵直径AB ∠AFO=90°,而∠BAC=50°,由四边形内 垂直于弦CD于点E,∴AC=AD,∴AC= AD∴过圆心O的直线CF⊥AD,∴AF 角和定理得∠MON=360°-∠AEO DF,即CF是AD的垂直平分线,∴AC= CD,∴AC=AD=CD,即△ACD是等边三∠4FO-∠BAC=360°-90°-90°-50°= 角形,∴∠FCD=30°在Rt△COE中,OE 130°故选 OC,∴OE=OB,点E为OB的中点 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 (2)解:在Rt△OCE中,AB=8,∴OC堂达标训练”第6题 OB=AB=4又∵BE=OE,∴OE=2 【类型二】利用垂径定理的推论求边 的长度 CE=oe-OE=√16-4=2√5,CD 2CE=43 方法总结:解此类题一般要把半径、弦 心距、弦的一半构建在一个直角三角形里 圆5如图,点A、B是⊙O上两点,AB 运用勾股定理求解 0cm,点P是⊙O上的动点(与A、B不 变式训练:见《学练优》本课时练习“课重合),连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP 后巩固提升”第5题 于E,OF⊥PB于F,求EF的长 探究点二:垂径定理的推论 【类型一】利用垂径定理的推论求角 解析:运用垂径定理先证出EF是 的度数 △ABP的中位线,然后运用三角形中位线性 质把要求的EF与AB建立关系,从而解决
如图，已知圆 O 的直径 AB 垂直 于弦 CD 于点 E，连接 CO 并延长交 AD 于 点 F，且 CF⊥AD.(1)请证明：点 E 是 OB 的 中点；(2)若 AB＝8，求 CD 的长． 解析：(1)要证明 E 是 OB 的中点，只要 求证 OE＝ 1 2 OB＝ 1 2 OC，即∠OCE＝30°；(2) 在直角△OCE 中，根据勾股定理可以解得 CE 的长，进而求出 CD 的长． (1)证明：连接 AC，如图，∵直径 AB 垂直于弦 CD 于点 E，∴AC ︵ ＝AD ︵ ，∴AC＝ AD.∵过圆心 O 的直线 CF⊥AD，∴AF＝ DF，即 CF 是 AD 的垂直平分线，∴AC＝ CD，∴AC＝AD＝CD，即△ACD 是等边三 角形，∴∠FCD＝30°.在 Rt△COE 中，OE ＝ 1 2 OC，∴OE＝ 1 2 OB，∴点 E 为 OB 的中点； (2)解：在 Rt△OCE 中，AB＝8，∴OC ＝OB＝ 1 2 AB＝4.又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴ CE＝ OC2－OE2＝ 16－4＝2 3，∴CD＝ 2CE＝4 3. 方法总结：解此类题一般要把半径、弦 心距、弦的一半构建在一个直角三角形里， 运用勾股定理求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 5 题 探究点二：垂径定理的推论 【类型一】 利用垂径定理的推论求角 的度数 如图所示，⊙O 的弦 AB、AC 的 夹角为 50°，M、N 分别是AB ︵ 、AC ︵ 的中点， 则∠MON 的度数是( ) A．100° B．110° C．120° D．130° 解析：已知 M、N 分别是AB ︵ 、AC ︵ 的中 点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的 弦”得 OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝ ∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四边形内 角 和 定 理 得 ∠MON ＝ 360 ° － ∠AEO － ∠AFO－∠BAC＝360°－90°－90°－50°＝ 130°.故选 D. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第 6 题． 【类型二】 利用垂径定理的推论求边 的长度 如图，点 A、B 是⊙O 上两点，AB ＝10cm，点 P 是⊙O 上的动点(与 A、B 不 重合)，连接 AP、BP，过点 O 分别作 OE⊥AP 于 E，OF⊥PB 于 F，求 EF 的长． 解析：运用垂径定理先证出 EF 是 △ABP 的中位线，然后运用三角形中位线性 质把要求的 EF 与 AB 建立关系，从而解决
易出错的地方是不能确定最值时的情况 解:在⊙O中,∵OE⊥AP,OF⊥ 三、板书设计 ∴AE=PE,BF=PF,∴EF是△ABP的中 垂径定理 径定理 位线,∴EF=B=×10=(cm) 2.垂径定理的推论 方法总结:垂径定理虽是圆的知识,但 数学反思 也不是孤立的,它常和三角形等知识综合来垂径定理是中学数学中的一个很重要的定 理,由于它涉及的条件结论比较多,学生容 解决问题,我们一定要把知识融会贯通,在 易搞混淆,本节课采取了讲练结合、动手操 作的教学方法,课前布置所有同学制作一张 解决问题时才能得心应手 圆形纸片,课上利用此纸片探索、体验圆是 轴对称图形,并进一步利用圆的轴对称性探 变式训练:见《学练优》本课时练习“课究垂径定理,环环相扣、逐层深入,激发学 后巩固提升”第2题 生的学习兴趣,收到了很好的教学效果 【类型三】动点问题 团6】如图,⊙O的直径为10cm,弦AB 8cm,P是弦AB上的一个动点,求OP的 长度范围 解析:当点P处于弦AB的端点时,OP 最长,此时OP为半径的长;当OP⊥AB时 OP最短,利用垂径定理及勾股定理可求得 此时OP的长 解:作直径MN⊥弦AB,交AB于点D, 由垂径定理,得AD=DB=AB=4cm又 ∵⊙O的直径为10cm,连接OA,∴OA= 5cm在Rt△AOD中,由勾股定理,得OD O42-AD2=3cm∵垂线段最短,半径最 长,∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm 方法总结:解题的关键是明确OP最长、 最短时的情况,灵活利用垂径定理求解.容
问题． 解：在⊙O 中，∵OE⊥AP，OF⊥PB， ∴AE＝PE，BF＝PF，∴EF 是△ABP 的中 位线，∴EF＝ 1 2 AB＝ 1 2 ×10＝5(cm)． 方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但 也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来 解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在 解决问题时才能得心应手． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第 2 题 【类型三】 动点问题 如图，⊙O 的直径为 10cm，弦 AB ＝8cm，P 是弦 AB 上的一个动点，求 OP 的 长度范围． 解析：当点 P 处于弦 AB 的端点时，OP 最长，此时 OP 为半径的长；当 OP⊥AB 时， OP 最短，利用垂径定理及勾股定理可求得 此时 OP 的长． 解：作直径 MN⊥弦 AB，交 AB 于点 D， 由垂径定理，得 AD＝DB＝ 1 2 AB＝4cm.又 ∵⊙O 的直径为 10cm，连接 OA，∴OA＝ 5cm.在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得 OD ＝ OA2－AD2＝3cm.∵垂线段最短，半径最 长，∴OP 的长度范围是 3cm≤OP≤5cm. 方法总结：解题的关键是明确 OP 最长、 最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容 易出错的地方是不能确定最值时的情况． 三、板书设计 垂径定理 1．垂径定理 2．垂径定理的推论 垂径定理是中学数学中的一个很重要的定 理，由于它涉及的条件结论比较多，学生容 易搞混淆，本节课采取了讲练结合、动手操 作的教学方法，课前布置所有同学制作一张 圆形纸片，课上利用此纸片探索、体验圆是 轴对称图形，并进一步利用圆的轴对称性探 究垂径定理，环环相扣、逐层深入，激发学 生的学习兴趣，收到了很好的教学效果